2020-2021学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求符合题目要求. 1 （5 分）设i是虚数单位，复数12i的虚部是( ) A2 B2 C2i D2i 2 （5 分）设xR，则“1x ”是“01x”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）已知向量(1,2),(1, 5, 3)amb，且ab

2、，则实数(m ) A1 B2 C2 D1 4 （5 分）已知点 0 (4,)Ay为抛物线 2 8yx上的一点，F为该抛物线的焦点，则| (AF ) A4 B6 C4 3 D8 5 （5 分）2020 年 5 月 14 日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改 革， 充分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力， 构建国内国际双循环相互促进的新发展格 局” 某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客更好 的了解当地的气温情况， 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 图中A 点表示十月的平均最高气温为15 C，B点表示四月的平均最低气温为5 C下

3、面叙述不正 确的是( ) A各月的平均最低气温都在0 C以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 第 2 页（共 19 页） C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于20 C的月份有 5 个 6 （5 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右顶点分别为A，B，P为椭圆上异于A，B两 点的动点，则( PAPB kk ) A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 7 （5 分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：)mm检测结果的频率分布直方图估计 这批产品的中位数为( ) A20 B25 C22.5 D22.75 8 （5 分）双曲线 22 22 :1( ,0) xy

4、 Ca b ab 左、右焦点为 1 F， 2 F，直线3yb与C的右支相 交于P，若 12 | 2|PFPF，则双曲线C渐近线方程为( ) A 3 2 yx B 2 3 yx C 5 2 yx D 2 5 5 yx 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）下列结论正确的有( ) A 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任

5、取 2 个球， 恰有一个黑球与至少有一个红球不 是互斥事件 B在标准大气压下，水在4 C时结冰为随机事件 C若一组数据 1，a，2，4 的众数是 2，则这组数据的平均数为 3 D 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向， 拟采用分层抽样的方法从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 400 的样本进行调查若该校一、二、三、四年级 本科生人数之比为6:5:5:4，则应从四年级中抽取 80 名学生 10（5 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，PAAB， 点E为PA的中点，则下列判断正确的是( ) 第 3 页（共 19 页） APB与CD所成

6、的角为60 BBD 平面PAC C/ /PC平面BDE D:1:4 B CDEP ABCD VV 11 （5 分）已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，且a，b，c成 等比数列(c为双曲线的半焦距） ，点P为双曲线右支上的点，点I为 12 PFF的内心若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正确的是( ) A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 12 （5 分）已知函数 1 ( )|f xln xx x ，( )(1)g xxxlnx，则下列结论正确的是(

7、 ) A( )g x存在唯一极值点 0 x，且 0 (1,2)x B( )f x恰有 3 个零点 C当1k时，函数( )g x与( )h xx k的图象有两个交点 D若 12 0 x x 且 12 ()()0f xf x，则 12 1x x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知命题:pxR ， 2 230 xx，则:p 14 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，M为 11 AC与 11 D B的交点，设ABa，ADb， 1 AAc，则向量AM （用a，b，c表示） 15 （5 分）已知M为椭圆

8、22 :1 95 yx C上一点， 1 F， 2 F为椭圆C的焦点，则 12 MFF的 周长为 16 （5 分）已知函数 2 ( )(1)f xln xax，对任意的(0,1)m，(0,1)n，当mn时， (1)(1) 1 f mf n mn ，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 4 页（共 19 页） 17 （10 分）已知函数 32 ( )39f xxxx （1）求曲线( )f x在点(1, 5)处的切线方程； （2）求( )f x在区间 1，2上的

9、最小值和最大值 18 （12 分）已知抛物线 2 :4C xy （1）若直线:40l xy，求曲线C上的点到直线l距离的最小值； （2）过点(0,2)A且倾斜角为45的直线m交C于M，N两点，求|MN 19 （12 分）某企业为了提高销售利润，从 2016 年至 2020 年每年都对生产环节的技术改造 进行投资，每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增长量y（单位：万元）的数据如表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 投资金额x（万元） 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 年利润增长量y（万元） 6.0 7.0 9.0 11.0 12.0 （1）记年利润增长量投资金额

