2020-2021学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （5 分）已知(3, 2)A，( 1,2)B ，则线段AB中点的坐标为( ) A(1,2) B(2,0) C 1 ( ,2) 2 D(1,0) 2 （5 分） 某工厂生产了一批节能灯泡， 这批产品按质量分为一等品、 二等品、 不合格品从 这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽

2、到一等品”的概率为 0.75， “抽到二等品”的概 率为 0.2，则“抽到不合格品”的概率为( ) A0.05 B0.25 C0.8 D0.95 3（5 分） 某单位共有职工 300 名， 其中高级职称 90 人， 中级职称 180 人， 初级职称 30 人 现 采用分层抽样方法从中抽取一个容量为 60 的样本，则从高级职称中抽取的人数为( ) A6 B9 C18 D36 4 （5 分）已知x，yR，且0 xy，则下列结论正确的是( ) A 11 xy B 11 22 xy C 11 ( )( ) 33 xy D 33 loglogxy 5 （5 分）如果函数( )3xf xb的图象经过第一、

3、二、三象限，不经过第四象限，则( ) A1b B10b C01b D1b 6 （5 分）如图，在ABC中， 1 4 MCBC，设ABa，ACb，则(AM ) A 13 44 ab B 31 44 ab C 13 44 ab D 31 44 ab 7 （5 分）已知| 3a ，| 4b ，则“| 7ab”是“向量a与b共线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 2 页（共 16 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）根据气象学上的标准，连续 5 天的日平均气温低于10 C即为入冬现有甲、乙、 丙、丁四地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）

4、: 甲地：5 个数据的中位数为 7，众数为 6； 乙地：5 个数据的平均数为 8，极差为 3； 丙地：5 个数据的平均数为 5，中位数为 4； 丁地：5 个数据的平均数为 6，方差小于 3 则肯定进入冬季的地区是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地 9 （5 分）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是 30 2 10千克地球是太阳系八 大行星之一，其质量m大约是 24 6 10千克下列各数中与 m M 最接近的是( )（参考数 据：30.4771lg ，60.7782)lg A 5.519 10 B 5.521 10 C 5.523 10 D 5.525 10 10 （5 分）已知函数

5、|,0 ( ) 1 2, lnxx e f x xxe e ，若存在互不相等的实数a，b，c满足f（a） f（b）f（c） ，则abc的取值范围是( ) A(0, ) e B(1, ) e C(1,2 ) e D( ,2 )ee 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 11 （5 分） 1 2 2 1 ( )38 4 ； 21 3 32 ()a b ab 12 （5 分）已知( 3,4)a ，则与a方向相同的单位向量的坐标为 13 （5 分）暑假期间，甲外出旅游的概率是 1 4 ，乙外出旅游的概率是 1 5 ，假定甲乙两人的 行动相互之间没有影

6、响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是 14 （5 分）当23x时，2x， 2 log x， 2 x的大小关系是 （请用“”连接） 15 （5 分）定义在R上的函数( )f x满足：( )f x单调递减；(0)1f，请写出一个满足 条件的函数( )f x 16 （5 分）由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映已知A、B两部电影 同时在 9 月 30 日全国上映，每天的票房统计如图所示： 第 3 页（共 16 页） 有下列四个结论： 这 8 天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数高； 这 8 天A电影票房的方差比B电影票房的方差大； 这 8 天A电影票房的中位数与B电影票房的

7、中位数相同； 根据这 8 天的票房对比，预测 10 月 8 日B电影票房超过A电影票房的概率较大； 其中正确结论的序号为 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （15 分）设两个非零向量a与b不共线 （）若(1,2)a ，( 1,1)b ，且abk与2ab平行，求实数k的值； （）若ABab，2()BCab，5CDab，求证：A，B，D三点共线 18 （15 分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时） ，高一年级某班班主任对本班 40 名 学生某周末的学习时间进行了调查， 将所得数据

