2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设有下面四个命题： 1: pxR ， 2 10 x ； 2: pxR ，| 0 xx； 3: pxZ ，|xN； 4: pxR ， 2 230 xx 其中真命题为( ) A 1 p B 2 p C 3 p D 4 p 2 （5 分）已知角终边上一点P

2、的坐标为( 1,2)，则cos的值为( ) A 2 5 5 B 5 5 C 5 5 D 2 5 5 3 （5 分）对于集合A，B，我们把集合 |x xA且xB叫作集合A与B的差集，记作 AB若 |23Ax lnxln， |1Bx x，则AB为( ) A |1x x B |01xx C |13xx D |13xx剟 4 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期且在区间( 2 ，)上单调递增的函数是( ) Asin2yx Bcosyx Ctanyx Dcos 2 x y 5 （5 分） “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动， 各进行了两次降价 甲平台第一次降价%a

3、， 第二次降价%b； 乙平台两次都降价% 2 ab （其 中020)ab，则两个平台的降价力度( ) A甲大 B乙大 C一样大 D大小不能确定 6 （5 分）已知函数( )f x的图象如图所示，则函数( )yxf x的图象可能是( ) 第 2 页（共 17 页） A B C D 7 （5 分）若为第二象限角，则 1cos1cos 1cos1cos 化简为( ) A2tan B 2 tan C2tan D 2 tan 8 （5 分）已知函数 2 3,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，若函数( ( )yf f xk有 3 个不同的零点，则实 数k的取值范围是( ) A(1,4) B(1，4

4、 C1，4) D1，4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知幂函数( )f x的图象经过点(3, 3)，则( ) A( )f x的定义域为0，) B( )f x的值域为0，) C( )f x是偶函数 D( )f x的单调增区间为0，) 10 （5 分）为了得到函数cos(2) 4 yx 的图象，只要把函数co

5、syx图象上所有的点( ) A向左平移 4 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍 B向左平移 4 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍 C横坐标变为原来的 1 2 倍，再向左平移 8 个单位长度 D横坐标变为原来的 1 2 倍，再向左平移 4 个单位长度 11 （5 分）已知实数a，b，c满足01abc ，则( ) 第 3 页（共 17 页） A aa bc Bloglog bc aa C3aa Dsinsinbc 12 （5 分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和 阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x

6、表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如 2.13 ，2.12已知函数 ( )sin|sin|f xxx，函数( ) ( )g xf x，则( ) A函数( )g x的值域是0，1，2 B函数( )g x是周期函数 C函数( )g x的图象关于 2 x 对称 D方程( ) 2 g xx 只有一个实数根 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数( )1(2)f xxlgx 的定义域为 14 （5 分）关于x的方程sin30 xx的唯一解在区间 1 ( 2 k， 1)( ) 2 Zkk内，则k的 值为 15

7、（5 分）已知a，b为正实数，且39abab，则3ab的最小值为 16 （5 分）当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按定的比率衰减（称为衰减率） ， 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 若生物体内原有的碳 14 含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量y与死亡年数x的函数关系式是 ， 考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳 14 的含量是原 来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年 （参考数据：20.3)lg 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、

8、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在条件 2sincos1 3sin4cos7 AA AA ； 2 4sin4cos1AA； 1 sincostan 2 AAA 中 任选一个，补充在下面的问题中，并求解 第 4 页（共 17 页） 已知角A为锐角，_ （1）求角A的大小； （2）求 2021 sin()cos() 2 AA 的值 18 （12 分）已知集合 2 |230Ax xx， | 1Bx xa （1）当3a 时，求AB； （2）设:p xA，:q xB，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 19 （12 分） 已知函数( )sin()(

9、0f xAxA，0，|) 2 的图象经过点(12 ，3)， 其最大值与最小值的差为 4，且相邻两个零点之间的距离为 2 （1）求( )f x的解析式； （2）求( )f x在0，上的单调增区间 20 （12 分）已知定义在R上的函数( )22 () xx f xR kk （1）若( )f x是奇函数，求函数( )(2 )yf xfx的零点； （2） 是否存在实数k， 使( )f x在(, 1) 上调递减且在(2,)上单调递增？若存在， 求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由 21 （12 分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：)L、百公里耗油量W （单位：)L与速度v（单位：