10、，现从 2016 年至 2020 年这五年中抽出两年进行调查 分析，求所抽两年都是2万元的概率； （2）如果 2021 年该企业对生产环节改进的投资金额为 10 万元，请用最小二乘法求出y关 于x的回归直线方程，并估计该企业在 2021 年的年利润增长量 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx； 参考数据： 5 1 286 ii i x y ， 5 2 1 190 i i x 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，22 3ABDC，ACBDF， 且PAD与ABD均为正三

11、角形，AE为PAD的中线，点G在线段AE，且2AGGE （1）求证：/ /GF平面PDC； （2）若平面PAD 平面ABCD，求平面PAD与平面GBC所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 1 A， 2 A分别为椭圆左、右 顶点， 1 B， 2 B分别为椭圆上、下顶点，且四边形 1122 AB A B的面积为 4 （1）求椭圆C的方程； （2） 过点 6 (,0) 5 M 的直线l与椭圆C相交于P，Q（异于点 1 A， 2) A两点， 证明： 11 APAQ 22 （12 分）已知函数(

12、)f xxlnx， 22 ( )(2 ) x g xxx exax （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对任意(0,1)x，( )( )0f xg x，求整数a的最小值 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求符合题目要求. 1 （5 分）设i是虚数单位，复数12i的虚部是( ) A2

13、 B2 C2i D2i 【解答】解：复数12i的虚部是2 故选：A 2 （5 分）设xR，则“1x ”是“01x”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为(0，1)(，1)， 所以“1x ”是“01x”的必要不充分条件 故选：B 3 （5 分）已知向量(1,2),(1, 5, 3)amb，且ab，则实数(m ) A1 B2 C2 D1 【解答】解：向量(1,2),(1, 5, 3)amb，且ab， 1 560a bm ， 解得实数1m 故选：A 4 （5 分）已知点 0 (4,)Ay为抛物线 2 8yx上的一点，F为该抛物线的焦点，则|

14、 (AF ) A4 B6 C4 3 D8 【解答】解：由题意可得抛物线 2 8yx的焦点为(2,0)F，准线的方程为2x ， 由抛物线的定义可知|AF等于点A到准线的距离d， 而|4( 2)| 6d ，故| 6AF 故选：B 第 7 页（共 19 页） 5 （5 分）2020 年 5 月 14 日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改 革， 充分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力， 构建国内国际双循环相互促进的新发展格 局” 某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客更好 的了解当地的气温情况， 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 图

15、中A 点表示十月的平均最高气温为15 C，B点表示四月的平均最低气温为5 C下面叙述不正 确的是( ) A各月的平均最低气温都在0 C以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于20 C的月份有 5 个 【解答】解：由图可知，各月的平均最高气温都在5 C以上，故选项A正确； 七月的平均温差比一月的平均温差大，故选项B正确； 三月和十一月的平均最高气温基本相同，故选项C正确； 平均最低气温高于10 C的月份有 3 个，故选项D错误 故选：D 6 （5 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右顶点分别为A，B，P为椭圆上异于A，B两 点

16、的动点，则( PAPB kk ) A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 【解答】解：由题意可知，( 2,0)A ，(2,0)B， 设( , )P x y，则， 2 PA y x k， 2 PB y x k， 2 2 4 PAPB y x kk， 第 8 页（共 19 页） 又因点P的坐标满足椭圆方程，所以 22 1 43 xy ，得 2 2 4 4 3 y x ，代入上式可得， 2 2 3 44 3 PAPB y y kk， 故选：B 7 （5 分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：)mm检测结果的频率分布直方图估计 这批产品的中位数为( ) A20 B25 C22.5 D22.7

