2020-2021学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （5 分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则复数(z ) A2i B12i C2i D12i 2 （5 分）在()nab的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则(n ) A4 B5 C6 D7 3 （5 分）椭圆 22 1 178 xy 的焦点坐标为( )

2、 A(5,0)，( 5,0) B(3,0)，( 3,0) C(0,5)，(0, 5) D(0,3)，(0, 3) 4 （5 分）已知直线 1: 10laxy ， 2: (2)10laxay 若 12 ll，则实数(a ) A1或 1 B0 或 1 C1或 2 D3或 2 5 （5 分）已知平面平面，l下列结论中正确的是( ) A若直线m 平面，则/ /m B若平面平面，则/ / C若直线m 直线l，则m D若平面直线l，则 6 （5 分）将 4 张座位编号分别为 1，2，3，4 的电影票全部分给 3 人，每人至少 1 张如 果分给同一人的 2 张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )

3、 A24 B18 C12 D6 7 （5 分）已知双曲线 22 2 :1 16 xy C a 的两个焦点是 1 F， 2 F，点P在双曲线C上若C的离 心率为 5 3 ，且 1 | 10PF ，则 2 | (PF ) A4 或 16 B7 或 13 C7 或 16 D4 或 13 8 （5 分）在正三棱锥PABC中，3AB ，2PA，则直线PA与平面ABC所成角的大小 为( ) A30 B45 C60 D75 9 （5 分）已知圆 1 O的方程为 22 ()()4xayb，圆 2 O的方程为 22 (1)1xyb，其 中a，bR那么这两个圆的位置关系不可能为( ) A外离 B外切 C内含 D内

4、切 10 （5 分）点M在直线:2l x 上，若椭圆 2 2 :1 4 y C x 上存在两点A，B，使得MAB是 第 2 页（共 17 页） 等腰三角形，则称椭圆C具有性质P下列结论中正确的是( ) A对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质P B直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P C直线l上有无穷多个点（但不是所有的点） ，使椭圆C具有性质P D对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）已知复数(1)zii ，则| z 12（4 分） 若双曲线 2 2 2 :1(0) y C x

5、b b 的焦距为2 5， 则b ；C的渐近线方程为 13 （4 分）设 4432 43210 (2)xa xa xa xa xa，则 1234 aaaa 14 （4 分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点(1A，0，0)，(0B，2，0)，(0C，0，2)， (0D，0，1)，则直线AD与BC所成角的大小是 15 （4 分） 已知抛物线 2 4yx的焦点为F， 准线为l， 点P在抛物线上，PQl于点Q 若 P Q F是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是 16 （4 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，E，F分别为 11 BC， 11 C D的中点， P是底面 111

6、1 ABC D上一点 若/ /AP平面BEF， 则AP长度的最小值是 ； 最大值是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 76 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （10 分）生物兴趣小组有 12 名学生，其中正、副组长各 1 名，组员 10 名现从该小组 选派 3 名同学参加生物学科知识竞赛 （）如果正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，共有多少种不同的选派方法？ （）如果正、副组长 2 人中至少有 1 人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派 方法？ 18 （12 分）已知圆C过原点O和点(1,3)A，圆心在直

7、线1y 上 （）求圆C的方程； （）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程 第 3 页（共 17 页） 19 （13 分）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABAA，D，E，F分别是BC， 1 BB， 1 AA的中点 （）求证：/ /CF平面ADE； （）求证： 1 BC 平面ADE 20 （13 分）如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称点P满足tan2PAB， 1 tan 2 PBA，且PAB的面积为 20 （）求点P的坐标； （） 以A，B为焦点， 且过点P的椭圆记为C 设 0 (M x， 0) y是C上一点， 且 0 13x ， 求 0 y的取值范

8、围 21 （14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，E为AD的中点， 底面ABCD 是边长为 2 的正方形，且二面角PBEC的余弦值为 6 6 （）求PD的长； （）求点C到平面PEB的距离 第 4 页（共 17 页） 22 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为( 1,0)F ， 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a， 且 2 | 3A F （）求椭圆C的方程； （） 过点F的直线交椭圆C于点M，N 记 1 AMN和 2 A MN的面积分别为 1 S和 2 S 当 21 12 2 7 SS时，求直线MN的方程 第 5 页（共

9、17 页） 2020-2021 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （5 分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则复数(z ) A2i B12i C2i D12i 【解答】解：由复数的几何意义可知，复数z对应的点的坐标是(2,1)， 则2zi， 故2zi 故选：A 2 （5 分）在()nab的展开式中，只有第