10、/ )(40120)m hvk剟的数据关系如表： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 9.25 为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择( )0.5vQ va，( )Q vavb， 32 ( )Q vavbvcv （1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解 析式； （2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分 别是60，90)，90，110)，110，120（单位：/ )m hk，问：该型号汽车应在哪个车道 以什么速度行驶时W最小？ 第 5 页（共 17 页） 2

11、2 （12 分）已知函数( )f x和( )g x的定义域分别为 1 D和 2 D，若足对任意 01 xD，恰好存在 n个不同的实数 1 x， 2 x ， 2n xD，使得 0 ( )() i g xf x（其中1i ，2，n，*)nN， 则称( )g x为( )f x的“n重覆盖函数 ” （1）判断( ) |1|(0g xxx，4)是否为( )2(0f xxx，1)的“n重覆盖函数” ，如果 是，求出n的值；如果不是，说明理由 （2）若 2 2 (23)1,1, ( ) log,1 axaxx g x x x 为 1 2 21 ( )log 21 x x f x 的“2 重覆盖函数” ，求实

12、数a的 取值范围； （3） 若() s i n () ( 0 3 gxxx ，2 )为 2 ( ) 1 x f x x 的 “21k重覆盖函数”（其中)Nk， 请直接写出正实数的取值范围（用k表示） （无需解答过程） 第 6 页（共 17 页） 2020-2021 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5

13、 分）设有下面四个命题： 1: pxR ， 2 10 x ； 2: pxR ，| 0 xx； 3: pxZ ，|xN； 4: pxR ， 2 230 xx 其中真命题为( ) A 1 p B 2 p C 3 p D 4 p 【解答】解：设有下面四个命题： 对于 1: pxR ， 2 10 x 不成立，故该命题为假命题； 2: pxR ，当0 x 时，| 0 xx，故该命题为假命题； 3: pxZ ，|xN，该命题为真命题； 4: pxR ，由于 2 230 xx中41280 ，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选：C 2 （5 分）已知角终边上一点P的坐标为( 1,2)，则cos的值为( )

14、 A 2 5 5 B 5 5 C 5 5 D 2 5 5 【解答】解：由题意，点( 1,2)到原点的距离是， 22 ( 1)25 故 15 cos 55 故选：B 3 （5 分）对于集合A，B，我们把集合 |x xA且xB叫作集合A与B的差集，记作 AB若 |23Ax lnxln， |1Bx x，则AB为( ) A |1x x B |01xx C |13xx D |13xx剟 【解答】解：集合 |23 |03Ax lnxlnxx剟， 第 7 页（共 17 页） |1Bx x， |01ABxx 故选：B 4 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期且在区间( 2 ，)上单调递增的函数是( ) A

15、sin2yx Bcosyx Ctanyx Dcos 2 x y 【解答】解：函数sin2yx的周期为 2 2 T ，又( 2 x ，)，则2( ,2 )x， 所以sin2yx在区间( 2 ，)上不是单调递增，故选项A错误； 函数cosyx的周期为2，故选项B错误； 函数tanyx的周期为，且在区间( 2 ，)上单调递增，故选项C正确； 函数cos 2 x y 的周期为 2 4 1 2 t ，故选项D错误 故选：C 5 （5 分） “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动， 各进行了两次降价 甲平台第一次降价%a， 第二次降价%b； 乙平台两次都降价% 2 ab （

16、其 中020)ab，则两个平台的降价力度( ) A甲大 B乙大 C一样大 D大小不能确定 【解答】解：由题意可知， 甲平台的降价力度为：1(1%)(1%)ab，乙平台的降价力度为： 2 1(1%) 2 ab ， 作差得： 222 1(1%)(1%)1(1%) (%)%(%)0 222 ababab abab ， 所以乙平台的降价力度大， 故选：B 6 （5 分）已知函数( )f x的图象如图所示，则函数( )yxf x的图象可能是( ) 第 8 页（共 17 页） A B C D 【解答】解：由图象可知，函数( )f x是偶函数，则( )yxf x为奇函数，则图象关于原点对 称，排除C，D，

17、在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B， 故选：A 7 （5 分）若为第二象限角，则 1cos1cos 1cos1cos 化简为( ) A2tan B 2 tan C2tan D 2 tan 【解答】解：为第二象限角，sin0， 原式 22 (1cos )(1cos )1cos1cos2cos2 (1cos )(1cos )(1cos )(1cos )sinsinsintan 故选：D 8 （5 分）已知函数 2 3,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，若函数( ( )yf f xk有 3 个不同的零点，则实 数k的取值范围是( ) A(1,4) B(1，4 C1，4) D1，4 【解