17、5 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 0.0250.0450.30.5， 0.30.0850.70.5； 中位数应在20 25内， 设中位数为x，则 0.3(20)0.080.5x， 解得22.5x ； 这批产品的中位数是 22.5 故选：C 8 （5 分）双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 左、右焦点为 1 F， 2 F，直线3yb与C的右支相 交于P，若 12 | 2|PFPF，则双曲线C渐近线方程为( ) A 3 2 yx B 2 3 yx C 5 2 yx D 2 5 5 yx 【解答】解：把3yb代入C的方程可得2xa；(2 , 3 )Pab， 1( ,0)

18、Fc， 2( ,0) F c， 由双曲线的定义可知： 1 | 4PFa， 2 | 2PFa， 22 (2)34acba， 22 (2)32acba，整理可得 2 812aca，23ca， 第 9 页（共 19 页） 222 4()9aba， 5 2 b a ，所以双曲线的渐近线方程为： 5 2 yx 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得

19、3 分分. 9 （5 分）下列结论正确的有( ) A 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球， 恰有一个黑球与至少有一个红球不 是互斥事件 B在标准大气压下，水在4 C时结冰为随机事件 C若一组数据 1，a，2，4 的众数是 2，则这组数据的平均数为 3 D 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向， 拟采用分层抽样的方法从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 400 的样本进行调查若该校一、二、三、四年级 本科生人数之比为6:5:5:4，则应从四年级中抽取 80 名学生 【解答】解：对于A，从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球， 恰有一个黑球是：

20、一黑一红，至少有一个红球是：一黑一红和两红， 两个事件可以同时发生，故不是互斥事件，故A正确； 对于B，在标准大气压下，水在4 C 时结冰是不可能事件，故B错误； 对于C，若一组数据 1，a，2，4 的众数是 2，则2a ，则这组数据的平均数为 19 (1224) 44 ，故C错误； 对于D，因为该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4， 所以应从四年级中抽取学生人数为 4 40080 6554 ，故D正确 故选：AD 10（5 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，PAAB， 点E为PA的中点，则下列判断正确的是( ) 第 10 页（共

21、19 页） APB与CD所成的角为60 BBD 平面PAC C/ /PC平面BDE D:1:4 B CDEP ABCD VV 【解答】解：对于A，/ /CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角， PA 平面ABCD，AB 平面ABCD，PAAB， 在Rt PAB中，PAAB，45PAB， 即PB与CD所成角为45，故A错误； 对于B，四边形ABCD为正方形，ACBD， PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，PABD， PAACA，PA、AC 平面PAC，BD平面PAC，故B正确； 对于C，连结AC，交BD于点F，则F为AC的中点，连结EF， E为PA的中点，/ /EFPC，而EF 平面

22、BDE，PC 平面BDE， / /PC平面BDE，故C正确； 对于D，设ABPAx，则 3 11 33 P ABCD VAB AD PAx ， 23 11 111 33 2212 B CDEE BCDBCD VVSAExxx 33 11 :1:4 123 B CDEP ABCD VVxx ，故D正确 故选：BCD 11 （5 分）已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，且a，b，c成 等比数列(c为双曲线的半焦距） ，点P为双曲线右支上的点，点I为 12 PFF的内心若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正确的是( )

23、 A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：a，b，c成等比数列， 2 bac， 对于A，当 2 PFx轴时，点P为 2 ( ,) b c a ， 2 2 12 12 |1 tan |222 b PFac a PFF FFcac ，显然 12 30PFF，即选项A错误； 对于B， 222 bacca，1 c e a ， 2 10ee ，解得 15 2 e （舍负） ，即选项B正确； 对于C，设圆I的半径为r， 121 2 IPFIPFIF F SSS， 1212 111 | 222 rPFr

24、PFrFF ，即 1212 | |PFPFFF， 由双曲线的定义知， 12 | 2PFPFa， 22ac，即 151 2 a ce ，故选项C正确； 对于D，设直线 1 PF， 2 PF和 12 FF分别与圆I相切于点M，N，T，如图所示， 由双曲线的定义和切线长的性质可知， 1212 | 2|PFPFaTFTF， 12 | 2TFTFc， 2 |TFca，即( ,0)T a， 点I的横坐标为定值a，即选项D正确 故选：BCD 12 （5 分）已知函数 1 ( )|f xln xx x ，( )(1)g xxxlnx，则下列结论正确的是( ) A( )g x存在唯一极值点 0 x，且 0 (1

