广东省东莞市2020-2021学年高二上学期期末数学试题 有答案.docx

1、2020-2021 学年度第一学期教学质量检查 高二数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题自要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1.设, a bR，且0ab，则 A. 11 ab B. 2 aab C. 22 ab D. 2 abb 2.在ABC中， 3 B ， 4 C ，2AB ，则AC A.3 B.6 C.3 D.3 3 3.若实数x，y满足 1 3 10 x y xy ，则3xy的最大值为 A.5 B.7 C.9 D.11 4.在等差数列 n a中， 123 6aaa， 5 20S ，则 4 a A

2、.2 B.4 C.6 D.8 5.2020 年 5 月， 东莞市生活垃圾分类三年行动方案出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回 收点 A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走 80 米，到达回收点 A，再向南偏东 60 方向走 30 米，到达 回收点 B，则他从回收点 B 回到自家楼下至少还需走 A.50 米 B.57 米 C.64 米 D.70 米 6.已知抛物线 2 4yx，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点，若 1 x，3， 2 x三个数 构成等差数列，则线段AB的长为 A.9 B.8 C.7 D.6 7.已知函数 f xg x，

3、2 244g xaa xa， 若对于任意1,x， 均有 f xg x成立， 则实数a的取值范围是 A.1,3 B.3, 1 C., 1 D.3, 8.如图 1，已知曲线 2 yx上有定点A，其横坐标为0a a ，AC 垂直于 x 轴于点 C，M 是弧 OA 上的任 意一点（含端点） ，MD 垂直于 x 轴于点 D，MEAC于点 E，OE 与 MD 相交于点 P，则点 P 的轨迹方程 是 A. 3 1 0yxxa a B. 3 1 0 22 a yxxxa a C. 2 20yxaxxa D. 2 0 22 aa yxxxa 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共加 0 分.在每

4、小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分、请把正确选项在答题卡中的相应位置涂 黑. 9.已知曲线 22 :1 73 xy C mm ，则下列选项正确的是 A.0,3m ，曲线C表示椭圆 B.3,5m ，曲线C表示椭圆 C.5,7m ，曲线C表示双曲线 D.7,m ，曲线C表示双曲线 10.如图 2，在正方体 1111 ABCDABC D中，点M，N分别是棱 1 AA和 1 BB的中点，则下列选项正确的是 A. 1 ACDN B. 1 MCD N C. 1111 0MCABAD D. 1 1 2 MCABB BAD 11.若不等式

5、 2 0axbxc的解集是1,2，则下列选项正确的是 A.0a B.0b且0c C.0abc D.不等式 2 0axcxb的解集是R 12.设等比数列 n a的公比为q，其前q项和为 n S，前n项积为 n T，且满足 1 1a ， 20202021 1aa， 20202021 110aa，则下列选项正确的是 A.01q B. 20202021 1SS C. 2020 T是数列 n T中的最大项 D. 2021 1T 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知双曲线 22 :1 45 xy C，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为_

6、. 14 数列 n a的前n项和为 n S，若 2 1 n nn a，则 4 S _. 15.四棱柱 111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 3AA ，90BAD， 11 60BAADAA，则 向量 1 AC的模长 1 AC _. 16.如图 3、从椭圆的一个焦点 1 F发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 2 F，事 实上， 点 00 ,P x y处的切线 00 22 1 xxyy ab 垂直于 12 FPF的角平分线.已知椭圆 22 :1 43 xy C的两个焦点 是 1 F， 2 F， 点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点， 12 FPF的角平分线PT交椭圆C

7、的长轴于点,0T t， 则t的取值范围是_. 四、解答题：本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 10 分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无 效。 17.已知集合 2 680Ax xx，集合 30,0Bx xmxmm. （1）若1B，求实数m的取值范围； （2）若“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围， 18.若数列 n a的前n项和 2* n SnnN. （1）求 n a的通项公式： （2）若数列 n b满足 3 n n n a b ，求数列 n