18、答】解：函数 2 3,0 ( ) 1,0 xx f x xx ， 当3x时， 22 ( ( )(3)3f f xx， 当03x 时， 2 ( ( )(3)1f f xx ， 当0 x 时， 2 ( ( )(1)3f f xx ， 第 9 页（共 17 页） 作出函数( ( )f f x的图象可知， 当14 k?时，函数( ( )yf f xk有 3 个不同的零点 (1 k，4 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得

19、全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知幂函数( )f x的图象经过点(3, 3)，则( ) A( )f x的定义域为0，) B( )f x的值域为0，) C( )f x是偶函数 D( )f x的单调增区间为0，) 【解答】解：设幂函数( ) a f xx， ( )f x过点(3, 3)， 33 a ， 1 2 a ， ( )f xx， 故函数的定义域是0，)，A正确，C错误， 值域是0，)，B正确，D正确， 故选：ABD 10 （5 分）为了得到函数cos(2) 4 yx 的图象，只要把函数cosyx图象上所有的点(

20、 第 10 页（共 17 页） ) A向左平移 4 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍 B向左平移 4 个单位长度，再将横坐标变为原来的 1 2 倍 C横坐标变为原来的 1 2 倍，再向左平移 8 个单位长度 D横坐标变为原来的 1 2 倍，再向左平移 4 个单位长度 【解答】 解： 把函数cosyx图象上所有的点向左平移 4 个单位长度， 可得cos() 4 yx 的 图象； 再将横坐标变为原来的 1 2 倍，可得cos(2) 4 yx 的图象 或把函数cosyx图象上所有的点横坐标变为原来的 1 2 倍，得到cos2yx的图象； 再向左平移 8 个单位长度，可得cos(2) 4 yx

21、 的图象 故选：BC 11 （5 分）已知实数a，b，c满足01abc ，则( ) A aa bc Bloglog bc aa C3aa Dsinsinbc 【解答】解：因为实数a，b，c满足01abc ， 则函数 a yx为单调递增函数，所以 aa bc，故选项A正确； 不妨取 1 ,2,4 2 abc，则 2 1 log1 2 ba log ， 2 1 4 2 11 log2 22 ca loglog ，所以 loglog bc aa，故选项B错误； 不妨取 1 8 a ，则 11 82 2 a ， 11 33 82 a ，所以3aa，故选项C正确； 因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确

22、定，故sinb和sinc无法比较大小，故选项D错 误 故选：AC 12 （5 分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和 阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x 表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如 2.13 ，2.12已知函数 ( )sin|sin|f xxx，函数( ) ( )g xf x，则( ) 第 11 页（共 17 页） A函数( )g x的值域是0，1，2 B函数( )g x是周期函数 C函数( )g x的图象关于 2 x 对称 D方程( ) 2 g xx 只有一个实数根 【解答】解：()sin

23、|sin()| sin|sin |( )fxxxxxf x， 所以( )f x是偶函数，而sin|x不是周期函数，|sin|x为周期函数， 对于0 x ，当22xkk时，( )2sinf xx， 当222xkk时，( )0f x ， 所以 2,2 2 5 0,22,22,222 66 5 1,222 662 xk g xkxkkxkkxk kxkxk 且 ，0k，1， 2， 故A正确，由( )f x是偶函数，则( )g x为偶函数， 0 x 时，( )f x成周期性，但起点为0 x ，所以( )g x在(,) 上不是周期函数，故B不 正确； 函数( )g x的图象关于0 x 对称，不关于 2

24、x 对称，故C不正确； 2 ( )g xx ，当0 x 时，(0)0g，当 2 x 时，()1 2 g ， 2 x 与( )g x只有(0,0)交点即方 程( ) 2 g xx 只有一个实数根，故D正确 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数( )1(2)f xxlgx 的定义域为 1，2) 第 12 页（共 17 页） 【解答】解：要使函数的解析式有意义， 自变量x须满足： 1 0 20 x x 解得：12x 故函数( )1(2)f xxlgx 的定义域为1，2) 故答案为1，2) 14 （5 分）