25、,2)x B( )f x恰有 3 个零点 C当1k时，函数( )g x与( )h xx k的图象有两个交点 第 12 页（共 19 页） D若 12 0 x x 且 12 ()()0f xf x，则 12 1x x 【解答】解：对于A：函数( )(1)g xxxlnx，(0,)x， 则 11 ( )1 xxlnx g xlnx xx ， 设( )1G xxlnx ，(0,)x， ( )1G xlnx 在 1 (0, ) e 上，( )0G x，( )G x单调递增， 在 1 (e，)上，( )0G x，( )G x单调递减， 故( )G x在(1,2)上单调递增， 又G（1）10 ，G（2）1

26、221410lnlnlne ， 所以( )G x在区间(1,2)内存在零点 0 x， 所以函数( )g x存在唯一极值点 0 x，且 0 (1,2)x ，故A正确； 对于B：当0 x 时， 2 22 111 ( )10 xx fx xxx ， 所以( )f x在(0,)上为减函数， 又f（1）01 10 ，所以( )f x在(0,)上只有一个零点； 当0 x 时， 2 22 111 ( )10 xx fx xxx ， 所以( )f x在(,0)上为减函数； 又( 1)01 10f ，所以( )f x在(,0)上只有一个零点， 所以( )f x恰有 2 个零点，故B错误； 对于C：函数( )g

27、x与( )h xx k的图象交点方程(1)xxlnxx k的根， 即为 (1)xxlnx x k的根， 令 (1) ( ) xxlnx q x x ， 2 1 ( ) xlnx q x x ，令( )1t xxlnx ， 1 ( )10t x x ，所以在(0,)上，( )t x单调递减， 又t（1）0，所以在(0,1)上，( )0t x ，( )0q x，( )q x单调递增， 在(1,)上，( )0t x ，( )0q x，( )q x单调递减，( )maxq xq（1）1， 所以当1k时，( )q x有两个零点， 即函数( )g x与( )h xx k的图象有两个交点，故C正确； 对于D

28、：当 12 0 x x 时，若 1 0 x ， 2 0 x ， 12 ()()f xf x在(0,)上为减函数， 第 13 页（共 19 页） 121212 12 1 ( )()()(1)0f xf xlnx xxx x x ，因为 12 1x x ，满足题意，所以 12 1x x ， 同理 1 0 x ， 2 0 x ，也成立，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知命题:pxR ， 2 230 xx，则:p xR ， 2 23 0 xx 【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题知， 命

29、题:pxR ， 2 230 xx， 它的否定命题为:pxR ， 2 23 0 xx 故答案为：xR ， 2 23 0 xx 14 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，M为 11 AC与 11 D B的交点，设ABa，ADb， 1 AAc，则向量AM 11 22 abc （用a，b，c表示） 【解答】解：如图， ABa，ADb， 1 AAc， 则 1111111111 11 () 22 AMAAAMAAACAAABAD 1 111 () 222 AAABADabc 故答案为： 11 22 abc 15 （5 分）已知M为椭圆 22 :1 95 yx C上一点， 1 F， 2 F为

30、椭圆C的焦点，则 12 MFF的 周长为 10 【解答】解：椭圆 22 :1 95 yx C，可得3a ，5b ， 22 2cab， 由椭圆的定义可得 12 | 26MFMFa， 又 12 | 24FFc， 第 14 页（共 19 页） 则 12 MFF的周长是 1212 | 6410MFMFFF 故答案为：10 16 （5 分）已知函数 2 ( )(1)f xln xax，对任意的(0,1)m，(0,1)n，当mn时， (1)(1) 1 f mf n mn ，则实数a的取值范围是 1 ,) 6 【解答】解： (1)(1)(1)(1) (1)(1) f mf nf mf n mnmn ， 对任

31、意的(0,1)m，(0,1)n，当mn时， (1)(1) 1 f mf n mn ， 即对任意的1(1,2)m ，1(1,2)n ，当11mn 时， (1)(1) 1 (1)(1) f mf n mn ， 故函数( )1fx在(1,2)内恒成立， 由 2 ( )(1)f xln xax，(1)x ， 得 1 ( )21 1 fxax x 在(1,2)内恒成立， 问题转化为 1 22 a x 在(1,2)内恒成立， 而 1 22 y x 在(1,2)内单调递增，故 1 6 y ， 故 1 6 a， 故答案为： 1 ,) 6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.