8、整理绘制出如图所示的频率分布直方图， 根 据直方图所提供的信息： （）求该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的人数； （）估计这 40 名同学周末学习时间的25%分位数； （） 如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时 间，这样推断 是否合理？说明理由 第 4 页（共 16 页） 19 （14 分）已知函数 11 22 ( )log (2)log (2)f xxx （）求函数( )f x的定义域，并判断函数( )f x的奇偶性； （）求解关于x的不等式 1 2 ( ) log (3 )f xx 20 （14 分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空

9、气质量指数的值越高，就代 表空气污染越严重，其分级如表： 空气质量指 数 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 空气质量类 别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 现分别从甲、乙两个城市 12 月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取 6 天的数据，记录 如表： 甲 48 65 104 132 166 79 乙 80 67 108 150 205 62 （）估计甲城市 12 月份某一天空气质量类别为良的概率； （）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都 为轻度污染的概率； （）记甲城市这 6 天空气质量指数的方

10、差为 2 0 S从甲城市 12 月份空气质量指数的数据中 再随机抽取一个记为a，若99a ，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为 2 1 S；若 169a ，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为 2 2 S，试比较 2 0 S， 2 1 S， 2 2 S的大小 （结 第 5 页（共 16 页） 论不要求证明） 21（12 分） 设函数( )f x的定义域为D， 若存在正实数a， 使得对于任意xD， 有x a D， 且()( )f xaf x，则称( )f x是D上的“a距增函数” （）判断函数( )2xf xx是否为(0,)上的“1 距增函数”？说明理由； （）写出一个a的值，使得

11、 2,0 ( ) ,0 xx f x x x 是区间(,) 上的“a距增函数” ； （）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，( ) |f xxaa若( )f x为R 上的“2021 距增函数” ，求a的取值范围 第 6 页（共 16 页） 2020-2021 学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （5

12、 分）已知(3, 2)A，( 1,2)B ，则线段AB中点的坐标为( ) A(1,2) B(2,0) C 1 ( ,2) 2 D(1,0) 【解答】解：由线段的中点坐标公式可知， 线段AB的中点M的坐标为 3( 1) ( 2 ， ( 2)2) 2 ，即(1,0) 故选：D 2 （5 分） 某工厂生产了一批节能灯泡， 这批产品按质量分为一等品、 二等品、 不合格品从 这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为 0.75， “抽到二等品”的概 率为 0.2，则“抽到不合格品”的概率为( ) A0.05 B0.25 C0.8 D0.95 【解答】 解： 某工厂生产了一批节能灯泡， 这批

13、产品按质量分为一等品、 二等品、 不合格品 从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为 0.75， “抽到二等品”的 概率为 0.2， 则“抽到不合格品”的概率为： 10.750.20.05P 故选：A 3（5 分） 某单位共有职工 300 名， 其中高级职称 90 人， 中级职称 180 人， 初级职称 30 人 现 采用分层抽样方法从中抽取一个容量为 60 的样本，则从高级职称中抽取的人数为( ) A6 B9 C18 D36 【解答】解：共有教师 300 人，其中高级职称 90 人，中级职称 180 人，初级职称 30 人， 现用分层抽样方法抽取一个容量为 60 的样本，

14、则高级职称中抽取的人数为： 90 6018 9018030 故选：C 4 （5 分）已知x，yR，且0 xy，则下列结论正确的是( ) 第 7 页（共 16 页） A 11 xy B 11 22 xy C 11 ( )( ) 33 xy D 33 loglogxy 【解答】解：由x，yR，且0 xy，取2x ，1y ，则ACD不成立； 当0 xy时，根据不等式的基本性质可知 11 22 xy成立，故B正确 故选：B 5 （5 分）如果函数( )3xf xb的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则( ) A1b B10b C01b D1b 【解答】解：函数( )3xf xb的图象经过第一、

15、二、三象限，不经过第四象限， 函数( )3xf xb是由函数( )3xf x 的图象向下平移|b个单位长度得到，且| 1b ， 又图象向下平移，0b， 10b ， 故选：B 6 （5 分）如图，在ABC中， 1 4 MCBC，设ABa，ACb，则(AM ) A 13 44 ab B 31 44 ab C 13 44 ab D 31 44 ab 【解答】解：因为 1 4 AMACCMACCB 131 () 444 ACABACACAB 13 44 ab， 故选：C 7 （5 分）已知| 3a ，| 4b ，则“| 7ab”是“向量a与b共线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第