25、关于x的方程sin30 xx的唯一解在区间 1 ( 2 k， 1)( ) 2 Zkk内，则k的 值为 2 【解答】解：设( )sin3f xxx， 33333 ( )sin3sin0 22222 f， 5555155 ( )sin3sinsinsin0 2222226 f ， 355 ( 426 ，所以 55 sinsin) 26 由零点定理知，( )f x在区间 3 ( 2 ， 5) 2 内一定有零点，所以2k 故答案为：2 15 （5 分）已知a，b为正实数，且39abab，则3ab的最小值为 6 【解答】解：因为a，b为正实数，且39abab， 所以 2 113 399(3) 9() 3

26、32 ab ababb a ，当且仅当3ab时取等号， 解得，36ab或318ab（舍)， 则3ab的最小值为 6 故答案为：6 16 （5 分）当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按定的比率衰减（称为衰减率） ， 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 若生物体内原有的碳 14 含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量y与死亡年数x的函数关系式是 5730 1 ( ) 2 x yA ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内 碳 14 的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年 （参考数据： 20.3)l

27、g 【解答】解：由题意知， 5730 1 ( ) 2 x yA， 第 13 页（共 17 页） 当62.5%yA时，有 5730 1 62.5%( ) 2 x AA，即 5730 51 ( ) 82 x ， 1222 2 10 58122 2 log 8log 533 573085223 lg xlg loglog lglg ， 3820 x， 可以推测该生物的死亡时间距今约 3820 年 故答案为： 5730 1 ( ) 2 x yA；3820 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算

28、步骤. 17 （10 分）在条件 2sincos1 3sin4cos7 AA AA ； 2 4sin4cos1AA； 1 sincostan 2 AAA 中 任选一个，补充在下面的问题中，并求解 已知角A为锐角，_ （1）求角A的大小； （2）求 2021 sin()cos() 2 AA 的值 【解答】解：若选择条件， （1）由于 2sincos1 3sin4cos7 AA AA ，可得14sin7cos3sin4cosAAAA，可得sincosAA， 即tan1A ， 因为A为锐角， 可得 4 A ； （2） 2 20211 sin()cos()( sin)cos(1010)sin 222

29、AAAAA 若选择， （1）由于 2 4sin4cos1AA， 2 4(1cos)4cos1AA，可得 2 4cos4cos30Ax，解 得 1 cos 2 A ，或 3 2 （舍去） ， 因为A为锐角，可得 3 A （2） 2 20213 sin()cos()( sin)cos(1010)sin 224 AAAAA 若选择， （1）因为 2 1 sincostansin 2 AAAA，可得 2 sin 2 A，或 2 2 ， 第 14 页（共 17 页） 因为A为锐角，sin0A ，可得 2 sin 2 A，可得 4 A ； （2） 2 20211 sin()cos()( sin)cos(1

30、010)sin 222 AAAAA 18 （12 分）已知集合 2 |230Ax xx， | 1Bx xa （1）当3a 时，求AB； （2）设:p xA，:q xB，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 【解答】解：由题意得， | 13Axx ， |11Bx axa （1）3a 时， |24Bxx， | 14( 1,4)ABxx （2）因为:p xA，:q xB，若p是q的必要不充分条件， 则BA，所以 11 1 3 a a ， 解之得02a剟， 所以实数a的取值范围是0，2 19 （12 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象经过点(12 ，3)， 其

31、最大值与最小值的差为 4，且相邻两个零点之间的距离为 2 （1）求( )f x的解析式； （2）求( )f x在0，上的单调增区间 【解答】解： （1）由题意可得2A，T，所以 2 2 T ， 所以( )2sin(2)f xx， 又图象经过点(12 ，3)， 所以()2sin(2)3 1212 f ，即 3 sin() 62 ， 因为| 2 ，所以 6 ， 所以( )2sin(2) 6 f xx （2）令222 262 x k剟k，Zk， 解得 36 x k剟k，Zk， 第 15 页（共 17 页） 再根据0 x，可得函数的单调增区间为0， 6 ， 2 3 ， 20 （12 分）已知定义在R上

32、的函数( )22 () xx f xR kk （1）若( )f x是奇函数，求函数( )(2 )yf xfx的零点； （2） 是否存在实数k， 使( )f x在(, 1) 上调递减且在(2,)上单调递增？若存在， 求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）因为( )f x是奇函数，所以()( )fxf x ， 即2222 xxxx kk，可得1 k， 所以( )22 xx f x ， 令 22 ( )(2 )22220 xxxx yf xfx ， 即(22 )(122 )0 xxxx ， 所以220 xx ，解得0 x ， 即函数( )(2 )yf xfx的零点为0 x （

