指导学生添设辅助.docx

1、指导学生添设辅助指导学生添设辅助 所谓添线法。是指在初等几何解题中，通过添设辅助线，使条件或结论中的空间状态和数量 关系得以“转化，并产生某些逻辑关系。添设辅助线不仅有助于问题的解决，而且可使解法得到简化。 添设辅助线并不是随心所欲的， 而是在探索解题思路的过程中， 随着逻辑思维的发展逐步产生出来的。 其基本思想是通过添设辅助线把条件和结论联系起来。完成由已知向未知的转化。具体地说，就是 要通过添设辅助线，或是把有关的几何元素相对地集中起来，使它们发生联系；或是造成一个新图形， 使它能起媒介作用；或是发掘题设的隐含条件，为进一步证明创造条件。因此，常用的方法有： 一、连结两已知点或特殊点 这是

2、添设辅助线的基本方法，具有广泛的应用价值。这样的辅助线有助于造成新的图形，使 其起到媒介作用。例如，已知三角形两边的中点，常添设中位线，以便利用中位线定理产生新的等角， 并使原三角形的第三边作减半平移；已知梯形两腰的中点常添设中位线，以造成长为两底边和一半 的新线段或新的等角；已知直角三角形斜边的中点，常添设斜边上的中线，以便利用直角三角形斜边 上的中线等于斜边一半的性质，把有关线段或角联系起来；遇有已知直径的圆，常把圆上某点同直径 两端连结起来，以便利用直径上的圆周角是直角的性质；对于两圆相交问题，常连结连心线或公共弦， 以便利用连心线垂直平分公共弦及弦所对的弧的性质，并把圆周角、圆内接四边

3、形的外角和内对角等 联系起来；遇有切线问题，常把切点(或切线上某已知点)连结起来，以造成直角或利用切线长定理、 切割线定理等。对于以上各种情形，如果图形中只有一已知点，则可按上述思想在图形中取定所需的 点。 二、过已知点作需要的平行线(或垂线) 这样的辅助线容易造成等角(或直角)， 便于利用相似三角形 （或直角三角形)的有关性质求解。 例如：有关梯形的问题，常平移梯形的一腰或一对角线，把梯形转化为平行四边形和三角形；过同底 上的两个顶点向另一底作垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形；遇有比例线段问题，常根 据实际需要添没平行线，以便利用平行线分线段成比例定理；遇有圆中有关弦的问题，常添设

4、弦心距， 以便利用垂径定理或圆心角、弧、弦、弦心距关系的定理等；遇有切线的问题，常添没过切点的半径， 以便利用切线的性质定理等。 三、延长某已知线段 这样的辅助线常起媒介作用，有助于把条件和结论中的有关元素联系起呆。例如，遇有三角形 中线问题，常把中线延长至一倍处，以便利用全等三角形或平行四边形的性质，目的是变换原来某些 边角的位置，使分散的条件集中起来；对于三角形角平分线的问题，有时可延长有关线段，以造成等 腰三角形；有关梯形问题，常延长两腰相交于一点，将梯形问题转化为三角形问题来处理等等。 四、过已知点引圆的切线 这样的辅助线常起媒介作用，为利用弦切角定理、切线长定理切割线定理等创造条件。

5、例如， 遇有涉及圆周角的问题，常过有关的已知点引圆的切线，以便以弦切角为媒介。发现有关元素之间的 关系；遇到两圆相切时，常添它们的公切线，以便利用切线的性质或弦切角定理，沟通有关元素的联 系。 五、过已知点作辅助圆 这样的辅助线常起媒介作用，为利用与圆有关的性质和定理创造条件。例如，遇有比例线段 问题，用其他方法不易证明时，常常添设辅助圆，以便利用圆幂定理；遇到四边形对角互补或两个三 角形同底同旁等角时，常常添设辅助圆，以便利用与圆有关的性质和定理等。 六、利用初等变换添设辅助线 这样添设辅助线，便于沟通条件和结论的联系；对于比较复杂的几何题，常考虑利用初等变 换添设辅助线。例如，对于图形具有

6、对称特征的问题，或用通常方法不易移动元素位置的命题，一般 可优先考虑用对称变换添设辅助线，以沟通条件与结论或条件与问题的联系，对于夹在两平行线之间 的图形，可以优先考虑用平移变换移动元素的位置，在施行平移变换时，要注意平移的元素、平移的 方向和平移的距离；对于图形具有等边特征的命题，一般可优先考虑用旋转变换移动元素的位置，在 施行旋转变换时，要注意确定旋转中心、旋转角的大小和旋转的方向等。 七、添设满足结论要求的线段(或角) 有些几何题，特别是关于和、差、倍、分的证明题，当从题设条件难以入手时，常常按照结 论的要求制作新的线段(或角)，使它等于有关元素的和、差、倍、分，以通过新的图形完成证明。