2020-2021学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷 一、单项选搔题（本大题共一、单项选搔题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求） 只有一项符合要求） 1 （5 分）命题“0 x ， 2 1 0 xx ”的否定是( ) A0 x ， 2 10 xx B0 x ， 2 10 xx C0 x ， 2 10 xx D0 x ， 2 10 xx 2 （5 分）双曲线 2 2 1 4 x y的顶点到其渐近线的距离等于( ) A 2

2、 5 5 B1 C 4 5 5 D2 3 （5 分）若平面，的法向量分别为( 1a ，2，4)，(bx，1，2)，并且/ /， 则x的值为( ) A10 B10 C 1 2 D 1 2 4 （5 分） 张邱建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有女 不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不 善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织 5 尺，最后一天织一尺，三十天织完 则该女子第 11 天织布( ) A 11 3 尺 B105 29 尺 C 65 29 尺 D 7 3 尺 5 （5 分）不等式 1 2 1x 的解集为( ) A 3

3、(1, 2 B 3 1, 2 C 3 (,1) ,) 2 D 3 (,1 ,) 2 6 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，则点A到平面 11 ABCD的距离为( ) A 2 3 3 B2 C2 D2 2 7 （5 分）在数列 n p中，如果对任意 * 2()nnN，都有 1 1 ( ne nn pp pp k k为常数） ，则称 数列 n p为比等差数列，k称为比公差则下列说法正确的是( ) A等比数列一定是比等差数列，且比公差1k B等差数列一定不是比等差数列 第 2 页（共 21 页） C若数列 n a是等差数列， n b是等比数列，则数列 nn ab一定是比

4、等差数列 D若数列 n a满足 12 1aa， 11( 2) nnn aaan ，则该数列不是比等差数列 8 （5 分）已知a，b均为正数，且20abab，则 2 2 12 4 b a ab 的最大值为( ) A9 B8 C7 D6 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多分在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分。有选错的得分。有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知a，b，c为实数，且0ab，则下列不等式正确的

5、是( ) A 11 ab B 22 acbc C ba ab D 22 aabb 10 （5 分）下列命题正确的是( ) A已知u，v是两个不共线的向量若auv，32buv，23cuv，则a，b， c共面 B若向量/ /ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C若(1A，0，0)，(0B，1，0)，则与向量AB共线的单位向最为 22 (,0) 22 e D在三棱锥OABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面ABC是锐角三角 形 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1* 1 1,2 () 21,21 n n n an aN an k k k 则下

6、 列选项正确的为( ) A 6 14a B数列 * 21 3 ()aN k k是以 2 为公比的等比数列 C对于任意的 * Nk， 1 2 23a k k D1000 n S 的最小正整数n的值为 15 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，( , )P x y为曲线 22 :422| 4|C xyxy上一点， 则( ) A曲线C关于原点对称 B 13,13x 第 3 页（共 21 页） C曲线C围成的区域面积小于 18 DP到点 1 (0, ) 2 的最近距离为 3 2 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5

7、分）若存在实数x，使得不等式 2 0 xaxa成立，则实数a的取值范围为 14 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 2 4a ， 8 16a ，则 5 a 15 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F、右准线为 1，若l上存在点P， 使得线段PF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最小值为 16 （5 分）已知函数 2 ( )(44)(42)2()f xaxaxaaR，则该函数( )f x的图象恒过 定点 ；若满足( )0f x 的所有整数解的和为6，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题。计小题。计 70 分，解答

8、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）骤） 17 （10 分）已知命题p：实数m满足不等式 22 320(0)mamaa；命题q：实数m满 足方程 22 1 15 xy mm 表示双曲线 （1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，M为BC的中点，3PAPBPCABAC， 2 6BC （1）求二面角PBCA的大小； （2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值 19（12 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 数列 n b为正项等比数列，

9、其满足 11 2ab， 453 Sab， 32 8ab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 _，求数列 n c的前n项和 n T 第 4 页（共 21 页） 在 1 1 nn nn cb a a ， nnn ca b， 11 2 n n nnn a c a ab 这三个条件中任一个补充在第 （2） 问中； 并对其求解 20 （12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAABAC，ABAC，M是棱BC 的中点，点P在线段 1 AB上 （1）若P是线段 1 AB的中点，求直线MP与平面 11 ABB A所成角的大小； （2）若N是 1 CC的中点，平面PM

