中考数学压轴题大集合.doc

1、1 中考数学压轴题大集合中考数学压轴题大集合 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相 交于 E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E 点在 y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动 k(k0)个单位， 此时 AD 与 BC 相交于 E点， 如图，求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式. 解 （1） （本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过 E 作 EOx 轴，垂足 OABEODC ,

2、 EODOEOBO ABDBCDDB 又DO+BO=DB 1 EOEO ABDC AB=6，DC=3，EO=2 又 DOEO DBAB ， 2 31 6 EO DODB AB DO=DO，即 O与 O 重合，E 在 y 轴上 方法二：由 D（1，0） ，A（-2，-6） ，得 DA 直线方程：y=2x-2 再由 B（-2，0） ，C（1，-3） ，得 BC 直线方程：y=-x-2 联立得 0 2 x y E 点坐标（0，-2） ，即 E 点在 y 轴上 （2）设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(a0)过 A（-2，-6） ，C（1，-3） 图 C（1，-3） A （2，-6） B D O x

3、 E y 图 C （1+k， -3） A （2，-6） B D O x E y 2 E（0，-2）三点，得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程 y=-x2-2 （3） （本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为 F。 同（1）可得：1 E FE F ABDC 得：EF=2 方法一：又EFAB E FDF ABDB ， 1 3 DFDB SAEC= SADC- SEDC= 1112 2223 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB=DB=3+k S=3+k

4、为所求函数解析式 方法二： BADC，SBCA=SBDA SAEC= SBDE 11 323 22 BD E Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12 同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点 M（1，0）为圆心、直径 AC 为22的圆与 y 轴交 于 A、D 两点. （1）求点 A 的坐标； （2）设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否M 的切线？并

5、对你的 结论加以证明； （3）连接 BC，记ABC 的外接圆面积为 S1、M 面积为 S2，若 4 2 1 h S S ，抛物线 yax2bxc 经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 解（1）解：由已知 AM2，OM1， 在 RtAOM 中，AO1 22 OMAM， 点 A 的坐标为 A（0，1） （2）证：直线 yxb 过点 A（0，1）10b 即 b1 yx1 令 y0 则 x1 B（1，0） ， 3 AB 211 2222 AOBO 在ABM 中，AB2，AM2，BM2 22222 4)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM90 直线 AB

6、 是M 的切线 （3）解法一：由得BAC90 ，AB2，AC22， BC 10)22()2( 2222 ACAB BAC90 ABC 的外接圆的直径为 BC， 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1 h S S ， 5, 42 2 5 h h 即 设经过点 B（1，0） 、M（1，0）的抛物线的解析式为： ya（1） （x1） ， （a0）即 yax2a，a 5，a 5 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25 解法二： （接上） 求得h5 由已知所求抛物线经过点 B（1，0） 、M（1、0） ，则抛物线的对称

7、 轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5） 抛物线的解析式为 ya（x0）2 5 又 B（1,0） 、M（1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25 解法三： （接上）求得h5 因为抛物线的方程为 yax2bxc（a0） 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25. A B C D x M y 4 3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心，2 为半径作圆，交x 轴于A、B 两点，抛物 线)0( 2 acbxaxy过点A

8、、B，且顶点C 在P 上. (1)求P 上劣弧 AB的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存 在，请说明理由. 解 （1）如图，连结 PB，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M. 在 RtPMB 中，PB=2,PM=1, MPB60 ，APB120 AB的长 3 4 2 180 120 （2）在 RtPMB 中，PB=2,PM=1,则 MBMA3. 又 OM=1，A（13，0） ，B（13，0） ， 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上， 则 C(1，3). 点 A、B、C 在抛物线上，则 cba

9、 cba cba 3 )31 ()31 (0 )31 ()31 (0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy （3）假设存在点 D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且 PCOD. 又 PCy 轴，点 D 在 y 轴上，OD2，即 D（0，2）. 又点 D（0，2）在抛物线22 2 xxy上，故存在点 D（0，2） ， 使线段 OC 与 PD 互相平分. 4.（2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点 C（0，3）在y轴 的正半轴上，A、B 是x轴上是两点，且 OAOB31，以 OA、OB 为直径的圆分别

