2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期末数学学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期末数学 试卷（文科）试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分） 命题 “若两条直线平行， 则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、 逆否命题，这四个命题中真命题的个数为( ) A0 B2 C3 D4 2 （5 分）袋中装有大小和材质均相同的红球 4 个，黄球

2、2 个，白球 1 个，从中随机取出一 个球，记事件A为“取出的是红球” ，事件B为“取出的是黄球” ，则下列关于事件A和事 件B的关系说法正确的是( ) A不互斥但对立 B不互斥也不对立 C互斥且对立 D互斥但不对立 3 （5 分）命题“2x ， 2 6xx ”的否定是( ) A2x ， 2 6xx B 0 2x ， 2 00 6xx C2x ， 2 6xx D 0 2x， 2 00 6xx 4 （5 分） 平面内有两个定点A、B和一个动点M，| 5AB ，|(MAMBa a为常数） 若 p表示“6a ” ， q表示“点M的轨迹是椭圆” 则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C

3、充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）若方程 22 2450 xyxaya表示圆，则下列四个数中a不能取的是( ) A1 B2 C1 D2 6 （5 分）某校高二年级有 980 名同学，编号为 1 到 980，采用系统抽样的方法从中抽出 49 人，已知被抽出的编号中有一个为 22，则下列编号中没有被抽中的是( ) A82 B202 C372 D562 7 （5 分）圆 22 :(2)16Mxy与圆 22 :(4)(8)36Nxy的位置关系为( ) A外离 B外切 C相交 D内切 8 （5 分）从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字 第 2 页

4、（共 17 页） 为偶数” ，事件B为“抽取的数字为 3 的倍数” ，则事件AB发生的概率为( ) A 5 7 B 6 7 C 3 7 D 4 7 9 （5 分）已知抛物线 2 2xay的焦点在直线3260 xy上，则(a ) A3 B4 C6 D2 10 （5 分）把点M随机投入长为 5，宽为 4 的矩形ABCD内，则点M与矩形ABCD四边的 距离均不小于 1 的概率为( ) A 3 10 B 2 5 C 3 5 D 4 5 11 （5 分）已知曲线 2 9yx 与直线5xmy只有一个交点，则实数m的值为( ) A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 12 （5 分）已知椭圆 22

5、:1 43 xy M的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F作y轴的平行线交 椭圆M于A、B两点，O为坐标原点，双曲线N以 1 F、 2 F为顶点，以直线OA、OB为渐 近线，则双曲线N的焦距为( ) A 13 2 B 5 2 C13 D5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值是 第 3 页（共 17 页） 14 （5 分）为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系，有关人员调查了某省商品 猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况，得到如表中的数据： 商品猪存栏量（千万头

6、） 2.5 2.6 3.1 3.2 3.6 猪肉平均市场价格 （元/千 克） 70 68 52 49 36 根据这组数据，得到了该省猪肉的平均市场价格y（元/千克）关于商品猪存栏量x（千万 头）的线性回归方程为31yxa ，则 a 15 （5 分）已知抛物线 2 5yx上一点( , )Q m n到焦点的距离为 25 4 ，则|mn 16 （5 分）已知圆 22 :(2)(5)4Cxy的圆心为C，T为直线220 xy上的动点， 过点T作圆C的切线，切点为M，则TM TC的最小值为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解

7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知命题:1px ，2，20 x m，命题q：方程 22 1 42 xy mm 表示双曲 线 （1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围； 第 4 页（共 17 页） （2）若命题pq为真，且pq为假，求实数m的取值范围 18 （12 分）已知圆C经过点(2,5)，(5,2)，(2, 1) （1）求圆C的方程； （2）设点( , )P x y在圆C上运动，求 22 (2)(1)xy的最大值与最小值 19 （12 分）2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都市举行，成都市某大学为了解 该校大学生每天的体育锻炼情况， 在全体大学

8、生中随机抽取了 200 名学生， 对他们每天的体 育锻炼时间（单位：分钟）进行统计，由此得到频率分布直方图（如图） （1）求t的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数； （3）若要从每天体育锻炼时间在40，50)，50，60)的两组学生中，采用分层抽样的方 法选取 5 人了解他们的锻炼方式， 再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿者， 求抽取的 2 人每天 体育锻炼时间在同一组内的概率 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，点F到直线10 xy 的距 离为 2 2 ，点P是椭圆上的一动点，|PF的最大值为2 22

9、（1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为( 1,1)T ，求直线l的方程 21 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(0,2)的距离与到直线2y 的距 离相等 （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）经过点(0,3)作任一直线l与轨迹E相交于A、B两点，过A点作直线3y 的垂线， 第 5 页（共 17 页） 垂足为C点，求证：B、O、C三点共线 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为( 3，0)， 点(2 ,1 )P在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l是圆 22 :1M xy的一条切线，