10、N与平面CMN所成锐二面角的余弦值为 5 37 37 ，求线段 BP的长度 21 （12 分）设抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F，其准线与y轴交于M抛物线上一点的 纵坐标为 4，且该点到焦点F的距离为 5 （1）求抛物线的方程； （2）自M引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，设MPMQ若 4 7 | (0, 3 PQ ，求 实数的取值范围 22（12 分） 已知直线: l yxmk与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 交于A，B两个不同的点， 点M为AB中点，点O为坐标原点且椭圆C的离心率为 2 2 ，长轴长为 4 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若OA，OB的斜率分别

11、为 1 k， 2 k， 2 2 k，求证： 12 k k为定值； （3）已知点(1,2)N，当AOB的面积S最大时，求OM ON的最大值 第 5 页（共 21 页） 2020-2021 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选搔题（本大题共一、单项选搔题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求） 只有一项符合要求） 1 （5 分）命题“0 x ， 2 1 0 xx ”的否定是( ) A0 x ， 2 10 xx

12、 B0 x ， 2 10 xx C0 x ， 2 10 xx D0 x ， 2 10 xx 【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知， 命题“0 x ， 2 1 0 xx ”的否定是： “0 x ， 2 10 xx ” 故选：B 2 （5 分）双曲线 2 2 1 4 x y的顶点到其渐近线的距离等于( ) A 2 5 5 B1 C 4 5 5 D2 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 2 1 4 x y， 顶点坐标为( 2,0)，渐近线方程为 1 2 yx ，即20 xy， 则该双曲线的顶点到其渐近线的距离 |2|2 5 541 d ； 故选：A 3 （5 分）若平面，的法向量分别

13、为( 1a ，2，4)，(bx，1，2)，并且/ /， 则x的值为( ) A10 B10 C 1 2 D 1 2 【解答】解：，的法向量分别为( 1a ，2，4)，(bx，1，2)，并且/ /， / /ab，存在实数使ab成立， ( 1 ，2，4)(x，1，2)，解得 1 2 x 故选：C 4 （5 分） 张邱建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有女 第 6 页（共 21 页） 不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不 善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织 5 尺，最后一天织一尺，三十天织完 则该女子第 11 天织布( )

14、A 11 3 尺 B105 29 尺 C 65 29 尺 D 7 3 尺 【解答】解：设该女子第n天织布 n a尺，则 n a是首项为 5 的等差数列，且 30 1a， 设数列 n a的公差为d，则 30 5291ad，解得 4 29 d ， 该女子第 11 天织布 11 4105 510() 2929 a （尺) 故选：B 5 （5 分）不等式 1 2 1x 的解集为( ) A 3 (1, 2 B 3 1, 2 C 3 (,1) ,) 2 D 3 (,1 ,) 2 【解答】解：由 1 2 1x 得， 1 2 0 1x ， 即 23 0 1 x x ， 解得， 3 1 2 x 故选：A 6 （

15、5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，则点A到平面 11 ABCD的距离为( ) A 2 3 3 B2 C2 D2 2 【解答】解：正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 以D为坐标原点，DA，DC， 1 DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则(2A，0，0)，(0D，0，0)，(0C，2，0)， 1(2 A，0，2，)， 第 7 页（共 21 页） 故 1 (0,2,0),(2,0,2),(2,0,0)DCDADA， 设平面 11 ABCD的法向量为( , , )nx y z， 则 1 20 220 n DCy n DAxz ， 取1x ，得(1,

16、0, 1)n ， 所以点A到平面 11 ABCD的距离为 |2 2 |2 DA n d n 故选：B 7 （5 分）在数列 n p中，如果对任意 * 2()nnN，都有 1 1 ( ne nn pp pp k k为常数） ，则称 数列 n p为比等差数列，k称为比公差则下列说法正确的是( ) A等比数列一定是比等差数列，且比公差1k B等差数列一定不是比等差数列 C若数列 n a是等差数列， n b是等比数列，则数列 nn ab一定是比等差数列 D若数列 n a满足 12 1aa， 11( 2) nnn aaan ，则该数列不是比等差数列 【解答】解：若 n a为等比数列，公比0q ， 1 1

17、 , nn nn aa qq aa ， 所以 1 1 01 nn nn aa aa k，故选项A错误； 若1 n b ， n b是等差数列，故有 1 1 0 nn nn bb bb ， 故 n b为比等差数列，故选项B错误； 令0 n a ，1 n b ，则0 nn ab， 此时 11 11 nnnn nnnn aba b a bab 无意义，故选项C错误； 因为数列 n a满足 12 1aa， 11( 2) nnn aaan ， 所以 3 2a ， 4 3a ， 故 3324 2132 1 1 2 aaaa aaaa ， 所以 n a不是比等差数列，故选项D正确 故选：D 8 （5 分）已知

