初中数学解题思路方法大汇总-主元法.pdf

1、本系列文章是本系列文章是初中数学典型题思路分析初中数学典型题思路分析书的解题思路分析方法汇总！书的解题思路分析方法汇总！ 汇总如下：汇总如下： 01、特殊与一般思想 ；02、整体思想 ；03、 分类讨论思想 ； 04、 转化思想；05、 数形结合思想 06、 方程与函数思想 ； 07、 消元法；08、 换元法； 09、 配方法 10、 待定系数法 ；11、 几何变换法；12、 反证法； 13、 同一法 ；14、 构造法；15、 主元法； 16、 面积法； 17、 三角法；18、 解析法； 19、 模型化法；20、 巧用零点分段法； 21、 巧用乘法公式； 22、 巧裂项； 23、 巧用形如 x

2、+1/ x 式；24、 巧用倒数； 25、 巧用非负数； 26、 巧用分子有理化；27、 巧设设而不求的未知数； 28、 巧用判别式；29、 巧设函数通用点；30、 巧用“横 M 形”基本图形； 31、 巧用倍长中线法；32、 巧用截长补短法； 33、 巧用“角平分线+平行线”基本图形；34、 巧用“双垂直图形”基本图形； 35、 巧用一线三等角基本图形；36、 巧用二倍角基本图形 主元法 许多数学问题中,都会含有多个常量、参量和变量(统称为元素),根据具体条件和解题需 要,常常在众多元素中选用一个元素为主要元素,即作为主元(未知数),将其他元素暂时看成 是辅元(常数),进而把代数式整理成按主

3、元降幂排列(或升幂排列)的多项式,以此为线索来 达 到解决问题的目的,这种解题方法在数学中通常叫作“主元法”. 若其中某个元素处于突出和主导的地位,可视之为主元.在有些情况下,为解决问题的需 要,我们也可人为突出某个元素的地位作用,将之当作主元.确立主元后,以此作为解题的主 线,进而化繁为简,直至问题解决. 具体问题中如何确定主元呢? 一般有以下三种思路:1.选取低次元作主元.若问题中含有 三次、四次等高次元,可以选取低次元作主元,一般我们选取二次元.2.次数相同时任选一元 为 主元.若所含多个元素的次数相同,一般情况下任选一元为主元均可.3.选取常量或参量作主 元.特殊情况下,可以考虑选取常

4、量或参量作为主元. 主元法的应用非常广泛,常见于因式分解、方程(高次方程、二元二次方程等)、函数、代数 式求值、解不等式及证明中. 应用分类：应用分类： （1）在因式分解中的应用 （2）在方程中的应用 （3）在求(最)值及取值范围中的应用 （4）在解不等式中的应用 （5）在证明中的应用 （1）在因式分解中的应用 【典型例题】 【思路分析】这是一个三元四次六项式,多项式中含有三个变量 a,b,c,且次数较高,项数较 多,无法直接分解.变量 c 的次数是 3,故选取次数较低的字母为主元,而 a,b 的次数均为 2, 所 以任选 a 或 b 为主元均可. 【答案解析】 （2）在方程中的应用 【典型例

5、题 1】 【思路分析】先化分式方程为整式方程,整式方程为二元二次方程.此题若按常规解法把方 程代入方程,消去 y,将得到关于 x 的四次方程,计算较为繁杂.由于 x,y 齐次,故可任选 其一作为主元.本题解答中把 x 选作主元,整理方程,由判别式可得 y 值.此题若整理方程 也可,只是计算略为复杂一些. 【答案解析】 【典型例题 2】 【思路分析】这类题的一般解法可利用韦达定理、求根公式等知识,并结合整数的性质来解 决.若以 a 为主元,则使问题的解决更为简洁明快. 【答案解析】 （3）在求(最)值及取值范围中的应用 【典型例题 1】 【答案解析】 【典型例题 2】 【思路分析】二次函数可以看

6、作是关于 x,y 的二元二次方程,把 x 作为主元进行整理.对二 次项的系数分类讨论,分别得到关于 x 的一次方程和二次方程.一次方程若有解,则可以得到 y 的一个值;二次方程根据判别式,可以得到 y 的值或者取值范围.综合便可得 y 的最值或者 取值范围. 【答案解析】 （4）在解不等式中的应用 【典型例题】 【思路分析】本题的常规解法是把不等式化为关于 x 的不等式:(a-b+1)x +(b-a+4)x+a-b+40,然后再对二次项的系数分类讨论.这样求解过程复杂.若是把 a-b 整体 作为主 元,则解答比较简洁. 【答案解析】 （5）在证明中的应用 【典型例题】 【思路分析】此题条件与结

7、论的结构虽然复杂,但又十分对称.要想用等式和实数条件推出 不等式,可设法与一元二次方程挂钩,巧用主元法并利用判别式证之.所以可把三个实数其中 之一作为主元,比如 z,则题设条件即为关于 z 的一元二次方程. 【答案解析】 初中数学典型题思路分析说明初中数学典型题思路分析说明 1.1.特色特色：被多位老师选用备课老师选用备课.书中精选题目典型易错，一题多解，突出思路 分析，且“渔、鱼”兼得！按照到标注难度，整体难度较大，没有 太简单浪费时间的题目，适合中等及以上学生使用！ 2.2.价格：价格：全套 7 册共 14 本书（七上九下+综合）.每册分解析版和原题版 2 本书：解析版题目下紧接着是题目的

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