8、 b的前n项和 n S. 19.在8ab，2 7c ，10bc ， 3 cos 4 B 这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上， 并进行解答 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若8 cos8acAb，_. （1）求cosC； （2）求ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.如图 4， 在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD， 底面ABCD为直角梯形，/AD BC，ABAD， PAABBC，2ADBC，E是PB的中点. （1）证明：AE 平面PBC； （2）求二面角BPCD的大小. 21.目前，中国已经建成全球最大的 5G 网络，无论是大山

9、深处还是广表平原，处处都能见到 5G 基站的身影. 如图 5，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座 5G 基站 AB，已知基站高50mAB ，该同学眼 高 1.5m（眼睛到水平面的距离） ，该同学在初始位置 C 处（眼睛所在位置）测得基站底部 B 的仰角为 37 ， 测得基站顶端 A 的仰角为 45 . （1）求出山高 BE（结果保留整数） ； （2）如图 6，当该同学面向基站 AB 前行时（保持在同一铅垂面内） ，记该同学所在位置 M 处（眼睛所在位 置）到基站 AB 所在直线的距离mMDx，且记在 M 处观测基站底部 B 的仰角为，观测基站顶端 A 的 仰角为.试问当x多大时，观测基

10、站的视角AMB最大? 参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7，sin1270.8. 22.已知焦点在x轴上的椭圆C，其离心率为 1 2 ，且经过点 6 2, 2 P . （1）求椭圆C的标准方程； C2）过点0,Mm的直线l（斜率存在且不为 0）与椭圆C交于两点T，Q，设 3 0, 12 D ，且满足 DTDQ，求实数m的取值范围. 20202021 学年度第一学期教学质量检查 高二数学高二数学 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C D B A A 二、多项选择题二、多项选择题（全部选对的得 5 分，

11、选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 题号 9 10 11 12 答案 BD ACD AB AC 三、填空题三、填空题 13. 5 14. 4 5 15. 29 16. 1 1 (, ) 2 2 四、解答题四、解答题: 17.解：由(2)(4)0 xx，解得24x，所以|24Axx, 2 分 因为0m，所以3mm，所以|3Bx mxm, 4 分 （1）因为1B，所以 1 31 m m ，解得 1 1 3 m. 6 分 （2）若“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，则 2 43 m m 或 2 43 m m ， 8分 解得 4 2 3 m或 4 2 3 m， 9 分 所以 4 2 3

12、m. 10 分 18. 解:（1）当 1n 时， 11 1aS ， 1 分 当 2n 时， 22 1 121 nnn aSSnnn ， 4 分 当 1n 时，也符合上式，所以对任意正整数n，21 n an . 5 分 （2）由（1）得 21 3 n n n b ， 6 分 所以 1312 1352321 33333 n nn nn S ， 7 分 3421 11352321 333333 n nn nn S + ， 8 分 ，得 321 2111121 2 333333 n nn n S ， 9 分 2 1 11 3 3 11 1 3 21 ( ) 121222 31333 n nn nn ，

13、 11 分 所以 1 1 3 n n n S 12 分 19. 解： （1）解法一：由正弦定理，得sin8sincos8sinACAB， 1 分 由()BAC，得sin8sincos8sin()ACAAC, 2 分 即sin 8sincos8sincos8cossinACAACAC ，整理得sin8sincosAAC， 4 分 由(0, )A，得sin0A， 5 分 所以 1 cos 8 C . 6 分 解法二：由余弦定理，得 222 88 2 bca acb bc ， 2 分 整理得 222 1 4 abcab ， 4 分 所以 222 1 4 1 cos 228 ababc C abab

14、. 6 分 （2）选择条件选择条件. 由余弦定理，得 222 1 cos 28 abc C ab ，即 222 1 4 abcab ， 7 分 即 22 9 () 4 abcab ， 8 分 又8,2 7abc，得 9 6428 4 ab，解得16ab， 10 分 在ABC中，由 1 cos 8 C ，得 3 7 sin 8 C ， 11 分 由面积公式 1 sin 2 ABC SabC ，得 13 7 163 7 28 ABC S . 12 分 选择条件选择条件. 在ABC中，由 1 cos 8 C ，得 3 7 sin 8 C ， 7 分 由 3 cos 4 B ，得 7 sin 4 B