10、交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问： 在x轴上是否存在点 P，使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在， 求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. A B C O x y P（1，1） A B C O x y P（1，1） M A y x B E F O1 Q O O2 C 5 解 (1)在 RtABC 中，OCAB，

11、 AOCCOB. OC2OA OB. OAOB31,C(0, 3), 2 ( 3)3.OB OB OB1.OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之，得 3 , 3 2 3, 3 3. a b c 经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 32 33. 33 yxx (2)EF 与O1、O2都相切. 证明：连结 O1E、OE、OF. ECFAEOBFO90 , 四边形 EOFC 为矩形. QEQO. 12. 34,2+490 ， EF 与O1相切. 同理：EF 理O2相切. (3)作 MPOA 于 P

12、，设 MNa,由题意可得 MPMNa. MNOA, CMNCAO. . MNCN AOCO 3 . 33 aa 解之，得 3 33. 2 a 此时，四边形 OPMN 是正方形. 3 33. 2 MNOP 3 33 (,0). 2 P 考虑到四边形 PMNO 此时为正方形， 点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点 P 使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形且 3 33 (,0) 2 P 或 (0,0).P B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 N M P C 6 X O P D C A B Y 由方程组 y=

13、ax26ax+1 y= 2 1 x+1 得：ax2（6a+ 2 1 ）x=0 5.如图，已知点 A(0，1)、C(4，3)、E( 4 15 ， 8 23 )，P 是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部(不 在各边上)的个动点，点 D 在 y 轴，抛物线 yax2+bx+1 以 P 为顶点 (1)说明点 A、C、E 在一条条直线上； (2)能否判断抛物线 yax2+bx+1 的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线 yax2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的左侧)， GAO 与 FAO 的面积差为 3， 且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点 这时能确定 a、 b 的值

14、吗?若能， 请求出 a、 b 的值；若不能，请确定 a、b 的取值范围 (本题图形仅供分析参考用) 解 （1） 由题意， A(0， 1)、 C(4， 3)确定的解析式为： y= 2 1 x+1. 将点 E 的坐标 E( 4 15 ， 8 23 )代入 y= 2 1 x+1 中，左边= 8 23 ，右 边= 2 1 4 15 +1= 8 23 ， 左边=右边，点 E 在直线 y= 2 1 x+1 上，即点 A、C、E 在一条直线上. （2）解法一：由于动点 P 在矩形 ABCD 内部，点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标，而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物

15、线的开口向下 解法二：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 a ba 4 4 2 ，且 P 在矩形 ABCD 内部， 1 a ba 4 4 2 3，由 11 a b 4 2 得 a b 4 2 0，a0，抛物线的开口向下. （3）连接 GA、FA，SGAOSFAO=3 2 1 GOAO 2 1 FOAO=3 OA=1， GOFO=6. 设 F（x1,0） 、G（x2,0） ，则 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且 x1x2，又 a0，x1x2= a 1 0，x10 x2， GO= x2，FO= x1，x2（x1）=6， 即 x2+x1=6，x2+x1= a b

16、 a b =6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点 P 的坐标为（3， 19a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部， 119a 3, 9 2 a0. x=0 或 x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A，而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点，则 X G F O P D E C A B Y 7 有：06+ a2 1 4 15 ，解得： 9 2 a 12 1 综合得： 9 2 a 12 1 b= 6a， 2 1 b 3 4 6.（2004 湖南长沙）已知两点 O(0，0)、B(0，2)，A 过点 B 且与

17、x 轴分别相交于点 O、C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为 31，直线 l 与A 切于点 O，抛物线的顶点在直 线 l 上运动. （1）求A 的半径； （2）若抛物线经过 O、C 两点，求抛物线的解析式； （3）过 l 上一点 P 的直线与A 交于 C、E 两点，且 PCCE，求点 E 的坐标； （4）若抛物线与 x 轴分别相交于 C、F 两点，其顶点 P 的横坐标为 m，求PEC 的面积关 于 m 的函数解析式. 解 (1)由弧长之比为 31，可得BAO90 再由 ABAOr，且 OB2，得 r 2 (2)A 的切线 l 过原点，可设 l 为 ykx 任取 l 上一点(b，kb)

