湖北省2021届高三上学期部分重点中学期末联考数学试题（Word版含答案）.zip

数学试卷参考答案 湖北省 2021 届部分重点中学高三上学期期末联考 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一、单项选择题：DBCACDCB 二、多项选择题：9.ACD10.ABD11.ACD12.BD 三、填空题：13.914.415.0177 yx16. 2 e 1. D 解析：因为), 1 ),( BA，所以BA, 1。 2. B 解析：因为i i i 43 34 ，则1, 0 nm，所以1 nm。 3. C 解析：抛物线的标准方程为yx 2 1 2 ，故其焦点坐标为 8 1 , 0 4.A 解析：方程 22 20 xyxa， 即 22 (1)1xya ， 表示圆则需10a， 解得1a ， 因为21aa ，而反之不成立，所以“2a ”是“方程 22 20 xyxa表示圆”的 充分不必要条件。 5. C 解 析 ： 由 题 意 得4tantan, 033tantan ， 则3)tan( ， 又 , 0、，可得0tan, 0tan ，所以 3 4 。 6. D 解析：若 8 盏灯笼任意挂，不同的挂法共有 8 8 A种，又左右两边四盏灯笼挂的顺序一定，故 共有70 4 4 4 4 8 8 AA A 种不同挂法。 （挂 8 盏灯笼的 8 个顺序位次中选 4 个挂左边 4 盏灯笼，共有 70 4 8 C种.) 7. C 解析： 由 342 32SSS 34 2aa ， 又数列 n a是等比数列， 则 1 2 n n a。 由 ji namnma, 成 等 差 数 列 ， 得 ji nbmamn 2 ， 即 211 - i 22222 jij mnnmmn ， 则 822 2322 ji mn ，当且仅当3, 2 ji时等号成立，此时2, 4 nm，所以mn的最 小值为 8. 8. B 解析： 因为当0 x时， x axf )() 1( a， 且)(xf为R上偶函数， 故 | )( x axf 且在), 0 上单调递增。所以)2()( |2 | 22 xfaaxf xx ，故)2()(xfbxf |2|xbx 023 22 bbxx 对任意的 1, 0 bx成立，设 22 23)(bbxxxg ， 则 0) 1( 0)0( bg g ，解得 4 3 1 b，所以实数b的最大值为 4 3 。故选 B 9. ACD 解析：双曲线1 54 22 yx 与1 45 22 xy 的渐近线均为xy 2 5 ，故 A 正确；若过 0 , 3F的直线l与双曲线C的右支交于BA、，则此时通径最短为 5，若直线l与双曲线C的左右 两支分别交于BA、，则| AB最小为 4。故5|AB时，这样的直线l有 3 条，B 错误；因为双曲 线C的渐近线为 xy 2 5 ，直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k满足 ) 2 5 , 2 5 ( k ，故 C 正确；过点2 , 1P可作 2 条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线 只有 1 个交点，故这样的直线共有 4 条，D 正确。 10. ABD解 析 ： 直 线CP与 1 BB所 成 角 即 为CP与 1 AA所 成 角CPA ， 又 34 343 53 5 cos 22 CP AC CPA，故 A 正确；在平面 11A ABB 内，过点 P 作 CD1 的平行线， 点 M 在此平行线上均可，故 B 正确；设点M在直线AB上的射影为N，则当BDMC 时， BDNC ，在平面ABCD内过点C作BD的垂线，与直线AB的交点在BA的延长线上，故 C 不正确；点M到平面ABCD的距离即为点M到直线AB的距离，由抛物线的定义可知此时点M 的轨迹是抛物线的一部分，故 D 正确. 11. ACD 解析： 由垂径定理可知， 外心 O 在AB上的投影为线段AB的中点， 所以 2 2 1 ABABAO ， 故 A 成立；H为垂心，则 HCHBHCHAHBHA ，故 B 不正确；因为FEG、三点共 线，故存在实数t，使得 ACtABtAFtAEtAG)1 ()1 ( 又G为ABC的重心，故 ACABAG 3 1 3 1 ，所以 3 1 )1 ( 3 1 t t ，则 3 11 ，故 C 成立； 因为 0| cos|cos|cos|cos| BCBC CAC BCAC BAB BCAB BC CAC AC BAB AB ， 所以 CAC AC BAB AB cos|cos| 与BC垂直，又H为垂心，则AH也与BC垂直，所以AH与 CAC AC BAB AB cos|cos| 共线，故 D 成立。 