16、8 页（共 16 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为| 7ab，则有 22 |2| |cos|49aabb， 又| 3a ，| 4b ， 则有cos1，所以0， 又向量a与b共线，则有0或， 所以“| 7ab”是“向量a与b共线”的充分而不必要条件 故选：A 8 （5 分）根据气象学上的标准，连续 5 天的日平均气温低于10 C即为入冬现有甲、乙、 丙、丁四地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）: 甲地：5 个数据的中位数为 7，众数为 6； 乙地：5 个数据的平均数为 8，极差为 3； 丙地：5 个数据的平均数为 5，中位数为 4； 丁地：5

17、个数据的平均数为 6，方差小于 3 则肯定进入冬季的地区是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地 【解答】解：甲地：5 个数据的中位数为 7，众数为 6；则这 5 个数据可能为 6，6，7，10， 11； 即连续 5 天的日平均气温不是都低于10 C，所以甲地不一定入冬，故A错； 乙地：5 个数据的平均数为 8，极差为 3；则这 5 个数据可能为 7，7，8，8，10； 即连续 5 天的日平均气温不是都低于10 C，所以乙地不一定入冬，故B错； 丙地：5 个数据的平均数为 5，中位数为 4；则这 5 个数据可能为 1，2，4，7，11； 即连续 5 天的日平均气温不是都低于10 C，所以丙地不

18、一定入冬，故C错； 丁地：5 个数据的平均数为 6，方差小于 3，如果有数据大于等于 10，则方差必大于等于 2 (106)16 3 55 ， 不满足题意， 因此丁地连续 5 天的日平均气温都低于10 C， 所以丁地一定入冬， 故D正确 故选：D 9 （5 分）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是 30 2 10千克地球是太阳系八 大行星之一，其质量m大约是 24 6 10千克下列各数中与 m M 最接近的是( )（参考数 第 9 页（共 16 页） 据：30.4771lg ，60.7782)lg A 5.519 10 B 5.521 10 C 5.523 10 D 5.525 10 【

19、解答】 解： 由题意可得 6 3 10 m M ， 所以 6 3100.477165.52295.523 m lglglg M ， 故 5.523 10 m M 故选：C 10 （5 分）已知函数 |,0 ( ) 1 2, lnxx e f x xxe e ，若存在互不相等的实数a，b，c满足f（a） f（b）f（c） ，则abc的取值范围是( ) A(0, ) e B(1, ) e C(1,2 ) e D( ,2 )ee 【解答】解：作出函数 |,0 ( ) 1 2, lnxx e f x xxe e 的图象如图， 不妨设bca，则( ,2 )aee， 由f（b）f（c） ，得| |lnbl

20、nc，即lnblnc， ()0ln bc，则1bc ( ,2 )abcaee 故选：D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 11 （5 分） 1 2 2 1 ( )38 4 6 ； 21 3 32 ()a b ab 【解答】解： 21 22 32 1 ( )3828226 4 213 132 322 2 ()a ba b ab abab 第 10 页（共 16 页） 故答案为：6， 1 2 ab 12 （5 分）已知( 3,4)a ，则与a方向相同的单位向量的坐标为 3 4 (, ) 5 5 【解答】解：( 3,4)a ， 与a方向相同的单

21、位向量的坐标为： 3 4 (, ) |55 5 aa a 故答案为： 3 4 (, ) 5 5 13 （5 分）暑假期间，甲外出旅游的概率是 1 4 ，乙外出旅游的概率是 1 5 ，假定甲乙两人的 行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是 2 5 【解答】解：暑假期间，甲外出旅游的概率是 1 4 ，乙外出旅游的概率是 1 5 ， 假定甲乙两人的行动相互之间没有影响， 暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是暑假期间两人都不外出旅游， 则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是： 112 1(1)(1) 455 P 故答案为： 2 5 14 （5 分）当23x时，2x