18、a，b均为正数，且20abab，则 2 2 12 4 b a ab 的最大值为( ) A9 B8 C7 D6 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：因为a，b均为正数，且20abab， 所以 21 1 ba ， 则 1222 ()()2224 2222 bbbaba aa ababab ， 当且仅当 2 2 ba ab 即2a ，4b 时取等号， 所以 2 22 ()(1 1) ()16 42 bb aa厖， 当且仅当2a ，4b 时取等号， 所以 2 2 8 4 b a ， 则 22 22 12 1()7 44 bb aa ab ，即最大值为7 故选：C 二、多项选择题（本大题共二、多项选

19、择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多分在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分。有选错的得分。有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知a，b，c为实数，且0ab，则下列不等式正确的是( ) A 11 ab B 22 acbc C ba ab D 22 aabb 【解答】解：由题意， 对于选项 11 : ba A abab ，0ab，0ab，0ba， 11 0 ba abab ， 即 11 ab ， 故选项A正确； 对于选项B：当0c 时，很明显

20、 22 acbc不成立，故选项B不正确； 对于选项:0Cab，01 ba ab ，故选项C正确； 对于选项 2 :()D aaba ab，0ab， 2 0()0abaaba ab ， 2 aab 2 ()0abbb ab， 2 abb， 22 aabb，故选项D正确 故选：ACD 10 （5 分）下列命题正确的是( ) A已知u，v是两个不共线的向量若auv，32buv，23cuv，则a，b， c共面 B若向量/ /ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 第 9 页（共 21 页） C若(1A，0，0)，(0B，1，0)，则与向量AB共线的单位向最为 22 (,0) 22 e D在三

21、棱锥OABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面ABC是锐角三角 形 【解答】解：对于A，因为u，v是两个不共线的向量，可设由, u v确定的平面为，由于， a，b，c分别可由, u v线性表示，所以都与由, u v确共面，所以A对； 对于B，假设存在非零向量c，使, ,a b c，构成空间的一个基底，a与b不平行，与条件矛 盾，所以B对； 对于C，(01AB ，10，00)( 1 ，1，0)，|2AB ， | AB e AB ，所C对； 对于D，设OAa，OBb，OCc，则 222 ABab， 222 BCbc， 222 ACac 2222222222 22222222 cos0 2

22、2()() ABACBCabacbca BAC AB AC abacabac ， BAC 为锐角， 同理得ABC与ACB也为锐角，从而底面ABC是锐角三角形，所以D对； 故选：ABCD 11 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1* 1 1,2 () 21,21 n n n an aN an k k k 则下 列选项正确的为( ) A 6 14a B数列 * 21 3 ()aN k k是以 2 为公比的等比数列 C对于任意的 * Nk， 1 2 23a k k D1000 n S 的最小正整数n的值为 15 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a

23、， 1* 1 1,2 () 21,21 n n n an aN an k k k 则 221 1aa kk ， 212 21aa kk 由于 1 1a ，2 1 1aa， 所以 2 2a ， 所以 2221 1aa kk ，2 12 21aa kk ， 故 2 222 2aa kk ， 第 10 页（共 21 页） 由于 2 24a ，所以 222 22(2)aa kk ，所以 22 2 2 2 2 a a k k （常数） ， 所以数列 2 2a k 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 所以 1 2 422 n n a 当6n 时， 7 6 2216a ，故A，C错误； 由于 11 21

24、 22123a kk k ，所以 1 21 32a k k ，所以 21 21 3 2 3 a a k k （常数） ， 即数列 21 3a k 是以 2 为公比的等比数列，故B正确； 由于 1412141177 (1)(1)Saaaaaaa 238 131113 2()72(232323)7981aaaa， 所以 151415 98150914901000SSa 故n的最小值为 15，故D正确 故选：BD 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，( , )P x y为曲线 22 :422| 4|C xyxy上一点， 则( ) A曲线C关于原点对称 B 13,13x C曲线C围成的区域面积小

