平面几何入门教学.doc

1、平面几何入门教学平面几何入门教学 序序 为了大面积提高初中数学教学质量，为国家培养各级各类的合格人才，1982 年，常州市 教研室的杨裕前同志，与教师中有志于改革的积极分子，针对当时几何教学造成大批学生数 学成绩严重下降的情况，首先成立了“平面几何教学研究小组” ，并以它为核心，团结起全市 数学教师，开展了全市性的改革几何教学的研究试验活动。 他们从分析学生学习几何的困难入手，发现学生的困难虽然是在学习“三角形”一 章的证明时才开始表现出来的，但它是从学习几何开始起就逐渐积累下来的。因为在证题时， 尽管是刚开始做证明题，至少要具备以下知识和技能： 1对题目中各个概念有清晰而正确的理解，能想象出

2、概念所反映的图形，以及它具 有的性质（特别是本质属性)； 2能够看懂图形，能把复杂图形分解成各种简单图形，能找出图形中的各个元素， 以及各个元素之间的关系； 3能够口头叙述、尤其是书面表述概念、性质和定理； 4掌握推理的基本规律和书面表述的规范格式。 在开始做“三角形”一章的证明题时，虽然用到的知识是少量的，技能的要求也只 是初步的、浅显的，但毕竟都是必需的，而且表现为一种综合运用的能力，缺少哪一方面或 在哪一方面稍有缺陷，都将影响证明的完成。他们发现，学生对所需的知识和技能掌握得并 不好，包括几何开始时的一些基本概念。于是他们又进一步从学习的内容和方法的转变，即 从数到形、从运算到论证的转变

3、，以及心理的准备等方面，分析了学生的情况。 基于对学习内容和学生状况的分析，他们提出了研究几何入门教学的任务，研究从研究从 几何的第一课开始怎样引起学生喜爱学几何的欲望，怎样使学生逐步掌握知识，特别是怎样几何的第一课开始怎样引起学生喜爱学几何的欲望，怎样使学生逐步掌握知识，特别是怎样 训练这些技能。训练这些技能。比如，怎样引起学生学习几何的兴趣，怎样培养学生学好几何的信心，怎样 进行几何概念的教学，怎样训练学生看图、画图以及几何语言的表述的技能，怎样使学生掌 握推理论证的规律，以及怎样进行证明、作图的书写格式规范的训练，等等。 由于他们是紧密结合教学实际来进行研究的，更由于这种研究是有广大教师

4、直接参 加的，因而不仅能够集中群众的智慧，使问题抓得准，分析得透，更为重要的是调动了广大 教师为提高教学质量、进行教学改革实践的主动性和积极性，把研究的结果用之于教学实践 并进行检验、改进，从而在当年就取得了大面积提高平面几何教学质量的可喜结果。1983 年 春，中国教育学会数学教学研究会在烟台召开了“大面积提高初中数学教学质量座谈会” 。在 这个座谈会上，杨裕前同志介绍了他们的经验，受到了与会代表的重视。代表们不仅认识到 大面积提高初中数学教学质量的重大意义，而且树立了一种信心：学生数学成绩不好不是必 然的，通过改进教学，绝大多数学生是可以学好的。 常州的同志并没有满足于已取得的经验和成绩。

5、他们结合教改实践学习教育学、心理学， 把已有的经验提高到理论上来认识， 并在理论的指导下进一步改进平面几何入门教学的实践。 这样，常州全市近几年来的几何教学成绩持续达到大面积的高质量，并且写出了这本理论与 实践相结合的平面几何入门教学 。 本书的出版，对大面积提高我国数学教学质量无疑会起到促进作用。由于本书讲的是教 学实际，内容生动具体，对从事初中几何教学的教师来说，可以直接作为进行教学的参考； 对其他从事数学教学和研究的人员来说，本书提供了可资借鉴和研究的真实材料。所以本书 对数学教育的实践和理论的研究都是有价值的。 几何难学、难教，难在什么地方？归相结底，主要不是在几何事实的认识和应用，