数学试卷参考答案 12. BD 解析：因为图象恰有三个交点NMP、，且PMN是直角三角形，可知PMN的高 为 2，且是等腰直角三角形，可得斜边长为22 ，即周期 22 T ，所以22 2 ，可得 2 2 ，故 B 正确；PMN的面积2222 2 1 ，故 A 不正确；当 2 25 , 0 x时， 2 5 ,x，由正弦、余弦函数图象可得： 44 3 且 4 13 2 5 4 9 ，又 2 | ，所以 4 , 4 ，故 D 正确； 4 13 x，故 C 不正确。 13. 9 解析：二项式 n x x) 3 ( 的展开式中，各项系数和为 n 4 ，各项二项式系数和 n 2 ，所以 7224 nn ，可得3 n，则 3 ) 3 ( x x 的展开式中常数项为 9； 14. 4 解析：扇环的面积为2 2 1 2 1 2 1 2 2 rr，所以4 2 1 2 2 rr。 15.0177 yx解析：设角 A 的平分线交BC于D，则由角平分线定理得2 AB AC DB CD ， 即CBCD 3 2 ，可求得) 3 2 , 3 7 ( D，可求得7 AD k，所以直线AD的方程为0177 yx 16. 2 e 解析：设 x a xxf 2ln)(，则 22 1 )( x ax x a x xf ，又0 a)(xf在区间), 0(a 上单调递减，),(a上单调递增，所以baafxf 3ln)()( min ，则 a a a b3ln ，设 a a ag 3ln )( ，则 2 ln2 )( a a ag 当), 0( 2 ea时，0)( a g；当),( 2 ea时， 0)( a g)(ag在 区 间), 0( 2 e上 单 调 递 增 ， 在 区 间),( 2 e上 单 调 递 减 ， 故 22 max )()(eegag ， a b 的最大值为 2 e 17.解： 2 ) 2 2cos(1 cossin)( x xxxf 2 1 2sin 2 2sin1 2sin 2 1 x x x 2 分 （1）由Zkkxk ,2 2 22 2 可得Zkkxk , 44 故函数)(xf的单调递增区间为)( 4 , 4 Zkkk 4 分 （2）当 42 A x时，由0 2 1 )( xf得0cos) 2 sin( AA ， 又), 0( A，则A为锐角。同理可得CB,均为锐角，即ABC 为锐角三角形 5 分 由可得， 222 cba ，此时ABC 为直角三角形，不符； 若选： 由可得圆 O 的圆心到直线的距离为3 21 3 ，故2342 a 又ABC 的外接圆直径 A a R sin 2 ，可得 Asin 2 4 6 A 6 分 由正弦定理得：CcBbsin4,sin4 ABC 的面积) 6 5 sin(sin4sinsin4sin 2 1 BBCBAbcS 3) 3 2sin(23cos32sinsin32cossin2 2 BBBBBB 8 分 又ABC 为锐角三角形，) 2 , 3 ( B 9 分 当 23 2 B，即 12 5 B时，ABC 的面积S有最大值为32 ； 10 分 若选： 由可得3) 6 sin(2 A，则 2 3 ) 6 sin( A，又A为锐角， 6 A 6 分 后面解法同上； 若选： 由可得圆 O 的圆心到直线的距离为3 21 3 ，故2342 a 由可得3) 6 sin(2 A，则 2 3 ) 6 sin( A，又A为锐角， 6 A 6 分 由正弦定理得4 6 sin 2 sin 2 A a R，后面解法同上； 18.解： （1）由12 1 naa nn 可得)(2) 1( 1 nana nn ，又21 1 a 故nan 是首项为2，公比为2的等比数列； 6 分 （2）由（1）知 n n na2 ，则na n n 2 7 分 11 1 1 1112 nnnn nn nn n n aaaa aa aa b9 分 数学试卷参考答案 3 1 12 1 3 111111111 1 1113221 naaaaaaaa S n nnn n 得证 12 分 19. 解： （1）取BE中点为O，由题意可得四边形ABCE为正方形，则BESO ，BECO ， 又平面SBE 平面BCDE，面SBE 平面BEBCDE OCSO 。 