18、，由 l 与 y 轴夹角为 45 可得： bkb 或 bkb，得 k1 或 k1， 直线 l 的解析式为 yx 或 yx 又由 r2，易得 C(2，0)或 C(2，0) 由此可设抛物线解析式为 yax(x2)或 yax(x2) 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a1 抛物线为 yx22x 或 yx22x 6 分 (3)当 l 的解析式为 yx 时，由 P 在 l 上，可设 P(m，m)(m0) 过 P 作 PPx 轴于 P，OP|m|，PP|m|，OP2m2， 又由切割线定理可得：OP2PC PE,且 PCCE，得 PCPEmPP7 分 C 与 P为同一点，即 PEx 轴于 C，m2，E(2

19、，2)8 分 同理，当 l 的解析式为 yx 时，m2，E(2，2) (4)若 C(2，0)，此时 l 为 yx，P 与点 O、点 C 不重合，m0 且 m2， 当 m0 时，FC2(2m)，高为|yp|即为m， S 2 2(2)() 2 2 mm mm 同理当 0m2 时，Sm22m；当 m2 时，Sm22m； S 2 2 2 (02) 2 (02) mm mm mmm 或 又若 C(2，0)， 此时 l 为 yx，同理可得；S 2 2 2 (20) 2 ( 20) mm mm mmm 或 0 x y 8 7.如图，直线4 kxy与函数)0, 0(mx x m y的图像交于 A、B 两点，且

20、与 x、y 轴分 别交于 C、D 两点 （1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P若存在， 求出k和m的值；若不存在，请说明理由 解（1）设),( 11 yxA，),( 22 yxB(其中 2121 ,yyxx)， 由 AOBCOD SS 2，得)(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC2OD( 2 1 OD 1 y 2 1 OD 2 y)，)(2 21 yyOC， 又4OC，8)( 2 21 yy，即84)( 21 2 21 yyyy， 由 x m y 可得 y m x ，代入

21、4 kxy可得04 2 kmyy 4 21 yy，kmyy 21 ， 8416 km，即 m k 2 又方程的判别式08416km， 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m （2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P 则BPAP ，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N MAP与BPN都与APM互余，MAP BPN RtMAPRtNPB， NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ，0)2)(2( 2121 yyxx， 0)2)(2( 21 21 yy y m y m ， 即0)(4)(2 2 212121 2 yyyyyymm 由（1）知4 2

22、1 yy，2 21 yy，代入得0128 2 mm， 2m或6，又 m k 2 ， 1 2 k m 或 3 1 6 k m ， 存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P，且 1 2 k m 或 3 1 6 k m O P D C B A y x y x NMOPD C B A A A B (2,0)C C(2,0) l O P E P x y （2,0） P C l O y x C F F F P P 9 x y O 8.已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于两点 1 (,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx， 与 y 轴交于点 C，且 AB=6.

23、（1）求抛物线和直线 BC 的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线 BC. （3）若P过 A、B、C 三点，求P的半径. （4）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作MNx轴于点 N，使MBN被直线 BC 分成面 积比为1 3的两部分？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（1）由题意得： 121221 55 ,6. m xxxxxx mm 2 2 1212 520 ()436,36, m xxx x mm 解得 12 5 1,. 7 mm 经检验 m=1，抛物线的解析式为： 2 45.yxx 或：由 2 (5)50mxmx得，1x 或 5 x m 0,m 5

24、16,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx 由 2 450 xx得 12 5,1.xx A（5，0） ，B（1，0） ，C（0，5）. 设直线 BC 的解析式为,ykxb 则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC 的解析式为55.yx (2)图象自画. （3）法一：在RtAOCD中，5,45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 10 法二： 由题意，圆心 P 在 AB 的中垂线上，即在抛物线 2 45yxx的对称轴直线2x 上，设 P（2，h） （h0） ， 连结 PB、PC，则 222222 (12),(5)2P

