2020-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在符题卷的相应编号的空格内题，考生应在符题卷的相应编号的空格内 直接填结果，每题填对得直接填结果，每题填对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （3 分）直线1x 倾斜角的大小为 2 （3 分）椭圆 22 1 95 xy 的焦距为 3 （3 分）计算： 1 21 lim 21 n n n 4 （3 分）已知向量(1,2)am，(1,)bm，若ab，则实数m的值为

2、 5 （3 分）若 2 与a的等差中项与等比中项相等，则实数a的值为 6 （3 分）平行直线210 xy 与210 xy 之间的距离为 7 （3 分）已知ABC的三个顶点的坐标分别为(2,1)、( 3,4)、( 1, 1) ，则ABC的重心 坐标为 8 （3 分）两条直线的夹角的取值范围为 9 （3 分）若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)，则圆C的半径长为 10 （3 分）若向量a，b的夹角为 3 ，| 2a ，| 3b ，m为非零实数，则 1 |mab m 的最 小值为 11 （3 分）若将直线10 xy ，0nxyn， * 0(xnynnN，2)n围成的三角 形面积记为 n S，则

3、lim n n S 12 （3 分）过直线:2()l yxb bR上一点P作圆 22 1xy的切线，A，B为两切点， 若直线l上不存在满足0PA PB的点P，则的b取值范围为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （4 分）已知a，b为两个非零向量，若 1 (ax， 1) y， 2 (bx， 2) y，则“ 11 22 x

4、y xy ”是 “/ /ab”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14 （4 分）用数学归纳法证明： * (1)(2)()21 2 3(21)() n nnnnnnN 从 第 2 页（共 13 页） * ()Nk k到1k，若设( )(1)(2)()fkkkkk，则(1)fk等于( ) A( )2(21)fkk B( ) 2(21)fkk C 21 ( ) 1 f k k k D 21 ( ) 1 f k k k 15 （4 分）方程 2 210yxx的图形是图中的( ) A B C D 16 （4 分）已知 11 (P a， 1) b与 22 (

5、P a， 2) b是直线(yx kk为常数）上异于坐标原点的两个不 同的点，则关于x和y的方程组 11 22 1 1 a xb y a xb y 的解的情况是( ) A无论k， 1 P， 2 P如何，总是无解 B无论k， 1 P， 2 P如何，总有唯一解 C存在k， 1 P， 2 P，使之恰有两解 D存在k， 1 P， 2 P，使之有无穷多解 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域，写出必要的步骤规定区域，写出必要的步骤. 17 （8 分）已知平行四边形ABCD

6、的对角线相交于点O，设向量OAa、OBb （1）用向量a，b分别表示向DC、BC； （2）若P为直线AB上一点，k是实数，且APAB k，用向量, a b表示OP 18 （8 分）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高 度都是它在前一分钟上升高度的80%求该热气球在前 * ()n nN分钟里上升的总高度，并 判断这个热气球上升的高度是否能超过125m，请说明理由 第 3 页（共 13 页） 19 （10 分）设aR圆 22 :(1)()4Cxya （1）若0a ，点P的坐标为(3, 2)P，Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方 程； （2）若圆C上有且仅

7、有一个点到直线0 xy的距离等于 1，求a的值 20 （10 分）在数列 * () n anN中，4 m a ， 3 2 m a ，其中m为给定的正整数 （1）若 n a为等比数列，1m ，求 10 a； （2）若 n a为等差数列，其前n项和为 n S，是否存在正整数m，使得0 m S ？若存在，求 出m的值，若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知椭圆 22 :1 62 xy ，F为左焦点，P为直线3x 上一动点，Q为线段PF 与的交点，定义： | ( ) | FP d P FQ （1）若点P的纵坐标为5 5，求( )d P； （2）证明：存在常数m，n，使得( ) |md PPFn