6、而是在于它的严密的科学体系。长期以来，人民之重视几何，说是为了学习几何的实际知识， 毋宁说是为了学习它的这个科学体系，也就是说，学习几何主要在于使学生的思维受到严格 的逻辑推理的训练，并从中掌握科学的思想方法和科学的体系。因为这种方法和体系，以及 推理论证的能力，对于从事脑力劳动，尤其是从事科学研究的人来说是必不可少的。这种教 育观点，至少在实科教育兴起之前是这样。其实，在实科教育兴起之后，这种观点仍然强烈 地影响着数学教育。 几何的科学体系，通常是指欧几里得几何的公理体系。它是人们经过了漫长的岁月， 积累了丰富的关于几何事实的知识及其相互间的关系的认识之后，到了两千多年之前，才由 欧几里得完

7、成的。欧氏几何是人类完成科学体系的第一门学科，是人类认识史上的一次伟大 飞跃。我以为，人的认识能力的发展过程与人类认识能力的发展过程存在着一致性。所以， 第一，学生学习和掌握这个尽管还不是严密的欧氏几何体系，确实不是一件轻而易举的事； 第二，它又毕竟是人类完成的第一个科学体系，比起晚近出现的其他更为抽象的体系比 如抽象代数的公理体系来，又是轻易于为学生所理解和掌握的一个体系，因为它可以借助于 图形的直观。因此，欧氏几何有对学生早期进行系统的推理论证训练、学习科学思想方法和 体系的优点，不过，在初中学习几何仍有“化难为易”的必要。20 世纪初期，就有人主张在 “理论几何”之前增加一门“实验几何”

8、 ，即先学习一些几何事实的知识，再学习公理体系的 论证几何。 我国自 1933 年公布 初级中学算学课程标准 起到解放前， 采用的就是这种主张。 不过当时更多学校采用“三 S”几何课本进行教学，是一本把实验几何与论证几何结合起来 的课本，受到了当时教者的欢迎。1978 年的中学数学教学大纲，对初中几何除了精简只起训 练思维作用的繁琐内容、强调知识的实用性外，在安排上采用扩大的公理体系，也就是把实 验几何与论证几何结合起来的体系。现在，常州市以及其他一些地区和学校的经验证明，采 用扩大公理体系的方法是可行的；同时，他们的经验更说明，在入门阶段的几何教学，确实 需要有一个小步训练、逐级渐进的过程。

9、所以， 平面几何入门教学一书，不仅对研究教学 方法有积极的意义，而且对改进教材的编写也提供了经验。 现在，教育改革已进入了一个新的阶段，初中教育已属于义务教育。无论是几何教 材的内容，还是教学方法，都要从教育改革的新阶段和义务教育的要求来加以重新考虑；另 外，有不少学校在初中一年级进行几何教学的试验也取得了有益的经验。所以，我们也要从 这个要求和经验来看待平面几何入门教学 。实践、认识，再实践、再认识，这是认识的规 律。因此，我们广大数学教师要在不断的实践中，不断地创造新经验，为大面积提高数学教 学质员，为建立数学教育学作出贡献。 张孝达 1988 年 10 月 一一 “入门教学”的特点“入门

10、教学”的特点 平面几何教学普遍存在“入门难”的问题。为解决这个问题，首先有必要研究平面 几何的入门教学，即起始阶段的教学具有的一些特点。 1每一门新的教学科目，它研究的对象往往与以前的有所不同。 几何主要研究 图形及其性质。在初中几何教学以前的小学数学和初一代数，主要是研究数量关系。也 就是说，平面几何这门学科使中学数学进入了一个新的领域， “新”在研究对象发生了根本的 变化，这是平面几何教学带根本性的一个特点。 2研究对象的变化，必然使研究方法也随之发生变化，平面几何不再用学生较为熟 悉的运算的方法，而是用学生还很陌生的说理、推理、论证的研究方法。这种新的方法，学 生在以往的学习中没有得到系

11、统的训练。因此，研究方法是新的，也是平面几何教学中一个 重要的特点。 3从教学内容看，平面几何入门教学又有“基础知识多而集中，难度虽不大，但对 整个几何教学具有本源性”这样的特点。在平面几何的起始阶段教学中，作为这门学科的最 基础的知识，如基本概念、名词术语、符号等都将集中出现。这些知识从表面上看似乎不难， 实际上并非如此，它们是这门学科知识的本源，以它们为基础才能逐步形成整个平面几何的 知识结构。 在实际教学中，这个特点往往不被教与学的两方面充分认识。从“学”的方面看， 学生常常对集中出现又无明显联系的一大堆知识感到枯燥乏味，加之知识难度不大，因而往 往表现在学习中掉以轻心；再从“教”的方面