33、2）当0k?时，函数( )22 xx f x k在R上单调递增，不符合题意； 当0k时，令2xt ，当(, 1)x 时， 1 (0, ) 2 t，当(2,)x时，(4,)t， 因为( )f x在(, 1) 上单调递减且在(2,)上单调递增， 所以( )g tt t k 在 1 (0, ) 2 上单调递减且在(4,)上单调递增， 所以 1 4 2 刱?， 解得 1 16 4 刱 ?， 故存在实数 1 4k，16使( )f x在(, 1) 上单调递减且在(2,)上单调递增 21 （12 分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：)L、百公里耗油量W （单位：)L与速度v（单位：/ )(

34、40120)m hvk剟的数据关系如表： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 9.25 为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择( )0.5vQ va，( )Q vavb， 第 16 页（共 17 页） 32 ( )Q vavbvcv （1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解 析式； （2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分 别是60，90)，90，110)，110，120（单位：/ )m hk，问：该型号汽车应在哪个车道 以什么速度行驶时W最小？ 【解答】

35、解： （1）填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 10 9.25 10 13 由题意可得符合的函数模型需满足在40120v剟时，v都可取，三种模型都满足， 且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合， 若选择第二种模型，代入(40,5.2)，(60,6)， 得 5.240 660 ab ab ，解得 0.04 3.6 a b ， 则( )0.043.6Q vv，此时(90)7.2Q，(100)7.6Q，(120)8.4Q， 与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合， 经观察，第三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2)，

36、(60,6)，(100,10)， 则 32 32 32 4040405.2 6060606 10010010010 abc abc abc ，解得 0.000025 0.004 0.25 a b c ， 32 ( )0.0000250.0040.25Q vvvv （2） 22 100 0.00250.4250.0025(80)9WQvvv v ， 当80v 时，W取得最小值 9， 所以该型号汽车应在外侧车道以80/m hk的速度行驶时W最小 22 （12 分）已知函数( )f x和( )g x的定义域分别为 1 D和 2 D，若足对任意 01 xD，恰好存在 n个不同的实数 1 x， 2 x

37、， 2n xD，使得 0 ( )() i g xf x（其中1i ，2，n，*)nN， 则称( )g x为( )f x的“n重覆盖函数 ” 第 17 页（共 17 页） （1）判断( ) |1|(0g xxx，4)是否为( )2(0f xxx，1)的“n重覆盖函数” ，如果 是，求出n的值；如果不是，说明理由 （2）若 2 2 (23)1,1, ( ) log,1 axaxx g x x x 为 1 2 21 ( )log 21 x x f x 的“2 重覆盖函数” ，求实数a的 取值范围； （3） 若() s i n () ( 0 3 gxxx ，2 )为 2 ( ) 1 x f x x 的

38、 “21k重覆盖函数”（其中)Nk， 请直接写出正实数的取值范围（用k表示） （无需解答过程） 【解答】解： （1）因为( ) |1|(0g xxx，4)，( )2(0f xxx，1)， 则对 0 0 x，1，n个不同的实数 1 x， 2 x ，0 n x ，4)，使得 0 ( )()(1 i g xf xi，2， ，)n， 即 0 |1|22 i xx，3，则3 i x ，4， 所以对于 0 0 x，1，都能找到一个 1 x，使 10 |1|2xx， 所以( )g x是( )f x的“n重覆盖函数” ，故1n ； （2）因为 1 2 21 ( )log 21 x x f x ，其定义域为(0

39、,)， 即对 0 (0,)x，存在 2 个不同的实数 1 x， 2 xR，使得 0 ( )()(1 i g xf xi，2)， 即 0 00 11 22 212 ( )(1)(0,) 2121 x i xx g xloglog ， 即对任意0k，( )g x k要有两个实根， 当1x 时， 2 ( )logg xx k已有一个根， 故只需1x 时，( )g x k仅有一个根， 当0a 时，( )312g xx ，有一个根； 当0a 时，则必须满足g（1）23 1 0aa ，解得 2 3 a； 当0a 时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意； 综上可得，实数a的取值范围为 2 0, 3 ； （3）正实数的取值范围为 17 ,), 412 Nkkk