10、 4 项的二项式系数最大，则(n ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：在()nab的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式共有 7 项， 6n， 故选：C 3 （5 分）椭圆 22 1 178 xy 的焦点坐标为( ) A(5,0)，( 5,0) B(3,0)，( 3,0) C(0,5)，(0, 5) D(0,3)，(0, 3) 【解答】解：椭圆 22 1 178 xy ，可得1783c ，所以椭圆的焦点坐标(3,0)，( 3,0) 故选：B 4 （5 分）已知直线 1: 10laxy ， 2: (2)10laxay 若 12 ll，则实数(a ) A1或 1 B0 或 1 C

11、1或 2 D3或 2 【解答】解：因为 12 ll， 所以( 1)(2)0a aa ，解得1a 或 2 故选：C 5 （5 分）已知平面平面，l下列结论中正确的是( ) A若直线m 平面，则/ /m B若平面平面，则/ / C若直线m 直线l，则m D若平面直线l，则 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：平面平面，l，若直线m 平面，则/ /m或m，故A错 误； 平面平面，若平面平面，则/ /或与相交，故B错误； 平面平面，l，若ml，则m或m，故C错误； 平面平面，l， 若平面直线l， 又l， 由面面垂直的判定定理可得， 故D正确 故选：D 6 （5 分）将 4 张座位编号分别为 1，2

12、，3，4 的电影票全部分给 3 人，每人至少 1 张如 果分给同一人的 2 张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( ) A24 B18 C12 D6 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 在 4 张电影票中，选出连号的 2 张，分给三人中的一人，有339种分法， 将剩下的 2 张电影票分给其他 2 人，有 2 2 2A 种分法， 则有9218种不同的分法， 故选：B 7 （5 分）已知双曲线 22 2 :1 16 xy C a 的两个焦点是 1 F， 2 F，点P在双曲线C上若C的离 心率为 5 3 ，且 1 | 10PF ，则 2 | (PF ) A4 或 16 B7 或 13

13、 C7 或 16 D4 或 13 【解答】解：双曲线 22 2 :1 16 xy C a 的两个焦点是 1 F， 2 F， 点P在双曲线C上若C的离心率为 5 3 ， 可得 2 165 3 a a ，解得3a ，5c ， 1 | 10PF ，则 2 |210PFa ，所以 2 | 4PF 或 16 故选：A 8 （5 分）在正三棱锥PABC中，3AB ，2PA，则直线PA与平面ABC所成角的大小 为( ) A30 B45 C60 D75 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：如图， 取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO 底面ABC， PAO为直线PA与平面ABC所成角 连接AO并延

14、长，角BC于D，可得 22 33 3 3( ) 22 AD ， 2 3 3 AOAD， 在Rt POA中，有 3 cos 2 OA PAO PA ， 即30PAO 直线PA与平面ABC所成角的大小为30 故选：A 9 （5 分）已知圆 1 O的方程为 22 ()()4xayb，圆 2 O的方程为 22 (1)1xyb，其 中a，bR那么这两个圆的位置关系不可能为( ) A外离 B外切 C内含 D内切 【解答】解：根据题意，圆 1 O的圆心 1( , ) O a b，半径2r ， 圆 2 O的圆心 2(0, 1)Ob，半径1R ， 所以3rR，1rR， 因为 2 12 1 1OOa ， 所以 1

15、2 OOrR， 故两圆不可能是内含 故选：C 10 （5 分）点M在直线:2l x 上，若椭圆 2 2 :1 4 y C x 上存在两点A，B，使得MAB是 等腰三角形，则称椭圆C具有性质P下列结论中正确的是( ) A对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质P B直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P C直线l上有无穷多个点（但不是所有的点） ，使椭圆C具有性质P 第 8 页（共 17 页） D对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P 【解答】解：由题意可知直线AB所在直线斜率不为 0， 设直线AB的方程为：xmyn， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立方程 2 2

16、 1 4 xmyn y x ，消去x整理可得： 222 (14)8440mymnyn， 则 12 2 8 14 mn yy m ，若| |MAMB，则M是线段AB的中垂线 2 l与2x 的交点， 而AB的中点坐标为 1212 (,) 22 xxyy ， 1212 2 2 ()2 14 n xxm yyn m ， 所以 22 4 (,) 1414 nmn N mm ，又AB的中垂线 2 l的斜率为m k， 所以 2 l的方程为： 22 4 () 1414 mnn ym x mm ， 即 2 5 14 mn ymx m ，当2x 时， 3 2 825 14 mmmn y m ， 所以 3 2 82

17、5 (2,) 14 mmmn M m ， 故当m，n取不同值时，M的纵坐标也不同，但不是无穷， 若| |ABMB或| |ABMA时，|AB最长为 4，此时M点有两种，故ABD错误， 故选：C 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）已知复数(1)zii ，则| z 2 【解答】解：(1)1ziii ， 则|2z 故答案为：2 12（4 分） 若双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的焦距为2 5， 则b 2 ；C的渐近线方程为 【解答】解：由题意知，1a ，22 5c ，5c ， 22 5 12bca ， 渐近线方程