25、于 18 DP到点 1 (0, ) 2 的最近距离为 3 2 【解答】解：当0 x ，0y 时，曲线C的方程为 22 422| 4|xyxy， 去掉绝对值化简可得 2 2 (1)1 ()1 42 x y ， 将 2 2 1 4 x y的中心平移到 1 (1, ) 2 位于第一象限的部分， 因为点(, )x y，( ,)xy，(,)xy都在曲线C上， 所以曲线C的图象关于x轴、y轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示， 第 11 页（共 21 页） 由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确； 令 2 2 1 4 x y中的0y ，解得2x ， 向右平移一个单位可得到横坐标为 3， 根据对称性可知3

26、3x 剟，故选项B错误； 令 2 2 1 4 x y中的0 x ，解得1y ， 向上平移 1 2 个单位可得纵坐标的最大值为 3 2 ， 曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为 39 3 22 ， 所以曲线C围成的区域面积小于 9 418 2 ，故选项C正确； 令 2 2 (1)1 ()1 42 x y 中的0 x ， 可得 13 22 y ， 所以到点 1 (0, ) 2 的最近距离为 3 2 ，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若存在实数x，使得不等式 2 0 xax

27、a成立，则实数a的取值范围为 (， 0)(4，) 【解答】解：不等式 2 0 xaxa可化为 2 (1)xa x， 当10 x ，即1x 时，不等式化为 2 1 x a x ； 设 2 ( ) 1 x f x x ，其中1x ； 所以 22 (1)2(1)111 ( )(1)22 (1)24 1111 xxx f xxx xxxx ， 当且仅当2x 时取等号； 第 12 页（共 21 页） 所以实数4a ； 当10 x ，即1x 时，不等式化为10，显然不成立； 当10 x ，即1x 时，不等式化为 2 1 x a x ； 设 2 ( ) 1 x f x x ，其中1x ； 所以 22 (1)

28、2(1)111 ( )(1)22 (1)20 1111 xxx f xxx xxxx ， 当且仅当0 x 时取等号； 所以实数0a ； 综上知，实数a的取值范围是(，0)(4，) 故答案为：(，0)(4，) 14 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 2 4a ， 8 16a ，则 5 a 8 【解答】解：数列 n a是等比数列， 2 4a ， 8 16a ， 2 285 4 1664aaa， 5 8a 故答案为：8 15 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F、右准线为 1，若l上存在点P， 使得线段PF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最小值为

29、21 【解答】解：由题意可知，(,0)Fc，右准线方程为， 2 a x c ， 设点 2 (aP c ， 0) y，则PF中点坐标为 2 ( 2 a c c ， 0 ) 2 y ，又该点在椭圆上， 2 2 2 0 22 () 1 44 a c y c ab ， 0 22byb， 2 2 2 () 1 4 a c c a ， 化简得， 4224 60ca ca，即 42 61 0ee ， 2 32 232 2e剟， 2121e剟，又01e， 第 13 页（共 21 页） 所以椭圆的离心率的范围为 21，1)， 故椭圆的离心率的最小值为21， 故答案为：21 16 （5 分）已知函数 2 ( )(

30、44)(42)2()f xaxaxaaR，则该函数( )f x的图象恒过 定点 1 ( 2 ，0) ； 若满足( )0f x 的所有整数解的和为6， 则实数a的取值范围是 【解答】解：函数 222 ( )(44)(42)2(441)422f xaxaxaaxxxx， 因为函数过定点，则一定有 2 4410 xx ，解得 1 2 x ， 此时 1 ()0 2 f ，所以函数( )f x过定点 1 ( 2 ，0)； 因为函数 2 ( )(44)(42)2f xaxaxa， 当1a 时，( )630f xx显然不满足题意， 当1a 时，( )(22)2(21)f xaxax， 令( )0f x ，解

31、得 1 2 x 或 2 22 a a ， 当1a 时，函数( )f x为开口向上的抛物线，且 12 21 222 a xx a ， 所有解的和为6，则解为1，2，3， 故有 2 43 22 a a ，解得10 8 75 a ， 当1a 时， 1 21 222 a x a 可知所有解为正数不成立， 综上，满足题意的a的取值范围为 10 8 , ) 75 ， 故答案为： 10 8 , ) 75 四四、解答题（本大题共、解答题（本大题共 6 小题。计小题。计 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）骤） 17 （10 分）已知命题p：实

32、数m满足不等式 22 320(0)mamaa；命题q：实数m满 足方程 22 1 15 xy mm 表示双曲线 （1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 第 14 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由 22 320mama得()(2 )0ma ma， 而0a ，所以2ama， 所以实数m的取值范围为( ,2 )aa； （2）命题p为真时，实数m的取值范围为( ,2 )aa； 命题q为真时，(1)(5)0mm，即实数m的取值范围为(1,5)； 而p是q的充分不必要条件，即(a，2 )(1a ，5)， 所以 1 25 a a ，解得 5