8、第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在符题卷的相应编号的空格内题，考生应在符题卷的相应编号的空格内 直接填结果，每题填对得直接填结果，每题填对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （3 分）直线1x 倾斜角的大小为 2 【解答】解：直线1x 平行于y轴， 直线1x 的倾斜角为 2 故答案为： 2 2 （3 分）椭圆 22 1 95 xy 的焦距为 4 【解答】

9、解：椭圆 22 1 95 xy 的长半轴为 3，短半轴为5，则952c ， 椭圆的焦距为：4 故答案为：4 3 （3 分）计算： 1 21 lim 21 n n n 1 2 【解答】解： 1 1 1 21101 2 limlim 1 21202 2 2 n n n nn n 故答案为： 1 2 4 （3 分）已知向量(1,2)am，(1,)bm，若ab，则实数m的值为 1 3 【解答】解：向量(1,2)am，(1,)bm，若ab，则(1)20a bmm， 求得实数 1 3 m ， 故答案为： 1 3 5 （3 分）若 2 与a的等差中项与等比中项相等，则实数a的值为 2 【解答】解：2与a的等

10、差中项与等比中项相等， 2 2 ()20 2 a a ， 解得2a 故答案为：2 第 5 页（共 13 页） 6 （3 分）平行直线210 xy 与210 xy 之间的距离为 2 5 5 【解答】解：平行直线210 xy 与210 xy 之间的距离为 | 1 1|2 5 541 ， 故答案为： 2 5 5 7 （3 分）已知ABC的三个顶点的坐标分别为(2,1)、( 3,4)、( 1, 1) ，则ABC的重心 坐标为 2 ( 3 ， 4) 3 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 则 12 12 13 13 23 23 2 2 1

11、2 3 2 4 2 1 2 1. 2 xx yy xx yy xx yy 123 123 2 4 xxx yyy 重心坐标为 2 ( 3 ， 4) 3 故答案为： 2 ( 3 ， 4) 3 8 （3 分）两条直线的夹角的取值范围为 0, 2 【解答】解：当两条直线平行时，它们的的夹角最小为 0， 当两条直线垂直时，它们的的夹角最大为 2 ， 故两条直线的夹角的取值范围为0， 2 ， 故答案为：0， 2 9 （3 分）若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)，则圆C的半径长为 1 或 5 【解答】解：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线yx或yx 上， 当圆心C在yx上时，设圆心

12、C的坐标为( , )a a，此时圆的方程为 222 ()()xayaa， 将(1,2)代入可得： 222 (1)(2)aaa，即 2 450aa，解可得1a 或 5， 此时圆的半径为 1 或 5， 第 6 页（共 13 页） 当圆心C在yx 上时， 设圆心C的坐标为( ,)aa， 此时圆的方程为 222 ()()xayaa， 将(1,2)代入可得： 222 (1)(2)aaa，即 2 250aa，解可得1a 或 5， 此时圆的半径为 1 或 5， 故圆的半径为 1 或 5， 故答案为：1 或 5 10 （3 分）若向量a，b的夹角为 3 ，| 2a ，| 3b ，m为非零实数，则 1 |mab

13、 m 的最 小值为 3 2 【解答】解：若向量a，b的夹角为 3 ，| 2a ，| 3b ， 则|cos3 3 a ba b ， 所 以 222222 222 1199 ()2462461 8m abm aabbmm mmmm ， 当 且 仅 当 2 2 9 4m m ，即 2 3 2 m 时等号成立， 所以 1 |3 2mab m ， 即 1 |mab m 的最小值为3 2 故答案为：3 2 11 （3 分）若将直线10 xy ，0nxyn， * 0(xnynnN，2)n围成的三角 形面积记为 n S，则lim n n S 1 2 【解答】解： 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn的交点

14、为( 1 n B n ，) 1 n n ， 所以BOAC， 1: 10lxy 与x轴、y轴的交点分别为：(1,0)、(0,1)， 2AC， 1221 2() 2122(1) n nn S nn ， 所以 1 lim 2 n n S ， 故答案为： 1 2 第 7 页（共 13 页） 12 （3 分）过直线:2()l yxb bR上一点P作圆 22 1xy的切线，A，B为两切点， 若直线l上不存在满足0PA PB的点P， 则的b取值范围为 (，10 10，) 【解答】解：根据题意，圆 22 1xy的圆心为(0,0)O，半径1r ， 若直线l上不存在满足0PA PB的点P，则90APB， 当90A