12、看：教师也常常感到起始阶段教学内容零碎难 教，远不如进入推理阶段的教学那样得心应手，因而也可能产生尽量压缩教时，尽早进入平 面几何教学的华彩乐章”的想法。教与学两方面可能存在的这种“轻视”心理，对搞好平面 几何的教学是十分不利的。 4从技能和能力的要求看，平面几何教学需要学生逐步具备识图、画图、作图，正 确地理解和表述几何语言、运用三段论证的方法进行演绎推理的技能和能力，以及逐步了解 并掌握图形变换的思想、分析的方法、反证法的思想方法等等。这些技能、能力和思想方法， 学生在学习平面几何以前没有得到过系统的训练和培养。因此，平面几何教学在技能、能力 和思想方法的要求上，具有“突变性”的特点。 把

13、第 3，4 两个特点结合起来考虑，我们清楚地看到：应该利用平面几何入门教学阶 段知识难度不大的时机，有计划有重点地逐步训练学生掌握学好几何所必须具备的技能、能 力和思想方法，而不应急于进入推理论证教学。同时，不宜把这些训练安排在平面几何教学 进入核心阶段推理论证后去进行。因为推理论证阶段已是诸种技能和能力的综合运用阶 段。到那时再开始进行上述训练，就为时太晚了。 5在入门教学阶段，由于研究对象、方法的变化，以及技能、能力和思想方法上的 突变性，学生在起始阶段的学习中，一般需要有一个调整学习方法、改变学习习惯的过程。 比如，由于种种原因，不少学生在代数学习中仍常用背诵的方法学习基础知识，解题时又

14、习 惯于套用程式，这种不好的学习方法和习惯在几何学习中尤需改变，因为学习几何更加要求 重理解、会思考。又如，他们在由运算转变为论证时，对解题的书写格式也会不习惯等等。 因此入门教学中必须考虑学生这样一个调整的过程。 6学生的学习动机、兴趣、意志、情感、注意，乃至态度、理想等非智力因素，在 入门教学中具有重大的作用。学生刚开始学习一门新学科时，往往有新奇感，并表现出一定 的兴趣。但是，如果起始阶段教学趣味性不强，或由于各种原因使学生在学习中遇到了较大 的困难，学生又不能以坚强的意志和毅力克服这些困难，那么他们便可能丧失学习的兴趣和 信心。 因此，入门阶段的教学关系到能否帮助学生形成“乐学学懂更乐

15、学”的良 性循环，还是相反地出现学习上的恶性循环。1983 年 5 月，人民教育出版社的有关同志在常 州一所学生基础差的学校召开了一次座谈会，问参加座谈会的九名留级生： “为什么你们去年 没有学好几何，今年都学得很好(当时，初二下学期期中考试成绩，一人 80 分以上，余均在 90 分以上)”?这几位学生说： “现在学几何有趣，学得懂，上课就认真听讲，所以就学好了。 ” 这正是非智力因素发挥了积极作用，从而使智力因素得到较好发展的个例证。可以这样说： 能否在入门阶段调动学生的非智力因素，促进教学的良性循环的形成，对每一门新学科的整 体教学具有决定性的影响。 7新学科的教学与以前学科教学之间必然存

16、在着迁移，这也是入门教学中必须认真 研究的一个特点。在初中平面几何教学前，学生在小学“简单的形体知识”教学中，已经了 解了诸如直线、射线、线段、垂线、平行线、两点间距离、等腰三角形、等边三角形等名称， 学会了某些特殊四边形、圆和简单几何体的有关计算等。这些对初中平面几何教学都有着可 利用的正迁移作用。但是，由于小学生的年龄特征和知识面的限制，小学数学没有也不可能 用说理的方法去导出这些形体知识，而是大量地借助直观。这种以“直现”代替“论证”的 获取知识的过程，常常会使学生对平面几何教学中论证的必要性认识不足，甚至产生排斥的 心理，这就将给初中平面几何的教学带来很多困难。 比如，一位小学生在作业

17、本上计算图 1 的面积时，列出式子（3+6)42，显然，他把 图 1 看作为直角梯形(注：原题意中没有说明这一点)。 下面是家长与该生的一段对话： 问： “你怎么知道长度为 4 的那条线段是梯形的高呢?” 答： “如果它不是梯形的高，我怎么能做这道题呢?” 学生的回答令人啼笑皆非，但似乎又是合乎情理的。因为他们只能借助图形直观， 看看图形象什么，就认为它是什么。这使我们想到：初中学生在几何论证中不也常常杜撰条 件(比如，角的内部有一条过角的射线，就把它当成角的平分线)导致错误吗? 我们再来看这位学生在初二年级学习了“直线的基本性质”以后，家长与他的另一 段对话： 问： “今天几何课上，你们学习