33、 1 2 a剟 所以实数a的取值范围 5 1 2 a剟 18 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，M为BC的中点，3PAPBPCABAC， 2 6BC （1）求二面角PBCA的大小； （2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值 【解答】解：如图， （1）连接PM，AM，由PBPCABAC， 得PMBC，AMBC，则PMA为二面角PBCA的平面角， 由3PBPCABAC，2 6BC ，得 22 3( 6)3AMPM， 又3PA ， 222 ( 3)( 3)31 cos 2233 PMA ， 120PMA， 即二面角PBCA的大小为120； （2）取PC的中点N，连接MN，则有/ /MNPB，异面

34、直线AM与PB所成角的大小等于 第 15 页（共 21 页） AMN（或其补角） 13 22 MNPB，3AM ， 在等边三角形PAC中，求得 3 3 2 AN ， 在AMN中，由余弦定理可得： 927 3 3 44 cos 3 6 23 2 AMN 异面直线AM与PB所成角的余弦值为 3 6 19（12 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 数列 n b为正项等比数列， 其满足 11 2ab， 453 Sab， 32 8ab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 _，求数列 n c的前n项和 n T 在 1 1 nn nn cb a a ， nnn ca b， 11

35、 2 n n nnn a c a ab 这三个条件中任一个补充在第 （2） 问中； 并对其求解 【解答】解： （1）由题意，设等差数列 n a的公差为d，则 5 24ad， 3 22ad， 4 43 4286 2 Sdd ， 设正项等比数列 n b的公比为q，则 2 3 2bq， 2 2bq， 由题意，可得 2 24286 2228 dqd dq ， 化简，可得 2 3 3 qd qd ， 第 16 页（共 21 页） 整理，得 2 60qq， 解得3q （舍去） ，2q ， 3321dq， 21 (1)1 n ann ，*nN， 1 2 22 nn n b ，*nN， （2）方案一：选条件

36、1 1111 22 (1)(2)12 nn nn nn cb a annnn ， 则 12nn Tccc 12 111111 (2 )(2 )(2 ) 233412 n nn 12 111111 ()(222 ) 233412 n nn 1 1122 2212 n n 1 13 2 22 n n ， 方案二：选条件 (1) 2n nnn ca bn， 123 123 2 23 24 2(1) 2n nn Tccccn ， 231 22 23 22(1) 2 nn n Tnn ， 两式相减，可得 1231 2 2222(1) 2 nn n Tn 21 1 22 4(1) 2 12 n n n 1

37、 2nn ， 1 2n n Tn ， 方案三：选条件 11 11 2311 (1)(2) 2(1) 2(2) 2 n n nnn nnn an c a abnnnn ， 12nn Tccc 第 17 页（共 21 页） 12231 111111 2 23 23 24 2(1) 2(2) 2 nn nn 11 11 2 2(2) 2nn 1 11 4(2) 2nn 20 （12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAABAC，ABAC，M是棱BC 的中点，点P在线段 1 AB上 （1）若P是线段 1 AB的中点，求直线MP与平面 11 ABB A所成角的大小； （2）若N

38、是 1 CC的中点，平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为 5 37 37 ，求线段 BP的长度 【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC， 1 AA所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0A，0，0)，(2B，0，0)，(0C，2，0)， 1(0 A，0，2)， (1M，1，0) （1）若P是线段 1 AB的中点，则(1P，0，1)，(0MP ，1，1)， 平面 11 ABB A的一个法向量为(0,1,0)m ， 则直线MP与平面 11 ABB A所成角的最小值为： 12 |cos,| | | 2| |2 1 MP m MP m MPm ， 则直线MP与平面

39、 11 ABB A所成的角的大小为 4 ； （2）由(0N，2，1)，得( 1MN ，1，1) 设(P x，y，) z， 1 BPBA，01剟， 则(2x，y，)( 2z，0，2)， 第 18 页（共 21 页） 22 0 2 x y z ，得(22P，0，2 )，则(12MP，1，2 ) 设平面PMN的法向量 1 (nx，y，) z， 则 1 1 0 (12 )20 nMNxyz nMPxyz ，取1z ，得 1 (1 2 n ， 1 2 ，1) 平面CMN的一个法向量为 2 (1,1,0)n ， 平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为 5 37 37 ， 12 12 22 12 1