10、且直线l与椭圆C相交于点M、N，求MON 面积的最大值 第 6 页（共 17 页） 2020-2021 学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期末数学学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期末数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分） 命题 “若两条直线平行， 则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、 逆否命题，这四个命题中真命题的个数

11、为( ) A0 B2 C3 D4 【解答】解：命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”为真命题，故逆否命 题为真命题， 逆命题：若两条直线在同一个平面内，则这两条直线平行为假命题，故否命题为假， 原命题、否命题、逆否命题，这四个命题中真命题的个数 2 故选：B 2 （5 分）袋中装有大小和材质均相同的红球 4 个，黄球 2 个，白球 1 个，从中随机取出一 个球，记事件A为“取出的是红球” ，事件B为“取出的是黄球” ，则下列关于事件A和事 件B的关系说法正确的是( ) A不互斥但对立 B不互斥也不对立 C互斥且对立 D互斥但不对立 【解答】解：取出一个球不能即是红球又是黄球， 故A

12、与B不能同时发生，A，B互斥， 又因为袋中还有白球， 故A与B互斥但不对立， 故选：D 3 （5 分）命题“2x ， 2 6xx ”的否定是( ) A2x ， 2 6xx B 0 2x ， 2 00 6xx C2x ， 2 6xx D 0 2x， 2 00 6xx 【解答】解：因为命题是： “2x ， 2 6xx ” ， 所以它的否定是： 0 2x ， 2 00 6xx 第 7 页（共 17 页） 故选：B 4 （5 分） 平面内有两个定点A、B和一个动点M，| 5AB ，|(MAMBa a为常数） 若 p表示“6a ” ， q表示“点M的轨迹是椭圆” 则p是q的( ) A充分不必要条件 B必

13、要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为| 5AB ，且|(MAMBa a为常数） ， 所以要使点M的轨迹为椭圆，则5a ， 所以“6a ”是“点M的轨迹是椭圆”的充分不必要条件 故选：A 5 （5 分）若方程 22 2450 xyxaya表示圆，则下列四个数中a不能取的是( ) A1 B2 C1 D2 【解答】解：方程 22 2450 xyxaya表示圆，即方程 222 (1)(2 )451xyaaa 表示圆， 2 4510aa 恒成立，1a ，或 1 4 a ， 故选：A 6 （5 分）某校高二年级有 980 名同学，编号为 1 到 980，采用系统抽样的方法从中

14、抽出 49 人，已知被抽出的编号中有一个为 22，则下列编号中没有被抽中的是( ) A82 B202 C372 D562 【解答】解：间隔为 980 20 49 ， 又1 20222， 故首次抽到的号码是 002 号，以后每隔 20 个号抽到一个学生， 824202，20210202，372182012，56228202， 则 372 没有被抽中， 故选：C 7 （5 分）圆 22 :(2)16Mxy与圆 22 :(4)(8)36Nxy的位置关系为( ) A外离 B外切 C相交 D内切 【解答】解：根据题意，圆 22 :(2)16Mxy，其圆心M为( 2,0)，半径4R ， 第 8 页（共 1

15、7 页） 圆 22 :(4)(8)36Nxy，其圆心M为(4, 8)，半径6R ， 圆心距|366410MN ，有|MNRr， 两圆外切， 故选：B 8 （5 分）从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字 为偶数” ，事件B为“抽取的数字为 3 的倍数” ，则事件AB发生的概率为( ) A 5 7 B 6 7 C 3 7 D 4 7 【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的 数字为偶数” ， 事件B为“抽取的数字为 3 的倍数” ， 基本事件总数7n ， AB包含的基本事件有 2，3，4，6，共 4 个，

16、事件AB发生的概率为 4 7 P 故选：D 9 （5 分）已知抛物线 2 2xay的焦点在直线3260 xy上，则(a ) A3 B4 C6 D2 【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为：(0,) 2 a ， 代入直线方程：3 0260 2 a ，解得6a ， 故选：C 10 （5 分）把点M随机投入长为 5，宽为 4 的矩形ABCD内，则点M与矩形ABCD四边的 距离均不小于 1 的概率为( ) A 3 10 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：把点M随机投入长为 5，宽为 4 的矩形ABCD内， 则点M与矩形ABCD四边的距离均不小于 1 的区域是： 以矩形ABCD的

