高中物理中质心概念的应用.pdf

1、高中物理中质心概念的应用高中物理中质心概念的应用 一、质心的定义与系统总动量一、质心的定义与系统总动量 一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为 m1、r1，m2、r2，m3、r3，则该系统 的质心的位置矢量为 i i C mr r M ，其中 M=m1+m2+m3+. 写成直角坐标系下的分量式为 ii C m x x M ， ii C m y y M ， ii C m z z M . 上式变形，对时间求导，容易得出 ddd ddd C Ci iiii i rr MvMmrmmv ttt . 即：一个系统的总动量可以用系统总质量 M 与质心 C 的速度 vC的乘积。 二、质心与重心

2、、重力势能二、质心与重心、重力势能 重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似： ii i CG ii m g r r m g . 从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质 点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非 匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。 另一方面， 也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置， 这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。 有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算： CGiiiii hm gm g h 匀强重力场中，上式可以简化为： Cii Mg

3、hm gh。这就是不可视为质点的物体比如链条、软 绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。 【例 1】(2017全国卷，16)如图 1，一质量为 m、长度为 l 的均匀柔软细绳 PQ 竖直悬挂。用外力将 绳的下端 Q 缓慢地竖直向上拉起至 M 点，M 点与绳的上端 P 相距 1 3l。重力加速度大小为 g。在此过程中， 外力做的功为() A.1 9mgl B.1 6mgl C.1 3mgl D.1 2mgl 答案A 三、质心与动能三、质心与动能 如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计 算； 但是物体倘若还转动， 或物体内各个部分相对质心还有

4、运动， 则由克尼希定理， 有 CM2 kk 1 2 C EEMv， 其中 CMCM2 k 1 () 2 ii Em v为各质点相对质心的动能之和， CM i v是各质点相对质心的速度。 可见，物体存在转动，或者物体上各个部分相对质心还有运动，是不能够用质心的速度来计算物体的 动能的，即 2 k 1 2 C EMv。 这和重力势能是不一样的，但这是很好理解的：重力势能、动量的表达式中，只包含位置矢量或速度 的一次函数，但是动能的表达式中却包含的是速度的二次函数，与位置矢量、速度不再满足线性关系。因 此在下面例 1 这种情况下，可以中质心高度的变化来计算重力势能的变化量，却不能用质心的速度的变化

5、来计算动能的变化量。 【例 2】质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离 P 球L 3处有 一个光滑固定轴 O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针 摆动到最低位置时，求： (1)小球 P 的速度大小； (2)在此过程中小球 P 机械能的变化量。 答案(1) 2gL 3 (2)增加了 4 9mgL 四、质心与向心力四、质心与向心力 一个物体不可视为质点，要求该物体绕某点 O 转动时，由于任一部分所受的向心力为 2 nii Fmr与 从 O 点到该部分的位置矢量 ri成一次函数，因此，可将该物体等效看做集中于质心处的质点，进而

6、计算该 质点所受的向心力，即为整个物体所受向心力。 【例 3】长为 l、质量为 m 的匀质刚性细杆在光滑水平面上，绕过其端点 O 的竖直固定轴匀速转动， 角速度为常量，试求杆中张力的分布。 答案 2 22 () 2 T m Flx l 五、相对静止的多星系统的公共圆心五、相对静止的多星系统的公共圆心 近几年高考对双星、三星甚至四星系统均有涉及，对于多星系统，公共圆心的寻找是解决问题的关键， 大多数资料和教师采用的思路是作最一般的位置假设， 然后列方程进行计算， 这往往有些无头苍蝇的感觉。 其实，相对静止的多星系统的公共圆心就是该系统的质心。 1、结论证明、结论证明 下面用反证法对此作一简单证明

7、： 证明之前，要特别说明一下：我们大多数时候都是假定多星系统远离其他天体，并假定系统的公共圆 心是静止不动的即我们选定的参考系为公共圆心。 假定多星系统的公共圆心不在系统质心处，则质心必定绕公共圆心作匀速圆周运动，由于系统总动量 可以用质心动量来计算，因此系统总动量方向将一直变化； 而多星系统实际上是远离其他天体的，因此系统总动量必须守恒，即总动量应该始终为零。假设与此 不符，故假设不成立。 对于高中生，可简单忽悠如下：如果系统的公共圆心不在质心处，则将系统质量集中与质心处，质心 绕公共圆心的向心力谁来提供？我们已经将质量集中于质心处了，因此只可能是系统外的其他物体来提 供，这与假定多星系统远

8、离其他天体的前提不符。 但在此特别提醒，万有引力计算不可以用质心，因为任何一个天体处重力场（其他天体产生的合引力 场）都不是匀强场。多星系统中某个天体的向心力只能分别用万有引力定 律计算相互作用万有引力后，用平行四边形定则求解。 2、应用举例、应用举例 【例 4】由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着 一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三 角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角 速度的圆周运动(图示为 A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若 A 星体质量为 2m、B、C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求： (1)A 星体所受合力大小 FA； (2)B 星体所受合力大小 FB； (3)C 星体的轨道半径 RC； (4)三星体做圆周运动的周期 T。 答案(1)2 3Gm 2 a2 (2) 7Gm 2 a2 (3) 7 4 a(4) a3 6m 五、补充拓展：质心动力学五、补充拓展：质心动力学（请参看大学教材） 1、质心牛顿第二定律（质心运动定理） ： iC FMa 2、质心动能定理（赝功能原理） ： 22 0 11 22 iCCC FrMvMv