18、了“两条直线相交，只有一个交点吗?” 答： “学习了。 ” 问： “这个直线的基本性质是怎样说理的?”(注：课本在这个性质的说理中用了 反证法的思想方法，家长问话的本意是想了解学生能否粗浅地了解这种方法。) 答： “我觉得老师用一大段话去说明这个性质，是多余的。 ” 问： “怎么会是多余的呢？” 答： “老师讲这个性质之前，讲经过两点有一条直线并且只有一条直线时，先在 黑板上过两点画出一条直线，再过这两点画直线，画不出第二条直线，所以把那个结论作为 公理 。那么，两条直线相交，无论怎样画也总只有一个交点，为什么却要说理呢?” 是啊！初学几何的学生尚不清楚，平面几何要有若干条公理，然后在公理和定

19、义的 基础上，用说理的方法去论证一系列的几何命题和定理。由此可见，用直观代替乃至取消论 证这种获取知识的方法和习惯，对初中几何教学造成了很大的障碍。不注意到这一点，便会 使平面几何起始阶段的教学中，教师与学生总也想不到一块儿去！教师想的是如何讲才能使 学生听懂道理， 学生想的却是不需要讲道理。 不解决这一问题， 怎么能取得好的教学效果呢？ 针对入门教学的以上特点，平面几何起始阶段的教学应注意以下几点。 第一，要明确本学科教学的根本目的。 近几十年来，平面几何这门学科一直是教学内容改革的对象。国内外对这门古老的 学科在中学数学中的地位和作用，有着很多的争论。但是，至今它仍在中学数学中占有一席 之

20、地。这些现象说明了什么呢?毫无疑问，随着当代科学技术的发展，在两千多年前开始形成 的几何这门学科，它的某些内容确实已经失去了实用的价值，有的也过于繁难，因此平面几 何教学内容要改革是合理的。那么经历了多次改革和冲击，平面几何作为中学数学的一门学 科仍被保留下来，这又说明它必然有着独特的作用，即它对培养初中学生的逻辑思维能力有 效，目前尚未有更好的办法去替代它的这种作用。因此，平面几何的教学必须在教给学生有 用的知识的同时，把培养学生分析、综合、演绎、归纳等逻辑思维能力作为其根本的目的。 为此，平面几何教学要注重知识的应用价值，要着眼于使学生会思考、会学习，而 不应以证题术为中心。逻辑思维能力的

21、培养也不一定需要搞大量的难题，用大量的一般难度 题(课本中的习题)和少量的难题同样可以达到这个目的。关键在于如何在解题过程中教会学 生思考问题的方法。 第二，教学要求必须恰当。 教学要求恰当，是平面几何教学中始终应当注意的，在入门阶段的教学中显得尤为 重要。我们认为，每门学科的教学要求应考虑以下几个不同的层次： 大纲规定的要求； 本学科教学的要求； 章节或单元的教学要求，或某个知识系统、某种数学思想方法在整个学科教学中的 要求； 每堂课教学的具体要求。 它们的关系是前者决定后者，局部服从于整体并为整体服务；它们既有区别，不能 等同，又是相互紧密相连的。 既搞清了不同层次的教学要求，又承认学生之

22、间实际存在的差异，才能做到面向多 数，克服教学要求任意拔高，教学内容任意膨胀的做法，把握好教学分寸。 第三，在起始阶段的教学中，要注重经常的、细致的调查研究。 应当承认， 许多有经验的教师对学生学习中的困难和问题存比较正确的估计和了解。 但是，教学不可能是一成不变的，它要受时空、对象变化的影响。同时，应考虑到初中学生 身心发展的特点，他们的性格表现出越来越强的独立性，部分学生性格趋于内向，不轻易地 表露个人的想法（包括几何学习中的困难)。因此，在平面几何入门教学中，教师应通过课堂 教学、批改作业、个别谈话、书面调查等多种形式，深入了解并力求真正摸清学生学习中的 具体困难和问题，从而确立好教学的