32、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 32 ( )39f xxxx （1）求曲线( )f x在点(1, 5)处的切线方程； （2）求( )f x在区间 1，2上的最小值和最大值 【解答】解： （1） 2 ( )369fxxx， 求得 f （1）0解得f（1）5 ， 曲线( )f x在点(1, 5)处的切线方程为5y （2）令 2 ( )3690fxxx， 1x ，2，解得3x （舍)或1x ， 当( 1,1)x 时，( )0fx，当(1,2)x时，( )0fx， 所以( )f x在( 1,1)单调递减，在(1,2)单调递增，

33、 ( 1)13911f ，f（1）5 ，f（2） 32 23 2922 ， 第 15 页（共 19 页） 故( )11 max f x，( )5 min f x 18 （12 分）已知抛物线 2 :4C xy （1）若直线:40l xy，求曲线C上的点到直线l距离的最小值； （2）过点(0,2)A且倾斜角为45的直线m交C于M，N两点，求|MN 【解答】解： （1）由题意可知，设与l平行的直线与抛物线相切于点 0 (M x， 0) y， 2 1 4 yx， 1 2 yx ， 0 1 1 2 x k，即 0 2x ， ( 2,1)M， 抛物线上的点到直线l的最小距离 | 214|3 2 22 d

34、 ； （2）依题意得直线m方程为2yx， 联立直线方程与抛物线方程得 2 2 4 yx xy ， 整理得 2 480 xx， 由韦达定理得 12 4xx， 12 8xx ， 222 1212 |(1)()42(432)4 6MNxxx xk 19 （12 分）某企业为了提高销售利润，从 2016 年至 2020 年每年都对生产环节的技术改造 进行投资，每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增长量y（单位：万元）的数据如表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 投资金额x（万元） 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 年利润增长量y（万元） 6.0 7.0 9.0 11.0

35、 12.0 （1）记年利润增长量投资金额，现从 2016 年至 2020 年这五年中抽出两年进行调查 分析，求所抽两年都是2万元的概率； （2）如果 2021 年该企业对生产环节改进的投资金额为 10 万元，请用最小二乘法求出y关 于x的回归直线方程，并估计该企业在 2021 年的年利润增长量 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx； 第 16 页（共 19 页） 参考数据： 5 1 286 ii i x y ， 5 2 1 190 i i x 【解答】 解：（1） 2016 年至 2020

36、年的分别记为： 1 2， 2 2， 3 3， 4 4， 5 4， 抽取两年的基本事件有： 1 (， 2) ， 1 (， 3) ， 1 (， 4) ， 1 (， 5) ， 2 (， 3) ， 2 (， 4) ， 2 (， 5) ， 3 (， 4) ， 3 (， 5) ， 4 (， 5) ，共 10 种， 其中两年都是2的基本事件有： 3 (， 4) ， 3 (， 5) ， 4 (， 5) ，共 3 种， 故所求概率为 3 10 P ； （2）6,9,5270 xyxy， 5 1 5 22 1 5 286270 1.6 190180 5 ii i i i x yxy b xx ， 91.660.6

37、aybx ， 回归直线方程为1.60.6yx， 将10 x 代入上述方程得15.4y ， 即该企业在该年的年利润增长量大约为 15.4 万元 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，22 3ABDC，ACBDF， 且PAD与ABD均为正三角形，AE为PAD的中线，点G在线段AE，且2AGGE （1）求证：/ /GF平面PDC； （2）若平面PAD 平面ABCD，求平面PAD与平面GBC所成锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：连结EC，/ /DCAB，2 AFAB FCCD （2 分） 2 AG GE ，/ /GFEC（4 分） EC 平面PDC， / /GF平面PDC