22、， 2 log x， 2 x的大小关系是 2 2 log2xxx （请用“” 连接） 【解答】解：因为23x，所以 23 42228 x ， 2222 1log 2loglog 3log 42x， 在同一坐标系内作出函数2xy 和 2 yx的图象， 可知在(2,3)内，有 2 2xx ， 所以 2 2 log2xxx 故答案为： 2 2 log2xxx 第 11 页（共 16 页） 15 （5 分）定义在R上的函数( )f x满足：( )f x单调递减；(0)1f，请写出一个满足 条件的函数( )f x 2 x （答案不唯一） 【解答】解：结合指数函数的性质知， 1 ( )( ) 2 x f

23、x 在定义域R上单调递减且(0)1f 故答案为： 1 ( )( ) 2 x f x 16 （5 分）由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映已知A、B两部电影 同时在 9 月 30 日全国上映，每天的票房统计如图所示： 有下列四个结论： 这 8 天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数高； 这 8 天A电影票房的方差比B电影票房的方差大； 这 8 天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数相同； 根据这 8 天的票房对比，预测 10 月 8 日B电影票房超过A电影票房的概率较大； 其中正确结论的序号为 【解答】 解： 这 8 天A电影票房的平均数为 1 (2.93.93.73.12.62

24、.52.31.6)2.8 8 ， 第 12 页（共 16 页） 这 8 天B电影票房的平均数为 1 (2.12.62.92.72.62.52.41.8)2.5 8 ， 所以这 8 天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数高，故选项正确； 这8天A电影票房的方差为 22222222 1(0.1) (1.1)(0.9)(0.3)( 0.2)( 0.3)( 0.5)( 1.2) 0.5 8 ， 这8天B电影票房的方差为 22222222 1( 0.4) (0.1)(0.4)(0.2)(0.1)0( 0.1)( 0.7) 0.1 8 ， 所以这 8 天A电影票房的方差比B电影票房的方差大，故选项正确；

25、 这 8 天A电影票房的中位数为 2.62.9 2.8 2 ， 这 8 天B电影票房的中位数为 2.62.5 2.6 2 ， 所以这 8 天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数不相同，故选项错误； 根据这 8 天的票房对比，B电影票房方差较小，波动较小，且从 10 月 6 日开始超过A电影 票房，故选项正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （15 分）设两个非零向量a与b不共线 （）若(1,2)a ，( 1,1)b ，且abk与2ab平行，求实数k的值； （）若A

26、Bab，2()BCab，5CDab，求证：A，B，D三点共线 【解答】 （）解：由(1,2)a ，( 1,1)b ， 所以(1,21)abkkk，2(3,0)ab， 因为abk与2ab平行，所以有3(21)0k， 解得 1 2 k （）证明：因为ABab，2()BCab，5CDab， 所以2()(5 )333()BDBCCDabababab， 即3BDAB，所以AB与BD共线， 因此A，B，D三点共线 第 13 页（共 16 页） 18 （15 分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时） ，高一年级某班班主任对本班 40 名 学生某周末的学习时间进行了调查， 将所得数据整理绘制出如图所示的频率

27、分布直方图， 根 据直方图所提供的信息： （）求该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的人数； （）估计这 40 名同学周末学习时间的25%分位数； （） 如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时 间，这样推断 是否合理？说明理由 【解答】解： （）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的频率为 (0.030.015)50.225， 则 40 名学生中周末的学习时间不少于 20 小时的人数为400.2259 （）学习时间在 5 小时以下的频率为0.0250.10.25， 学习时间在 10 小时以下的频率为0.10.0450.30.25， 所以25

28、%分位数在(5,10)， 0.250.1 558.75 0.2 ， 则这 40 名同学周末学习时间的25%分位数为 8.75 （）这样推断不合理，理由如下： 样本的选取只选在高一某班，不具有代表性 19 （14 分）已知函数 11 22 ( )log (2)log (2)f xxx （）求函数( )f x的定义域，并判断函数( )f x的奇偶性； （）求解关于x的不等式 1 2 ( ) log (3 )f xx 第 14 页（共 16 页） 【解答】解： （）根据题意，函数 11 22 ( )log (2)log (2)f xxx， 则有 20 20 x x ，解可得2x ， 则函数( )f