23、基点，使入门教学更具针对性。 第四，要十分注意培养学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性(本书第三部分将详 细论述)。 第五，要用辩证法的思想观点处理好入门阶段教学内容多而集中的矛盾。突出重点， 有轻有重，有主有从，不要求全。 “在有利于继续学习的前提下，信息量愈少，需要记住的事实愈少就愈经济” ，这是 提高教学效率的重要原则。根据这个原则，入门教学中大量的知识不应该也不可能都作为重 点，只有切实抓好对平面几何教学有重大影响的那些知识的教学，才能使整个教学较为顺利， 取得好的效果。 第六，要在学生调整、改变学习方法和习惯的同时，改进教学方法，以帮助学生尽 快适应几何教学的要求。 要根据几何学科的

24、特点，按照学生的认识规律进行教学。比如，几何概念的形成往往要 经过直观形象、形象(图形)抽象、本质抽象这样几个阶段。这与代数概念的教学是不尽相同 的。因此，不能简单地搬用代数概念教学方法教几何概念。 在入门教学阶段要注重使用“渗透的教学方法” 。所谓“渗透”就是采用教者有意、学者 无心的办法，经过多次反复，日积月累，逐步使学生形成某种技能，粗浅地了解某种数学思 想方法，以求得“水到渠成”的效果。 此外，还可选择适当的教学内容，采用教师引导、学生探索并获取知识的方法进行 教学。这种教法不是由教师在课堂上抛出一个又一个结论，使学生应接不暇，来不及思考， 而是把教学作为一个过程，使学生在主动获取知识

25、的过程中，既学会了数学的思想方法，训 练了技能，发展了能力，又养成了思维的习惯，因为“数学知识，不仅是那个高度抽象的结 论，得出那个结论的过程同样是十分重要的” ， “在这个过程中，往往具体体现了数学的基本 方法和重要思路” 。 第七，要在注重基础知识的同时，十分注重技能的训练。 如前所述，入门教学具有“知识的本源性和技能、能力的突变性”这样的特点。数 学技能是发展数学能力的基础。我们不能脱离知识来发展学生的能力，也不能脱离技能的训 练来谈发展学生的能力。 因此，在平面几何入门教学中，应加强对学生进行识图、画图、作图、几何语言的 理解、表述和翻译，以及推理等技能的渗透性训练，应在通盘考虑平面几

26、何教学中技能训练 序列的基础上，有计划、有层次地把技能训练渗透在各个阶段的教学之中。 必须指出：这里的“训练” ，不能片面地理解为解题。一般地说，课堂教学中的训练应包 括以下几个方面： 基础知识(概念、定理)的简单应用； 各种基本技能的训练； 数学思想方法的渗透； 非智力的心理素质的训练； 为后续教学可能做好的各种准备等。 同时，这里的“训练”这个词语，还包含了根据教学对象的差异，在要求、方法和数量 等方面都可以有所不同的意思。 二二 重视非智力因素的作用，培养学生的学习兴趣重视非智力因素的作用，培养学生的学习兴趣 教育心理学认为： “学习”是一个含义极广的概念，学生在学校里， “不仅学习知识

27、， 而且也学习技能，形成良好的态度与习惯，还要改变不良的行为习惯” 。学习， “不仅指文化 知识的学习，也指思想品质和行为习惯的学习” 。教学实践也证明，知识、品质、行为习惯的 学习是相互影响、相互促进的。 在日常的教学活动中，往往狭义地把“学习”理解为知识、技能和能力的学习。即 使就这种意义的学习而言，它也是一种复杂的心理过程。在这种过程中的心理成分可分为两 类：一类是认知过程本身所涉及的，如感知、记忆、思维、想象等，即所谓智力因素；另一 类是与激发学习积极性有关的，如动机、兴趣、注意、意志、情感、态度等，即所谓非智力 因素。长期以来，我们在教学活动中往往偏重于研究智力因素，而不重视非智力因

28、素对教学 的影响和作用。事实上，只有不仅注重前者，而且同样注重后者，使学生生动活泼、主动地 学习，教学才能取得最优效果，在一门学科起始阶段的教学中则尤为如此。 在诸种非智力因素的心理成分中，兴趣是一种十分活泼的因素，它对其他各种心理 成分有着重大的影响。对此，古今中外著名的教育家、科学家有许多精辟的论述。我国古代 教育家孔子说： “知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者” 。宋朝程颐说： “教人未见其趣， 必不乐学” 。爱因斯坦说过： “热爱是最好的老师。赞可夫说： “对所学知识内容的兴趣可能成 为学习动机” 。苏联心理学博士彼得罗夫斯基指出： “对某种对象或活动具有兴趣，是决定注 意高度集中