15、PB，四边形OAPB为正方形，|1OAr，此时|2PO ， 当|PO最小时，APB最大，必有|2PO ， 则有 | 2 14 b d ，即|10b ， 解可得：10b或10b， 故b的取值范围为(，10 10，) 故答案为：(，10 10，) 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （4 分）已知a，b为两个非零向量，若 1

16、 (ax， 1) y， 2 (bx， 2) y，则“ 11 22 xy xy ”是 “/ /ab”的( ) 第 8 页（共 13 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：已知a，b为两个非零向量，若 1 (ax， 1) y， 2 (bx， 2) y， 则当“ 11 22 xy xy ”时， “/ /ab”成立， 当“/ /ab”时， 1221 0 x yx y，即“ 11 22 xy xy ”不一定成立 故则“ 11 22 xy xy ”是“/ /ab”的充分不必要条件 故选：A 14 （4 分）用数学归纳法证明： * (1)(2)()21 2

17、 3(21)() n nnnnnnN 从 * ()Nk k到1k，若设( )(1)(2)()fkkkkk，则(1)fk等于( ) A( )2(21)fkk B( ) 2(21)fkk C 21 ( ) 1 f k k k D 21 ( ) 1 f k k k 【解答】解：由数学归纳法证明 * (1)(2)()21 3(21)() n nnnnnnN 时， 从“k”到“1k”的证明，左边需增添的一个因式是 (21)(22) 2(21) 1 kk k k ， 则(1)( ) 2(21)ffkkk， 故选：B 15 （4 分）方程 2 210yxx的图形是图中的( ) A B C D 【 解 答 】

18、 解 ： 根 据 题 意 ， 方 程 2 210yxx， 即|1 |0yx， 则 有 第 9 页（共 13 页） 1,1 |1| 1,1 xx yx xx ， 在区间(,1)上，1yx，在区间(1,)上，1yx ，排除ABC， 故选：D 16 （4 分）已知 11 (P a， 1) b与 22 (P a， 2) b是直线(yx kk为常数）上异于坐标原点的两个不 同的点，则关于x和y的方程组 11 22 1 1 a xb y a xb y 的解的情况是( ) A无论k， 1 P， 2 P如何，总是无解 B无论k， 1 P， 2 P如何，总有唯一解 C存在k， 1 P， 2 P，使之恰有两解 D

19、存在k， 1 P， 2 P，使之有无穷多解 【解答】解： 11 (P a， 1) b与 22 (P a， 2) b是直线(yx kk为常数）上异于坐标原点的两个不同 的点，直线yx k的斜率存在， 当0k时， 12 0bb， 方程 11 22 1 1 a xb y a xb y 化为 1 2 1 1 a x a x ， 12 aa，此方程组无解； 当0k时， 21 21 bb aa k， 12 aa，且 11 ba k， 22 ba k， 2 11 21212 0a baba aa akk 11 22 1 1 a xb y a xb y ， 2 b 1 b得： 1 22 121 ()aba b

20、 xbb， 1 22 1 0a ba b， 21 0bb， 方程组无解 综上，无论k， 1 P， 2 P如何，总是无解 故选：A 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域，写出必要的步骤规定区域，写出必要的步骤. 17 （8 分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，设向量OAa、OBb （1）用向量a，b分别表示向DC、BC； 第 10 页（共 13 页） （2）若P为直线AB上一点，k是实数，且APAB k，用向量, a b表示OP 【解答】解： （1）因