17、中心为中心，且长为 3，宽为 2 的小矩形， 点M与矩形ABCD四边的距离均不小于 1 的概率为： 第 9 页（共 17 页） 323 5410 P 故选：A 11 （5 分）已知曲线 2 9yx 与直线5xmy只有一个交点，则实数m的值为( ) A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 【解答】解：由 2 9yx ，得 22 9(0)xyy 将5xmy代入 22 9(0)xyy中，可得 22 (1)10160mymy， 曲线 2 9yx 与直线5xmy只有一个交点， 22 10064(1)0mm， 4 3 m ， 2 90 x， 3x ，3， 当 4 3 m 时，55xmy与 3x ，

18、3矛盾， 4 3 m 故选：B 12 （5 分）已知椭圆 22 :1 43 xy M的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F作y轴的平行线交 椭圆M于A、B两点，O为坐标原点，双曲线N以 1 F、 2 F为顶点，以直线OA、OB为渐 近线，则双曲线N的焦距为( ) A 13 2 B 5 2 C13 D5 【解答】解：由椭圆 22 :1 43 xy M，得 2 4a ， 2 3b ， 则 22 1cab， 1( 1,0) F， 2(1,0) F， 把1x 代入 22 1 43 xy ，得 3 2 y ，得 3 (1, ) 2 A， 3 (1,) 2 B， 3 2 OA k， 3 2 OB

19、 k， 则双曲线N的渐近线方程为 3 2 yx ， 又 1 F、 2 F为双曲线N的顶点，双曲线的实半轴长为 1， 则双曲线的虚半轴长为 3 2 ，双曲线N的半焦距 22 1 313 1( ) 22 c ， 第 10 页（共 17 页） 双曲线N的焦距为13 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值是 122 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1i ，1s 执行循环体，2s ，2i 不满足条件5i ，执行循环体，5s ，3i 不满足条件5i ，执行循环体，14s ，4i

20、不满足条件5i ，执行循环体，41s ，5i 不满足条件5i ，执行循环体，122s ，6i 此时，满足条件5i ，退出循环，输出s的值为 122 故答案为：122 14 （5 分）为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系，有关人员调查了某省商品 猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况，得到如表中的数据： 第 11 页（共 17 页） 商品猪存栏量（千万头） 2.5 2.6 3.1 3.2 3.6 猪肉平均市场价格 （元/千 克） 70 68 52 49 36 根据这组数据，得到了该省猪肉的平均市场价格y（元/千克）关于商品猪存栏量x（千万 头）的线性回归方程为31yxa ，则 a 148

21、【解答】解：根据表中数据，计算 1 (2.52.63.13.23.6)3 5 x ， 1 (7068524936)55 5 y ， 代入线性回归方程31yxa 中， 得315531 3148ayx 故答案为：148 15 （5 分）已知抛物线 2 5yx上一点( , )Q m n到焦点的距离为 25 4 ，则|mn 10 【解答】解：抛物线 2 5yx上一点( , )Q m n，可得： 2 5nm， 可得准线方程为 5 4 x ，焦点 5 (4F，0)， 由抛物线的性质到焦点的距离为 25 4 ， 可得 525 | 44 QFm，所以5m ， 所以| 5n ， | 10mn， 故答案为：10

22、16 （5 分）已知圆 22 :(2)(5)4Cxy的圆心为C，T为直线220 xy上的动点， 过点T作圆C的切线，切点为M，则TM TC的最小值为 16 【解答】解：由已知，圆心坐标是(2,5)，半径是 2，如图， 22 ()TM TCTCCMTCTCCM TCTCCM CT， 又M是切点，CT在CM方向上的投影就是线段CM代表的数量，故 2 4CM CTCM是 个定值， 故当CT取到最小值时，TM TC取到最小值，即CT是圆心到直线的垂线段时取到最小值 第 12 页（共 17 页） 又直线220 xy，故圆到直线的距离是 22 |2252| 2 5 12 ， 所以TM TC的最小值是 2

23、(2 5)416， 故答案为：16 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知命题:1px ，2，20 x m，命题q：方程 22 1 42 xy mm 表示双曲 线 （1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题pq为真，且pq为假，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）因为命题q为假命题，则q为真命题， 所以(4)(2)0m m，解得4m 或2m ， 故实数m的取值范围为|4m m 或2m ； （2）命题:1px ，2，20 x m， 即2x

24、m对1x ，2恒成立，只需(2 ) x min m， 所以2m； 因为命题pq为真，且pq为假， 所以p、q一真一假， 则有 2 24 m m 剟 或 2 42 m mm 或 ， 第 13 页（共 17 页） 解得实数m的取值范围为|4m m 或22m 剟 18 （12 分）已知圆C经过点(2,5)，(5,2)，(2, 1) （1）求圆C的方程； （2）设点( , )P x y在圆C上运动，求 22 (2)(1)xy的最大值与最小值 【解答】解： （1）圆C经过点(2,5)，(5,2)，(2, 1)， 设圆C的方程为 22 0 xydxeyf，把ABC三点的坐标代入，可得 425250 254