29、x的定义域为(2,)， 所以函数( )f x既不是奇函数，也不是偶函数 （）由 2 111 222 ( )log (2)log (2)log (4)f xxxx， 得 2 11 22 log (4) log (3 )xx， 因为 1 2 logyx在(0,)是减函数，所以有 2 04 3xx ， 解得24x ， 因此不等式 1 2 ( ) log (3 )f xx的解集为 |24xx 20 （14 分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代 表空气污染越严重，其分级如表： 空气质量指 数 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300

30、空气质量类 别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 现分别从甲、乙两个城市 12 月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取 6 天的数据，记录 如表： 甲 48 65 104 132 166 79 乙 80 67 108 150 205 62 （）估计甲城市 12 月份某一天空气质量类别为良的概率； （）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都 为轻度污染的概率； （）记甲城市这 6 天空气质量指数的方差为 2 0 S从甲城市 12 月份空气质量指数的数据中 再随机抽取一个记为a，若99a ，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为 2 1 S；若

31、 169a ，与原有的 6 天的数据构成新样本的方差记为 2 2 S，试比较 2 0 S， 2 1 S， 2 2 S的大小 （结 第 15 页（共 16 页） 论不要求证明） 【解答】解： （）甲城市这 6 天内空气质量类别为良的有 2 天， 则估计甲城市 12 月份某一天空气质量类别为良的概率为 1 3 （）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个， 因为(48,80)，(48,67)，(48,108)，(48,150)，(48,205)，(48,62)， (65,80)，(65,67)，(65,108)，(65,150)，(65,205)，(65,62)， (104,80)，(10

32、4,67)，(104,108)，(104,150)，(104,205)，(104,62)， (132,80)，(132,67)，(132,108)，(132,150)，(132,205)，(132,62)， (166,80)，(166,67)，(166,108)，(166,150)，(166,205)，(166,62)， (79,80)，(79,67)，(79,108)，(79,150)，(79,205)，(79,62)， 所以基本事件数一共有 36 种， A表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染” ， 则(104,108)A，(104,150)，(132,108)，(132,150)

33、，包含 4 个样本点， 则 41 ( ) 369 P A （） 222 102 SSS 21（12 分） 设函数( )f x的定义域为D， 若存在正实数a， 使得对于任意xD， 有x a D， 且()( )f xaf x，则称( )f x是D上的“a距增函数” （）判断函数( )2xf xx是否为(0,)上的“1 距增函数”？说明理由； （）写出一个a的值，使得 2,0 ( ) ,0 xx f x x x 是区间(,) 上的“a距增函数” ； （）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，( ) |f xxaa若( )f x为R 上的“2021 距增函数” ，求a的取值范围 【

34、解答】解： （）函数( )2xf xx是(0,)上的“1 距增函数” ， 任意(0,)x，有1(0,)x ，且21 x ， 所以 1 (1)( )2(1)(2)210 xxx f xf xxx ， 因此( )2xf xx是(0,)上的“1 距增函数” （）10a （答案不唯一，不小于 4 即可） 第 16 页（共 16 页） （） |,0 ( )0,0 |,0 xaa x f xx xaa x 因为( )f x为R上的“2021 距增函数” ， ( ) i当0 x 时，由定义|2021|xaaxaa 恒成立 即|2021| |xaxa恒成立， 由绝对值几何意义可得20210aa， 2021 2 a ( )ii当0 x 时，分两种情况： 当2021x 时，由定义|2021|xaaxaa 恒成立 即|2021| |xaxa恒成立，由绝对值几何意义可得20210aa ， 2021 2 a 当20210 x时，由定义|2021|xaaxaa 恒成立 即|2021|20212 | 2xaxaaa恒成立 当0a时，显然成立 当0a 时，可得 2021 0 4 a 综上，a的取值范围为 2021 (,) 4