15、， 8 分 由正弦定理 sinsin bc BC ，得 7 sin2 4 sin33 7 8 bB cC ， 9 分 联立10bc ，解得4b，6c ， 10 分 由 7133 75 7 sinsin()sincoscossin 484816 ABCBCBC， 11 分 由面积公式 1 sin 2 ABC SbcA ，得 15 715 7 4 6 2164 ABC S . 12 分 20.解：PA 平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD， PAAB , PAAD 又 ABAD ， AB 、AD、AP两两互相垂直， 1 分 以A为坐标原点，分别以,AB AD AP所在直线为x轴，y

16、轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz 设 1AB ，则 1PABC ， 2AD ， 则 0,0,0A ， 1,0,0B ， 1,1,0C ， 0,2,0D ， 0,0,1P ， 11 ,0, 22 E ， 2 分 （1）证明： 11 ,0, 22 AE ， 1,0, 1PB , 1,1, 1PC ， 3 分 因为 11 =0 22 AE PB ， 11 =0 22 AE PC ， 4 分 所以AE PB ，AE PC ，即AE PB ，AE PC , 5 分 又因为PB PCP ，PB PBC 平面 ，PC PBC 平面 , 6 分 所以AE PBC 平面 . 7 分 （2）由（1）得平面PBC

17、的法向量为 11 ,0, 22 AE ， 8 分 设平面PCD的法向量为 , ,nx y z ，由 1,1,0 ,0,2, 1CDPD 得， 0 20 n CDxy n PDyz ，解得 2 xy zy ，令1y ，则平面PCD的一个法向量 1,1,2n ，9 分 则 1 1 3 2 cos, 22 6 2 AE n AE n AE n 10 分 设二面角B PCD 的平面角为，由题知 3 coscos, 2 AE n ， 11 分 所以二面角B PCD 的平面角为 5 6 . 12 分 21. 解： （1）由题知8 ,45ACBBAC, 1 分 在ABC中，由正弦定理得 sinsin ABB

18、C ACBBAC ，即 50 sin8sin45 BC ， 2 分 所以 50 0.7 250 0.14 BC 3 分 在Rt BDC中，sin BD BCD BC ，即sin37 250 BD ， 4 分 所以250 0.6150BD, 5 分 所以山高150 1.5 151.5 152BEBDDEm. 6 分 （2）由题知AMD,BMD，则 在Rt BMD中， 150 tan BD MDx 7 分 在Rt AMD中， 200 tan AD MDx 8 分 由题知AMB，则 tantan tantan() 1tantan AMB 2 200150 50 200 150 30000 1 x x

19、x x xx 9 分 5050503 30000 1230000200 3 2 x x x x 11 分 当且仅当 30000 x x 即 100 3x m 时， tanACB 取得最大值，即视角最大. 12 分 说明：说明：x近似为整数近似为整数173m 也给满分也给满分. 22. 解： （1）设椭圆方程为 22 2 10 xy ab ab ,依题意得 222 2 2 22 6 2 2 1 1 2 abc ab c e a , 2 分 解得2,3ab, 4 分 所以椭圆的标准方程是 22 1 43 xy . 5 分 （2）设直线l为ykxm，联立 22 1 43 xy ykxm ，整理得 2

20、22 (34)84120kxkmxm， 所以 2 1212 22 8412 , 3434 m xxx k k m k x ， 6 分 由 2222 644(412)(34)0k mmk ，整理得 22 34mk， 7 分 设 1122 ( ,)(,)T x yQ xy、，TQ的中点 00 (,)H xy， 则 0 2 2 2 1 00 4 , 3 42334 xx xy kmm kxm kk ，所以 22 3 3 4 4 , 43 ()H kmm kk ， 8 分 由DTDQ，得DHTQ ，所以 2 2 3 1 12 4 3 34 34 DH k m k k k m k ， 整理得 2 3 (34 2 ),0 1 kkm ， 9 分 由得 3 4 m ， 10 分 将代入得 2 4 30mm，解得4 30m， 11 分 综上所述：m的取值范围是 3 4 3 4 m . 12 分