25、BhPCh， 由 22 PBPC，即 2222 (12)(5)2hh，解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径 22 (12)213PB . 法三： 延长 CP 交P于点 F. CF为P的直径，90 .CAFCOB 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC 5 226 2 13. 5 CF P的半径为13. （4）设 MN 交直线 BC 于点 E，点 M 的坐标为 2 ( ,45),t tt则点 E 的坐标为( ,55).tt 若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.ME EN :

26、2 4 3 4,45(55). 3 EN MNttt: 解得 1 1t （不合题意舍去） ， 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.ME EN : 2 1 4,454(55).EN MNttt: 解得 3 1t （不合题意舍去） ， 4 15,t 15,280 .M 存在点 M，点 M 的坐标为 5 40 , 39 或（15，280）. 11 9. 如图，M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径 CDx 轴于 N，直线 CE 切M 于点 C，直线 FG 切M 于点 F，交 CE 于 G，已知点 G

27、 的横坐标为 3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过 A、B、D 三点，求 m 的值及点 D 的坐标. (2) 求直线 DF 的解析式. (3) 是否存在过点 G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于 4？若 存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过 A、B 两点， 1 1)3( m ，m=3. 抛物线为32 2 xxy. 又抛物线过点 D，由圆的对称性知点 D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB=4. CDx 轴，NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=NDNC， NC 4=22.

28、NC=1. C 点坐标为)11( ，. 设直线 DF 交 CE 于 P，连结 CF，则CFP=90. 2+3=1+4=90. GC、GF 是切线， GC=GF. 3=4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17(， 设直线 DF 的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF 的解析式为： 8 27 8 5 xy (3) 假设存在过点 G 的直线为 11 bxky， 则13 11 bk，13 11 kb. 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx F B A y x O N

29、 M G E D C P 1 2 3 4 （第 27 题图） A y x O N M G F E D C B 12 由题意得42 1 k，6 1 k. 当6 1 k时，040 ， 方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.已知二次函数 2 1 2 yxbxc的图象经过点 A（3，6） ，并与 x 轴交于点 B（1，0） 和点 C，顶点为 P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPCBAC，求点 D 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 M，使以 M 为圆心的圆与 AC、PC 所在的直线及

30、y 轴都相 切？如果存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 （1）解：二次函数 2 1 2 yxbxc的图象过点 A（3，6） ，B（1，0） 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为： 2 13 22 yxx 由解析式可求 P（1，2） ，C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：ACBPCD45 又已知：DPCBAC DPCBAC DCPC BCAC 易求6 2,2 2,4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于

31、 F. 亦可证AEBPFD、 PEEB PFFD . 易求：AE6，EB2，PF2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D （3）存在. （1 ）过 M 作 MHAC，MGPC 垂足分别为 H、G，设 AC 交 y 轴于 S，CP 的延长 线交 y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心， MGMHOM x O y 13 A B C M O x y 又2MCOM且 OMMCOC 23,3 23OMOMOM得 3 23,0M （2 ）在 x 轴的负半轴上，存在一点 M 同理 OMOCMC，2OMOCOM 得3 23OM M 3 23,0 即在 x 轴上存在满

32、足条件的两个点. 11.在平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（3，0）. （1）若抛物线过 A，B 两点，且与 y 轴交于点（0，3） ，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过 A，B 两点的抛物线如果与 y 轴负半轴交于点 C，M 为抛 物线的顶点，那么ACM 与ACB 的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E，F，与 y 轴交于点 C，过 C 作 CPx 轴交 l 于点 P， M 为此抛物线的顶点.若四边形 PEMF 是有一个内角为 60 的菱 形，求次抛物线的解析式. 解 （1）32 2 xxy，顶点坐标为（1，4

33、）. （2）由题意，设 ya（x1） （x3） ，即 yax22ax3a， A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3a） ，M（1，4a） ， M T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 A C x y B D M F S G H P 14 SACB 2 1 4a36a， 而 a0， SACB6A、 作 MDx 轴于 D， 又 SACMSACO SOCMD SAMD 2 1 1 3a 2 1 （3a4a） 2 1 2 4aa， SACM：SACB1：6. （3）当抛物线开口向上时，设 ya（x1）2k，即 yax22axak， 有菱形可知ka k，ak0