21、为平行四边形ABCD的对角线相交于点O， 所以DCABOBOAba， 2()BCACABOAOBOAOBOAba （2）()(1)(1)OPOAAPOAABOAOBOAOAOBabkkkkkk 18 （8 分）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高 度都是它在前一分钟上升高度的80%求该热气球在前 * ()n nN分钟里上升的总高度，并 判断这个热气球上升的高度是否能超过125m，请说明理由 【解答】解：用 n a表示热气球在第n分钟上升的高度， * nN， 由题意可知： 1 4 5 nn aa ， 所以数列 n a是首项为 1 25a ，公比 4 5 q 的等

22、比数列， 所以该热气球在前 * ()n nN分钟里上升的总高度为 1 4 25 1( ) (1)4 5 125 1( ) 125 4 15 1 5 n n n n aq S q ， 故这个热气球上升的高度不可能超过125m， 19 （10 分）设aR圆 22 :(1)()4Cxya （1）若0a ，点P的坐标为(3, 2)P，Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方 程； （2）若圆C上有且仅有一个点到直线0 xy的距离等于 1，求a的值 【解答】解： （1）根据题意，设M的坐标为( , )x y， 又由(3, 2)P，则Q的坐标(23,22)xy， 若0a ，圆 22 :(1)4Cxy，

23、Q为圆C上的动点，则有 22 (24)(22)4xy， 第 11 页（共 13 页） 变形可得： 22 (2)(1)1xy； （2）根据题意，圆 22 :(1)()4Cxya，圆心为(1, )a，半径2r ， 若圆C上有且仅有一个点到直线0 xy的距离等于 1， 则圆心到直线0 xy的距离3d ， 则有 |1| 3 1 1 a ，解可得13 2a 或13 2 故13 2aa 或13 2 20 （10 分）在数列 * () n anN中，4 m a ， 3 2 m a ，其中m为给定的正整数 （1）若 n a为等比数列，1m ，求 10 a； （2）若 n a为等差数列，其前n项和为 n S，是

24、否存在正整数m，使得0 m S ？若存在，求 出m的值，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）因为 n a为等比数列， 1 4a ， 4 2a ， 则等比数列的公比为q，则 34 1 21 42 a q a ， 所以 93 101 11 4() 22 aa q ； （2）若 n a为等差数列，设公差为d， 则 3 36 mm aad ，解得2d ， 又 1 (1)4 m aamd， 所以 1 22am， 所以 21 ()(224) 3 22 m m m aamm Smm ， 令 2 30 m Smm， 解得0m 或3m ， 又因为m为正整数， 故不存在正整数m，使得0 m S 21 （12

25、 分）已知椭圆 22 :1 62 xy ，F为左焦点，P为直线3x 上一动点，Q为线段PF 与的交点，定义： | ( ) | FP d P FQ （1）若点P的纵坐标为5 5，求( )d P； （2）证明：存在常数m，n，使得( ) |md PPFn 第 12 页（共 13 页） 【解答】 （1）解：因为椭圆 22 :1 62 xy ，F为左焦点，所以( 2,0)F ，又(3,5 5)P， 所以直线PF的斜率为 5 5 5 3( 2) ， 所以直线PF的方程为5(2)yx， 联立方程组可得 22 5(2) 1 62 yx xy ，得 2 830270 xx， 解得 3 2 x 或 9 4 x

26、（舍)， 所以Q的横坐标为 3 2 ， 则 |3( 2) ( )10 3 | ( 2) 2 FP d P FQ ； （2）证明：设 0 (3,)Py，其中 0 yR， 则 222 00 525PFyy， 又直线PF的方程为 0 (2) 5 y yx， 联立方程组 22 0 1 62 (2) 5 xy y yx ，可得 2222 000 (325)12121500yxy xy， 所以 2422 0000 2 0 121444(325)(12150) 650 yyyy x y ， 化简可得 22 00 2 0 1210 6150 650 yy x y ， 所以 2 0 222 000 2 0 6505 ( ) 1210 6150202 6150 2 650 y d P yyy y ， 所以( )md PPFn，可得( )nmd PPF， 所以 2 20 0 2 0 (650) 25 202 6150 my ny y ， 故当给定 0 y的值时，m，n构成一条直线， 第 13 页（共 13 页） 所以存在常数m，n，使得( ) |md PPFn