40、|1| 5 37 |cos,| | 37| |11 (1)()12 22 nn n n nn ， 解得 2 3 ，得 2 (3P，0， 4) 3 ， 44 (,0, ) 33 BP ，可得 4 2 | | 3 BPBP 21 （12 分）设抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F，其准线与y轴交于M抛物线上一点的 纵坐标为 4，且该点到焦点F的距离为 5 （1）求抛物线的方程； （2）自M引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，设MPMQ若 4 7 | (0, 3 PQ ，求 实数的取值范围 【解答】解： （1）由抛物线的方程可得准线的方程为 2 p y ， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准

41、线的距离， 第 19 页（共 21 页） 所以45 2 p ，解得：2p ， 所以抛物线的方程为： 2 4xy； （2）由（1）可得点(0, 1)M，由题意可得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为： 1yxk， 设 1 (P x， 2 1 ) 4 x ， 2 (Q x， 2 2 ) 4 x ， 联立直线PQ与抛物线的方程： 2 1 4 yx xy k ，整理可得： 2 440 xxk， 可得： 2 16440 k，即1k或1 k， 12 4xx k， 12 4x x ， 因为MPMQ即 1 (x， 2 1 2 1)( 4 x x， 2 2 1) 4 x ， 所以 12 xx， 22224 1

42、212 |1()41161641PQxxx xkkkk， 由若 4 7 | (0, 3 PQ ，可得： 4 4 7 41 3 k?， 解得： 2 4 3 k ?， 所以： 2 4 1 3 k ?， 由 2 2 (1) 4 k， 所以 2 2 (1) 4 (1)16 3 01 1 03 3 且 或 剟 1 3 3 剟，且1， 实数的取值范围 1 3，1)(1，3 22（12 分） 已知直线: l yxmk与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 交于A，B两个不同的点， 点M为AB中点，点O为坐标原点且椭圆C的离心率为 2 2 ，长轴长为 4 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若OA，

43、OB的斜率分别为 1 k， 2 k， 2 2 k，求证： 12 k k为定值； （3）已知点(1,2)N，当AOB的面积S最大时，求OM ON的最大值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）根据题意得 222 24 2 2 a c a acb ，解得 2 4a ， 2 2b ， 2 2c ， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy （2）根据题意可得直线l的方程为 2 2 yxm， 联立 22 2 2 1 42 yxm xy ，得 22 220 xmxm， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 所以 12 2xxm ， 2 12 2x xm， 所以 12 12

44、 12 1212 22 ()() 22 xmxm y y x xx x kk 2 12 1212 12 22 xxm m x xx x 2 22 1221 22222 mm m mm ，为定值 （3）联立 22 1 42 yxm xy k ，得 222 (12)4240 xmxmkk， 22222 (4)4(12)(24)816320mmm kkk，即 22 420mk， 设( A A x，) A xmk，( B B x，) B xmk， 因为AB中点为M， 所以点M坐标为( 2 AB xx ，) 2 AB yy ，即 2 2 ( 12 m k k ， 2) 12 m k 所以 2 4 12

45、AB m xx k k ， 2 2 24 12 AB m x x k ， 2 22 42 ()22 1212 ABAB mm yyxxmm k k kk ， 则 2 2222 22 424 |1()41()4 1212 ABAB mm ABxxx x k kk kk 22 2 2 2 2 24 1 12 m k k k ， 第 21 页（共 21 页） 点O到直线AB的距离 2 | 1 m d k ， 从而 222 2 (24)1 |2 212 mm SAB d k k ， 由均值不等式得 222 2222 24 (24)12 2 mm mm k k刱，可得2S， 当且仅当 222 24mmk

46、，即 22 12m k取等号， 代入得 2 120k成立， 此时点M坐标为 2 ( m k ， 1 ) m ， 2 (OM ON m k ， 1 ) (1 m ， 2222 2) mmm kk ， 22 22 222 2244 2244 224 24 2 ()()22 1 1212 2 OM ON mm kkkkkk kk k k ， 若要使得OM ON最大，则0k， 当0k时， 11 2()( 2 )2 2 kk ? kk ， （当且仅当 1 2 k k ，即 2 2 k时，取等 号） ， 所以 4 24 2 1 2 2 2 k k ，所以 4 2 2 1 2 k k ，所以 4 2 24 1 2 k k ， 所以 2 ()4OM ON，所以22OM ON剟， 所以OM ON最大值为 2