34、，k0， k 2 a ， yax22ax 2 a ， 2EF. 记 l 与 x 轴交点为 D， 若PEM60 ，则FEM30 ，MDDE tan30 6 6 ， k 6 6 ，a 3 6 ， 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy. 若PEM120 ，则FEM60 ，MDDE tan60 2 6 ， k 2 6 ，a6， 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy， 2 6 626 2 xxy. 12.已知： O 是坐标原点， P （m， n） (m0)是函数y k x (k0)上的点， 过点

35、P 作直线 PAOP 于 P，直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A（a，0）(am). 设OPA 的面积为 s，且 s 1n 4 4 . （1）当 n1 时，求点 A 的坐标； （2）若 OPAP，求 k 的值； 15 (3 ) 设 n 是小于 20 的整数，且 kn 4 2 ，求 OP2的最小值. 解 过点 P 作 PQx 轴于 Q，则 PQn，OQm (1) 当 n1 时， s5 4 a2s n 5 2 (2) 解 1： OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mna 2 1n 4 4 1 2an 即 n44n240 k24k40 k2 解 2： OPAP PAOP OPA 是等

36、腰直角三角形 mn 设OPQ 的面积为 s1 则：s1s 2 1 2mn 1 2(1 n4 4 ) 即：n44n240 k24k40 k2 (3) 解 1： PAOP， PQOA OPQOAP 设：OPQ 的面积为 s1，则 s1 s PO 2 AO2 即： 1 2k 1n 4 4 n2k 2 n2 4 (1n 4 4 )2 n2 化简得：2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4）0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 当 n 是小于 20 的整数时，k2. 16 OP2n2m2n2k 2 n2 又 m0，k2， n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n1 时，OP25 当 n2 时

37、，OP25 当 n3 时，OP232 4 329 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时， 即当 n4、5、6、19 时，OP2得值分别是： 42 4 42、5 24 52、6 24 62、19 24 192 192 4 19218 24 1823 24 325 OP2的最小值是 5. 解 2： OP2n2m2n2k 2 n2 n22 2 n2 (n2 n) 2 4 当 n2 n 时，即当 n 2时，OP 2最小； 又n 是整数，而当 n1 时，OP25；n2 时，OP25 OP2的最小值是 5. 解 3： PAOP， PQOA OPQP AQ PQ QA OQ PQ n

38、 am m n 化简得：2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4）0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 解 4： PAOP， PQOA OPQP AQ s1 ss1 OQ2 PQ2 化简得：2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4）0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 17 解 5： PAOP， PQOA OPQOAP OP OA OQ OP OP2OQOA 化简得：2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4）0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 13.如图，在直角坐标系中，O 是原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A（18，0） ，B（18，6） ， C（8，6） ，四

39、边形 OABC 是梯形，点 P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位，点 Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点有 一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1）求出直线 OC 的解析式及经过 O、A、C 三点的抛物线的解析式。 （2）试在中的抛物线上找一点 D，使得以 O、A、D 为顶点的三角形与 AOC 全等，请 直接写出点 D 的坐标。 （3）设从出发起，运动了 t 秒。如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位，试写出点 Q 的坐标，并 写出此时 t 的取值范围。 （4）设从出发起，运动了 t 秒。当 P、Q 两点运动的

40、路程之和恰好等于梯形 OABC 的周长 的一半，这时，直线 PQ 能否把梯形的面积也 分成相等的两部分， 如有可能， 请求出 t 的值； 如不可能，请说明理由。 解 （1） O、 C 两点的坐标分别为 O0 , 0， C6 , 8 设 OC 的解析式为bkxy， 将两点 坐标代入得： 4 3 k，0b，xy 4 3 A，O 是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为180 xxay 再将 C6 , 8代入得： 40 3 a xxy 20 27 40 3 2 （2）D6 ,10 （3）当 Q 在 OC 上运动时，可设 Q mm 4 3 ,，依题意有： 2 2 2 2 4 3 tmm tm 5 8 ，Q