2 分 故OSOCOB,两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐 标系，不妨设 2BCEDSESB ，则2 CDBE， 则 1 , 0 , 0S， 0 , 0 , 1B， 0 , 1 , 0C， 0 , 1 , 2 D， 设平面SBC的法向量为 1111 ,zyxn ，则 0 0 0 0 11 11 1 1 zx zy SBn SCn ， 令1 1 x得1 , 1 , 1 1 n， 设平面SCD的法向量为 2222 ,zyxn ， 02 0 0 0 222 22 2 2 zyx zy SDn SCn ， 令1 2 y得 1 , 1 , 0 2 n，记二面角DSCB为， 则 3 6 | | |cos| 21 21 nn nn ，那么 3 3 sin; 所以，二面角DSCB-的正弦值为 3 3 8 分 （2）假设直线SB上存在点P使得PD平面SBC， 不妨设 aaP 1 , 0 ,，所以 aaPD, 1 ,2 ， 又 1 , 1 , 1 1 n ，由 1 /nPD 得 1 12 a a ，无解，故不存在点P使得PD平面SBC. 12 分 19.解： （1） 速效人数非速效人数合计 服用 A 药物7030100 服用 B 药物4060100 合计11090200 由题意可得 635. 62 .18 11 200 90110100100 40306070200 2 2 K， 4 分 所以有%99的把握认为病人服用药物A比服用药物B更速效；5 分 （2）11a或18; 7 分 由可得18a，用 乙甲 tt ,表示所选取人的康复时间，由题意可得基本事件总数有 49 个， 满足题意的基本事件有12,13，12,14，13,14，12,15，13,15，14,15，12,16，13,16， 14,16，15,16共 10 个，所以 49 10 49 4321 P. 12 分 21.解：（1） 圆的标准方程为647 2 2 yx， 由题意得ADBE /，因 为ACAD ， 所 以ACDADC， 即EBCECB， 所 以 ECEB ，所以728ABACEBEA,满足椭圆的定义， 所以动点E的轨迹方程为1 916 22 yx . 4 分 （2） 设 11, y xM、 22, y xN， 由题意可得6 33 2 2 1 1 21 x y x y kk， ()当直线MN斜率存在时，不妨设直线MN的方程为 bkxy， 联立 1 916 22 yx bkxy 消去y化简得01441632169 222 bkbxxk 2 2 21 2 21 169 14416 , 169 32 k b xx k kb xx 6 分 因为 6 3333 2 2 1 1 2 2 1 1 21 x bkx x bkx x y x y kk 整理得0362 2121 xxbxxk， 代入得03231441662 2 kbbbk，化简可得033bbk 8 分 所以时过上顶点舍去，因为当333bbkb代入直线MN的方程可得31 xky， 所以直线MN过定点31 ，. 9 分 ()当直线MN斜率不存在时，6 3333 1 1 1 1 2 2 1 1 21 x y x y x y x y kk， 可得1 21 xx，此时直线MN的方程为1x，过31 ，. 11 分 综上所述，直线MN过定点31 ，. 12 分 22.解： （1） xxxxf11333 2 ， 1 分 所以 xf在区间1，和，1上单调递增，在1 , 1上单调递减， 2 分 因为 00 f，且 axf有两个正跟，所以 10faf，即2 , 0a； 3 分 （2）方法一：由题意得axxxf 3 111 3)( ；axxxf 3 222 3)( +得：)(3)()()(32 2 221 2 121 3 2 3 121 xxxxxxxxxxa 1-得：)(3)()()(30 2 221 2 121 3 2 3 121 xxxxxxxxxx 3 2 221 2 1 xxxx，将代入得： 2121 )(xxxxa 5 分 数学试卷参考答案 由（1）知310 21 xx，设)2()()(xfxfxF )1 , 0( x 则0) 1(6)2(3333 )2()()( 222 xxxxfxfxF )(xF在) 1 , 0(上单调递减0) 1 ()2()()( 111 FxfxfxF )2()()( 112 xfxfxf ，又)(xf在), 1 ( 上单调递减 12 2xx 2 21 xx， 9 分 故要证 2 2 12 a xx ，只需证 2 )( 2121 2112 xxxx xxxx 即证4)( 221 xxx，因为2 21 xx且3 2 x，该不等式成立 故 2 2 12 a xx 成立 12 分 方法二：曲线 xfy 在0 , 0和03，处的切线方程为: 1 lxy3与36: 2 xyl， 且由图象可知当)3, 0( x时，函数)(xf夹在直线 1 l与 2 l之间， 直线 ay 与 21 ll、分别交于 a a , 3 与 a a , 6 3， 所以 2 2 2 3 36 3 12 aaaa xx 。 （此方法酌情打分）数学试卷 第 1 页（共 10 页） 数学试卷 第 2 页（共 10 页） 湖北省湖北省 2021 届部分重点中学高三上学期期末联考届部分重点中学高三上学期期末联考 数数 学学 试试 题题 考试时间：2 月 1 日 15：0017：00 考试用时：120 分钟 全卷满分：150 分 祝考试顺利祝考试顺利 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） 1| xyRxARxxyyB, 1| 2 BA A. B. C. D. 1 , 0 2 , 1,0 , 0, 1 2. 若且（其中 为虚数单位） ，则（ ）Rnm、nim i i 43 34 inm A. B. C. D. 25 1 110 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） 2 2xy A. B. C. D. 2 1 , 0 4 1 , 0 8 1 , 0 1 , 0 4. 已知 a 是实数，那么“”是“方程表示圆”的（ ） 2a 22 20 xyxa A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5. 已知，与是方程的两个根，则（ ）, 0、tantan0433 2 xx A. B. C. D. 或 3 3 2 3 4 3 3 4 6. 贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂， 可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（ ） A. B. C. D. ! 8168014070 7. 设等比数列的前项和为，首项，且.已知，若存在正整数 n a nn S1 1 a 342 32SSS Nnm, ，使得成等差数列，则的最小值为（ ） )1 (,jiji ji namnma, mn A. 16 B. 12 C. 8 D.6 8. 设是定义在 R 上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有)(xf0 x x axf )() 1( a 1, 0 bx ，则实数的最大值是（ ）)()( 2 xfbxf b 数学试卷 第 3 页（共 10 页） 数学试卷 第 4 页（共 10 页） A. B. C. D. 3 2 4 3 01 二、多项选择题：本大题共包括二、多项选择题：本大题共包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，至少有两个选在每小题给出的选项中，至少有两个选 项符合题意，全对得项符合题意，全对得 5 分，漏选得分，漏选得 2 分，选错不得分分，选错不得分. 9. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ）1 54 : 22 yx C A. 该双曲线与双曲线有相同的渐近线1 45 22 xy B. 过点作直线 与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条0 , 3FlCBA、5|AB C. 若直线 与双曲线的两支各有一个交点，则直线 的斜率lCl) 2 5 , 2 5 ( k D. 过点能作 4 条直线与双曲线仅有一个交点 2 , 1PC 10. 如右图所示，在长方体中，是中点，点 1111 DCBAABCD3AB4AD6 1 AAP 1 AA 在侧面（含边界）上运动，则（ ）MBBAA 11 A. 直线与所成角余弦值为 CP 1 BB 34 343 B. 存在点（异于点） ，使得四点共面. MP1 DCMP、 C. 存在点使得 MBDMC D. 若点到平面距离与到点的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分 MABCD1 A M 11. 对于给定的，其外心为，重心为，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）ABCOGH A. 21 2 AO ABAB B. OA OBOA OCOB OC C. 过点的直线 交于，若，则GlACAB、FE、AEAB AFAC 3 11 D. 与共线AH |cos|cos ABAC ABBACC 12. 当时，函数与的图象恰有三个交点 2 25 , 0 x xysinxycos 2 | , 0 ，且是直角三角形，则（ ） NMP、PMN 数学试卷 第 5 页（共 10 页） 数学试卷 第 6 页（共 10 页） A. 的面积 B. PMN1S 2 2 C. 两函数的图象必在处有交点 D. 4 13 x 4 , 4 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 在二项式的展开式中，各项系数和为，各项二项式系数和为，若，则展 n x x) 3 ( PQ72 QP 开式中的常数项为 . 