38、（6 分） （2）解：取AD的中点O，连结PO，易知P，G，O三点共线且POAD， 平面PAD 平面ABCD且AD为交线PO平面ABCD，（7 分） 连结BO，易知BOAD，建立如图所示的空间直角坐标系， 第 17 页（共 19 页） 易知平面PAD的法向量 1 (0,1,0)n ， 易知(0G，0，1)，(0B，3，0)， 3 3 3 (,0) 22 C ， (0,3, 1)GB ， 3 3 3 (, 1) 22 GC ， 设面GBC的法向量 2 ( , , )nx y z， 2 2 30 3 33 0 22 nGByz nGCxyz ，令2y ，则 2 3 6, 3 zx ， 2 2 3

39、(,2,6) 3 n （10 分） 设所求锐二面角的平面角大小为， 则 12 12 |93 cos 31| nn nn ，（11 分） 所以平面PAD与平面GBC所成锐二面角的余弦值为 93 31 （12 分） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 1 A， 2 A分别为椭圆左、右 顶点， 1 B， 2 B分别为椭圆上、下顶点，且四边形 1122 AB A B的面积为 4 （1）求椭圆C的方程； （2） 过点 6 (,0) 5 M 的直线l与椭圆C相交于P，Q（异于点 1 A， 2) A两点， 证明： 11 APAQ 【解答】解： （1

40、）由题设知， 3 ,24 2 c ab a ， 又 222 abc，解得2,1,3abc 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； （2）证明：直线不与y轴垂直，直线的斜率不为 0 设直线的方程为： 6 5 xty， 第 18 页（共 19 页） 联立方程 2 2 6 5 1 4 xty x y ，化简得 22 1264 (4)0 525 tyty， 显然点M在椭圆C的内部，0， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y 则 1212 22 1264 , 5(4)25(4) t yyy y tt ， 又 1( 2,0) A ， 111122 (2,),(2,)APxyAQxy，

41、 1112121212 66 (2)(2)(2)(2) 55 AP AQxxy ytytyy y 22 1212 22 4166441216 (1)()(1)()0 52525(4)55(4)25 t ty yt yytt tt ， 11 APAQ， 11 APAQ 22 （12 分）已知函数( )f xxlnx， 22 ( )(2 ) x g xxx exax （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若对任意(0,1)x，( )( )0f xg x，求整数a的最小值 【解答】解： （1）函数( )f xxlnx，定义域为(0,)，可得( )1fxlnx， 令( )10fxlnx ，解得

42、1 x e ， 当 11 0,0,0 xfxxfx ee 时当时， 故( )f x的单调递减区间为 1 (0, ) e ，( )f x的单调递增区间为 1 ( ,) e （2）由(0,1)x，( )( )0(2) x f xg xalnxxxe， 设( )(2) x h xxelnxx，(0,1)x，则( )(1)() x l h xxe x ， 当01x时，10 x ， 设 1 ( ) x u xe x ，则 2 1 ( )0 x u xe x ，所以( )u x在(0,1)上单调递增 又 1 ( )20 2 ue，u（1）10e ， 所以 0 1 ( ,1) 2 x，使得 0 ()0u x

43、，即 0 0 1 x e x ， 00 lnxx 当 0 (0,)xx时，( )0u x ，( )0h x；当 0 (xx，1)时，( )0u x ，( )0h x， 第 19 页（共 19 页） 所以函数( )h x在 0 (0,)x内单调递增，在 0 (x，1)内单调递减， 所以 0 0000000 00 12 ( )()(2)(2)21(2) x max h xh xxelnxxxxx xx ， 因为函数 0 0 2 1(2)yx x 在 0 1 ( ,1) 2 x 时单调递增，所以 0 ()( 4h x ，3)， 因为( )ah x对任意的(0 x，1恒成立，又aZ，所以a的最小值是3