41、 tt 5 6 , 5 8 ，50 t Q P O C（8，6） B（18，6） A（18，0） x y 18 当 Q 在 CB 上时，Q 点所走过的路程为t 2，OC10，CQ102 t Q 点的横坐标为228102tt，Q6 , 22 t，105 t （4）梯形 OABC 的周长为 44，当 Q 点 OC 上时，P 运动的路程为t，则 Q 运动的路程为 t22 OPQ 中，OP 边上的高为： 5 3 22 2 1 , 5 3 22 ttt OPQ S 梯形 OABC 的面积8461018 2 1 ，依题意有： 2 1 84 5 3 22 2 1 tt 整理得：014022 2 tt 014

42、04222，这样的t不存在 当 Q 在 BC 上时，Q 走过的路程为t22，CQ 的长为：tt121022 梯形 OCQP 的面积tt10226 2 1 3684 2 1 这样的t值不存在 综上所述，不存在这样的t值，使得 P，Q 两点同时平分梯形的周长和面积 14.已知：如图，抛物线mxxy 3 32 3 1 2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点， ACB90 ， （1）求 m 的值及抛物线顶点坐标； （2）过 A、B、C 的三点的M 交 y 轴于另一点 D，连结 DM 并延长交M 于点 E，过 E 点的M 的切线分别交 x 轴、y 轴于点 F、G，求直线 FG 的解析式

43、； （3）在（2）条件下，设 P 为CBD上的动点（P 不与 C、D 重合） ，连结 PA 交 y 轴于点 H， 问是否存在一个常数 k，始终满足 AH APk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在， 请说明理由. 解 （1）由抛物线可知，点 C 的坐标为（0，m） ， 且 m0. 设 A（x1，0） ，B（x2，0）.则有 x1 x23m 又OC是RtABC的 斜 边 上 的 高 ， AOCCOB OB OC OC OA 2 1 x m m x ，即 x1 x2m2 m23m，解得 m0 或 m3 而 m0，故只能取 m3 这时，4)3( 3 1 3 3 32 3 1 22 xxxy 故抛物

44、线的顶点坐标为（3，4） A B C D E F G M x y O 19 （2）解法一：由已知可得：M（3，0） ，A（3，0） ，B（33，0） ， C（0,3） ，D（0， 3） 抛物线的对称轴是 x3，也是M 的对称轴，连结 CE DE 是M 的直径， DCE90 ，直线 x3，垂直平分 CE， E 点的坐标为（23，3） 3 3 OD OM OC OA ，AOCDOM90 ， ACOMDO30 ，ACDE ACCB，CBDE 又 FGDE， FGCB 由 B（33，0） 、C（0，3）两点的坐标易求直线 CB 的解析式为： yx 3 3 3 可设直线 FG 的解析式为 yx 3 3

45、n，把（23，3）代入求得 n5 故直线 FG 的解析式为 yx 3 3 5 解法二：令 y0，解xx 3 32 3 1 2 30 得 x13，x233 即 A（3，0） ，B（33，0） 根据圆的对称性，易知： ：M 半径为 23， M（3，0） 在 RtBOC 中，BOC90 ，OB33， ，OC3 CBO30 ，同理，ODM30 。 而BMEDMO，DOM90 ，DEBC DEFG， BCFG EFMCBO30 在 RtEFM 中，MEF90 ，ME23，FEM30 ， 20 MF43，OFOMMF53， F 点的坐标为（53，0） 在 RtOFG 中，OGOF tan30 53 3 3

46、 5 G 点的坐标为（0，5） 直线 FG 的解析式为 yx 3 3 5 （3）解法一： 存在常数 k12，满足 AH AP12 连结 CP 由垂径定理可知 ACAD， PACH （或利用PABCACO） 又CAHPAC， ACHAPC AC AP AH AC 即 AC2AH AP 在 Rt AOC 中，AC2AO2OC2（3）23212 （或利用 AC2AO AB3 4312 AH AP12 解法二： 存在常数 k12，满足 AH AP12 设 AHx，APy 由相交弦定理得 HD HCAH HP 即)()33)(33( 2 xyxxx 化简得：xy12 即 AH AP12 A B C D E F G M x y P H O