18、为2ybxx 故答案为：2；2yx 13 （4 分）设 4432 43210 (2)xa xa xa xa xa，则 1234 aaaa 15 第 9 页（共 17 页） 【解答】解： 4432 43210 (2)xa xa xa xa xa， 4 0 ( 2)16a ， 令1x ，可得 1234 116aaaa， 则 1234 15aaaa ， 故答案为：15 14 （4 分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点(1A，0，0)，(0B，2，0)，(0C，0，2)， (0D，0，1)，则直线AD与BC所成角的大小是 60 【解答】解：因为点(1A，0，0)，(0B，2，0)，(0C，0，2)，

19、(0D，0，1)， 所以( 1AD ，0，1)，(0BC ，2，2)， 设直线AD与BC所成的角为， 所以 |21 cos 2|22 2 AD BC ADBC ， 由090， 所以60， 即直线AD与BC所成角的大小是60 故答案为：60 15 （4 分） 已知抛物线 2 4yx的焦点为F， 准线为l， 点P在抛物线上，PQl于点Q 若 P Q F是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是 (1,) 【解答】解：由抛物线的性质可得PQPF， 若PQF是锐角三角形，所以最大角为QPF，只需90QPF， 只需要P在焦点F的右侧，由抛物线的方程可得焦点F的坐标(1,0)，所以P的横坐标的范 围(1,)

20、， 故答案为：(1,) 第 10 页（共 17 页） 16 （4 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，E，F分别为 11 BC， 11 C D的中点， P是底面 1111 ABC D上一点若/ /AP平面BEF，则AP长度的最小值是 3 2 4 ；最大值 是 【解答】解：取 11 AD的中点N， 11 AB的中点M，连结AM，AN，MN， 由正方体 1111 ABCDABC D，E，N分别为 11 BC， 11 AD的中点， 由中位线性质可得/ /ANBE， 又因为AN 平面BEF，BE 平面BEF， 所以/ /AN平面BEF， 因为E，F分别为 11 BC， 11 C

21、 D的中点， 由中位线性质可得 11 / /EFB D， 同理可知 11 / /MNB D， 所以/ /MNEF， 又因为MN 平面BEF，EF 平面BEF， 所以/ /MN平面BEF， 又ANMNN，AN，MN 平面AMN， 所以平面/ /AMN平面BEF， 因为P是底面 1111 ABC D上一点，且/ /AP平面BEF， 所以点PMN， 在等腰AMN中，AP的长度最大时为 22 15 1( ) 22 max APAMAN， 当AP的长度最小时，P为MN的中点， 2 2 MN ， 所以 2222 523 2 ()()() 2244 min MN APAM 故答案为： 3 2 4 ； 5 2

22、 第 11 页（共 17 页） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 76 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （10 分）生物兴趣小组有 12 名学生，其中正、副组长各 1 名，组员 10 名现从该小组 选派 3 名同学参加生物学科知识竞赛 （）如果正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，共有多少种不同的选派方法？ （）如果正、副组长 2 人中至少有 1 人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派 方法？ 【解答】解： （）根据题意，正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，其选法有 2 种， 在 10 名组员中任选

23、 2 人，有 2 10 45C种选法， 则有24590种选法， （）根据题意，分 2 种情况讨论： 正、副组长 2 人都入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 21 29 9C C ， 正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 12 29 72C C 则有97281种不同的选法 18 （12 分）已知圆C过原点O和点(1,3)A，圆心在直线1y 上 （）求圆C的方程； （）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程 【解答】解： （）设圆C的圆心坐标为( ,1)a， 依题意，有 2222 1(1)2aa， 解得2a 从而圆C的半径为 22 15ra

24、， 圆C的方程为 22 (2)(1)5xy； 第 12 页（共 17 页） （）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为 2 显然直线0 x 符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为yx k，即0 xyk 2 |21| 2 1 k k ，解得 3 4 k 直线l的方程为 3 4 yx ，即340 xy 综上，直线l的方程为0 x 或340 xy 19 （13 分）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABAA，D，E，F分别是BC， 1 BB， 1 AA的中点 （）求证：/ /CF平面ADE； （）求证： 1 BC 平面ADE 【解答】证明： （）设AEBFO，连接OD，如图示： 因为