14. 若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上、下底面圆的半径分别2 为，则 .)(, 2121 rrrr 2 1 2 2 rr 15. 已知ABC 的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为 .)2, 5(),0 , 6(),4 , 3( CBAA 16. 若，不等式恒成立，则的最大值为 .0 x)0(2ln ab x a x a b 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分 10 分） 已知函数.) 4 (coscos)sin()( 2 xxxxf （1）求的单调递增区间；)(xf （2）若对，恒有成立，且 ，求ABC 面积的最大 42 , 42 , 42 CBA x0 2 1 )( xf 值. 在下列四个条件中，任选 2 个补充到上面问题中，并完成求解.其中为ABC 的三个内角cba, 所对的边.CBA, ABC 的外接圆直径为 4；是直线截圆 O：所得的弦长；a032 yx4 22 yx ； . CcBbAasinsinsin 3cossin3 AA 18. （本题满分 12 分） 已知数列满足，且 . n a3 1 a12 1 naa nn （1）证明：数列为等比数列；nan 数学试卷 第 7 页（共 10 页） 数学试卷 第 8 页（共 10 页） （2）记，是数列前项的和，求证： . 1 12 nn n n aa b n S n bn 3 1 n S 19. （本题满分 12 分） 如图，在直角梯形中，且，是的中点，ABCDBCAD/ 90BADADBCAB 2 1 EAD 将沿折起到的位置，使平面平面.ABEBESBESBE BCDE （1）求二面角的正弦值；DSCB- （2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，SBP PDSBCP 请说明理由. 20. （本题满分 12 分） 有治疗某种疾病的两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：两BA、BA、 种药物各有 100 位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下： 服用药物：A 康复时间10111213141516 人数9141615161812 服用药物：B 康复时间121314151617a 人数11151416181610 假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复. （1）若康复时间低于 15 天（不含 15 天） ，记该种药物对某病人为“速效药物”.当时，请完成17 a 下列列联表，并判断是否有 99%的把握认为病人服用药物比服用药物更速效？22 AB 速效人数非速效人数合计 服用 A 药物 服用 B 药物 合计 （2）分别从服用药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用药物的 7 人BA、A 为组，服用药物的 7 人为组.现从、两组中随机各选一人，分别记为甲、乙.B 为何值时，、两组人康复时间的方差相等（不用说明理由） ；a 在成立且的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.12 a 参考数据： P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005 k02.0722.7063.8415.0246.6357.879 参考公式：K2，其中 nabcd. nadbc2 abcbacbd 数学试卷 第 9 页（共 10 页） 数学试卷 第 10 页（共 10 页） 21. （本题满分 12 分） 已知在平面直角坐标系中，圆:的圆心为，过点任作直线 交A05772 22 xyxA) 0 , 7(Bl 圆于点，过点作与平行的直线交于点.ADC、BADACE （1）求动点的轨迹方程；E （2）设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于 E y PP 2, 1k k E 两点（异于点） ，若，证明：直线过定点. NM、P 6 21 kk MN 22. （本题满分 12 分） 已知函数若关于的方程有两个正实数根且 . ,3 3 xxxfx axf 21,x x 21 xx （1）求实数的取值范围；a （2）求证：. 2 2 12 a xx