25、520 4120 def def def ， 求得 4 4 1 d e f ，可得圆C的方程为 22 4410 xyxy ，即 22 (2)(2)9xy， 表示以(2,2)C为圆心，半径等于 3 的圆 （2）由题意可得(2,2)C， 而 22 (2)(1)xy的表示圆上的点P到点( 2, 1)M 的距离的平方， 22 (22)(21)5CM ， 故 22 (2)(1)xy的最大值为 2 (3)64CM ， 22 (2)(1)xy的最小值为 2 (3)4CM 19 （12 分）2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都市举行，成都市某大学为了解 该校大学生每天的体育锻炼情况， 在全体大

26、学生中随机抽取了 200 名学生， 对他们每天的体 育锻炼时间（单位：分钟）进行统计，由此得到频率分布直方图（如图） 第 14 页（共 17 页） （1）求t的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数； （3）若要从每天体育锻炼时间在40，50)，50，60)的两组学生中，采用分层抽样的方 法选取 5 人了解他们的锻炼方式， 再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿者， 求抽取的 2 人每天 体育锻炼时间在同一组内的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： (46432 ) 101tttttt， 解得0.005t （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体

27、育锻炼时间的平均数为： 350.005 10450.02 10550.03 10650.02 10750.015 10850.01 1060 x （3）要从每天体育锻炼时间在40，50)，50，60)的两组学生中， 用分层抽样的方法选取 5 人了解他们的锻炼方式， 则从每天体育锻炼时间在40，50)的学生中抽取： 0.02 52 0.020.03 人， 从每天体育锻炼时间在50，60)的学生中抽取： 0.03 53 0.020.03 人， 再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿者， 基本事件总数 2 5 10nC， 抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内包含的基本事件个数 22 23 4mC

28、C， 抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内的概率 42 105 m P n 第 15 页（共 17 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，点F到直线10 xy 的距 离为 2 2 ，点P是椭圆上的一动点，|PF的最大值为2 22 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为( 1,1)T ，求直线l的方程 【解答】解： （1）设椭圆C的左焦点(,0)Fc， 由题意可得， |1|2 22 2 22 c ac ，解得2 2a ，2c ，则 222 4bac 椭圆C的方程为 22 1 84 xy ； （2）设

29、 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 22 11 1 84 xy ， 22 22 1 84 xy ， 两式作差可得： 2222 1212 84 xxyy ， 即 1212 1212 21 2()222 yyxx xxyy ，可知直线l的斜率为 1 2 ， 则直线l的方程为 1 1(1) 2 yx ，即230 xy 21 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(0,2)的距离与到直线2y 的距 离相等 （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）经过点(0,3)作任一直线l与轨迹E相交于A、B两点，过A点作直线3y 的垂线， 垂足为C点，求证：B、O、C三点共线

30、【解答】 （1）解：由抛物线的定义，可知动点P的轨迹是以(0,2)为焦点，以2y 为准线 的抛物线， 则抛物线方程 2 8xy； （2）证明：设点A，B的坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 依题意得， 2 11 8xy， 2 22 8xy， 由直线l与轨迹E相交于A、B两点，可得直线l的斜率存在，设直线方程为3yxk， 联立 2 3 8 yx xy k ，得 2 8240 xxk， 第 16 页（共 17 页） 可得 12 8xx k， 12 24x x ， 由题意得， 1 (C x，3)， 22 2 8 OB yx x k， 2 1 2 33 24 8 OC x x

31、x k， OBOC kk，即B、O、C三点共线 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为( 3，0)， 点(2 ,1 )P在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l是圆 22 :1M xy的一条切线，且直线l与椭圆C相交于点M、N，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可得， 22 22 41 1 3 ab ab ，解得 2 6a ， 2 3b 椭圆C的方程为 22 1 63 xy ； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为1x ， 此时O到MN的距离为 1，|10MN ， 110 110 22 OMN S ； 当直线l的斜率存在时

32、，设直线方程为yxmk， 由 2 | 1 1 m k ，得 22 1m k 联立 22 1 63 yxm xy k ，得 222 (12)4260 xmxmkk 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 26 12 m x x k ， 2 2222 1212 22 4824 |1()41() 1212 mm MNxxx x k kk kk 2 2 2 2 104 1 12 k k k O到MN的距离1d 222 2 222 12 104(1)(104) 1 212(12) OMN S kkk k kk 第 17 页（共 17 页） 令 2 12(1)tt k?，则 2 125 22 OMN S tt ， 当 1 2 t ，即 2 2 k时， 3 2 () 2 OMNmax S 综上，MON面积的最大值为 3 2 2