25、 111 ABCABC为正三棱柱，且 1 ABAA， 所以侧面 11 A ABB为正方形， 因为E，F分别是 1 BB， 1 AA的中点，所以O是BF的中点， 又因为D是BC的中点，所以/ /ODCF， 第 13 页（共 17 页） 因为OD 平面ADE，CF 平面ADE， 所以/ /CF平面ADE （）因为ABC为正三角形，所以ADBC， 又 1 CC 平面ABC，所以 1 ADCC， 所以AD 平面 11 B BCC，所以 1 BCAD， 连接 1 BC，因为侧面 11 B BCC为正方形， 所以 11 BCBC，所以 1 BCDE， 所以 1 BC 平面ADE 20 （13 分）如图，设

26、点A，B在x轴上，且关于原点O对称点P满足tan2PAB， 1 tan 2 PBA，且PAB的面积为 20 （）求点P的坐标； （） 以A，B为焦点， 且过点P的椭圆记为C 设 0 (M x， 0) y是C上一点， 且 0 13x ， 求 0 y的取值范围 【解答】解： （）设(,0)Ac，( ,0)B c 则直线PA的方程为2()yxc，直线PB的方程为 1 () 2 yxc 由 2(), 1 (), 2 yxc yxc 解得 3 , 5 4 . 5 c x c y 所以 34 (,) 55 cc P 故PAB的面积 2 14 | | 25 P SAByc 所以 2 4 20 5 c ， 解

27、得5c 所以点P的坐标为( 3,4) （）由（）得( 5,0)A ，(5,0)B 第 14 页（共 17 页） 所以 22 |( 35)42 5PA ， 22 |( 35)44 5PB 设以A，B为焦点且过点P的椭圆方程为 22 22 :1 xy C ab 则 1 (|)3 5 2 aPAPB，又 222 20bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 4520 xy 所以 22 00 1 4520 xy ，即 2 20 0 20(1) 45 x y 因为 0 13x ，所以 2 0 09x 所以 2 0 1620y 所以 0 y的取值范围是 2 5, 4)(4,2 5 21 （14 分） 如图，

28、 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，E为AD的中点， 底面ABCD 是边长为 2 的正方形，且二面角PBEC的余弦值为 6 6 （）求PD的长； （）求点C到平面PEB的距离 【解答】解： （）依题意，DA，DC，DP两两互相垂直，如图 建立空间直角坐标系Dxyz（1 分） 第 15 页（共 17 页） 设(0)PDh h 由题意得(1E，0，0)，(2B，2，0)，(0P，0，)h 所以(1,0,)PEh，(1,2,0)EB 设平面PEB的法向量为 0 (nx， 0 y， 0) z， 则 0 0 n PE n EB ， 即 00 00 0, 20. xz h xy （4 分） 令 0

29、 2x ，则 0 1y ， 0 2 z h 于是 2 (2,1,)n h （6 分） 又因为PD 平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为(0m ，0，1)（7 分） 依题意，有 222 2 6 cos, |62 21( ) m n h m n m n h ，（9 分） 解得2h ， 所以2PD （10 分） （）由（）得，平面PEB的法向量为(2n ，1，1)（11 分） 又(0C，2，0)， 所以( 2,0,0)BC （12 分） 所以点C到平面PEB的距离为 |2 6 |3 BC n n （14 分） 第 16 页（共 17 页） 22 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0)

30、 xy Cab ab 的一个焦点为( 1,0)F ， 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a， 且 2 | 3A F （）求椭圆C的方程； （） 过点F的直线交椭圆C于点M，N 记 1 AMN和 2 A MN的面积分别为 1 S和 2 S 当 21 12 2 7 SS时，求直线MN的方程 【解答】解： （）依题意，椭圆C的半焦距1c ，（1 分） 所以 2 |3A Fac 解得2a （2 分） 所以 222 3bac（3 分） 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （4 分） （）当直线MN的斜率不存在时，其方程为1x 此时 33 ( 1, ),( 1,) 22 MN ，或 33 ( 1

31、,),( 1, ) 22 MN 所以 1 3 2 S ， 2 9 2 S ，即 21 3SS，不合题意（5 分） 当直线MN的斜率存在时，设其方程为(1)(0)yxkk 由 22 (1), 3412 yx xy k 得 2222 (34)84120 xxkkk（6 分） 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 2 12 2 8 34 xx k k ， 2 12 2 412 34 x x k k （8 分） 因为 1112 1 |(|) 2 SAFyy， 2212 1 |(|) 2 SA Fyy， 所以 21121212 1 2(|)| | ()| 2 SSyyyyxx k（10 分） 2 2 1212 2 12|1 |()4 34 xxx x kk k k （12 分） 令 2 2 12|112 2 347 kk k ，解得1 k（13 分） 所以直线MN的方程为10 xy ，或10 xy （14 分） 第 17 页（共 17 页）