29、之所以能持久的一系列条件之一” 。由此可见，注意培养学生的学习兴趣，就能激 发他们的学习热情，调动他们学习的积极性。做到乐好、好学、学会、会学。 应当看到，平面几何是一门趣味性较强的学科(至少在中学数学的各门学科中如此)。 但是，这里所说的“兴趣”主要是指平几教学进入推理阶段后，学生解出难题后得到自我激 励所产生的乐趣。因此，这种“兴趣”只是部分学生的兴趣。事实上，学习兴趣是可以培养 的。我们这里强调的是从平面几何教学一开始就要培养全体学生的学习兴趣。 但是，在平面几何起始阶段教学中，培养全体学生的学习兴趣有着一些不利的因素： 教学内容较为零碎，抽象的名词、概念多，学生往往感到枯燥乏味； 由“

30、数”到“形”引起的突变，学生常常不能适应； 部分学生有“几何难学”的畏难情绪，缺乏学好几何的自信心； 基础较差的学生往往意志薄弱，有自卑感，自制力也差。他们对几何学习或采取无所谓 的态度， 或由于对几何这门学科不了解而产生 “神秘感” ， 如引导不当也可能转化为畏难情绪。 当然，初二学生的好奇心强，对新事物容易发生兴趣(尽管这种兴趣并不稳定)；平 面几何作为一门新的学科，既可能在早期出现两极分化，同时它又给包括差生在内的全体学 生提供了同等的机会，即差生也可以赶上去，这些都是平面几何入门教学中培养学生学习兴 趣的有利条件。 那么，怎样在平面几何入门教学中培养学生的学习兴趣呢？ 学习兴趣的“第一

31、个源泉，第一颗火星”在于教师对要讲的材料和要分析的事实所 抱的态度和采取的办法。 几何开头的引言课介绍了体、面、线、点等概念名称，有些叙述 与学生熟悉的日常的生活经验相差甚远，如“体是由面围成的” ， “面没有厚薄” ， “面和面相 交于线” ， “线没有粗细” ， “点没有大小”等。因此，学生可能产生“ 几何这门课很玄 ， 生活中本来很清楚的事情在几何中反而糊涂了”这种想法。如果学生真的这样想，那对几 何教学是十分不利的。要使几何教学的“趣味性”从一开始就能体现出来，就应当把“引 言课”的教学设计得直观、有趣。 “引言课”的教学内容可作如下安排。 首先，简要介绍平面几何这门学科随着生产、生活

32、实际的需要而产生、发展的历史， 讲一些有趣的故事，特别要介绍我国古代在几何学上的光辉成就。如周髀算经中就写了 勾三股四弦五” ，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当精确的程度等，以激发学生的爱国主 义热情，激励学生为实现祖国四化而勤奋学习。 其次，要结合学生的实际，选编一些趣味性强、与几何知识又有一定联系的实际问 题，让学生解决，从中培养起学习几何的兴趣。这类问题大致有以下几类： 1折纸 比如让学生“把一张长方形的纸裁成一个正方形” 。然后，我们可以告诉学生，这样的动 作中包含了几何中的三个知识：(1)第一条折痕把长方形的一个直角分成一样大小的两部 分，这条拆痕是一条重要的线(即角的平分线)；(2

33、)第二条折痕实际上比较出了长方形的长比 宽长多少，这就是几何中将要学习的“比较两条线段大小”的方法；(3)把图 2 中的阴影 部分裁去，又可以看作在长方形的“长”上截取一条较短的线，使它的“长”与“宽”一样 长，这就是几何中的一种基本作图作一条线段使它等于已知线段。 这样讲解，学生便会感到，他们十分熟悉的简单的动作中就包含了不少几何知识， 几何这门学科并不难学。 又如，要求学生“从一张纸片上剪下一个等腰三角形” 。开始时，学生往往凭观察， 徒手剪下一个“等腰”三角形，这时可让学生量一量，是否真正“等腰” 。然后，引导学生先 把纸对折，再剪下一个直角三角形，最后把剪下的直角三角形摊平，就得到一个

34、真正的等腰 三角形。 这不仅可以让学生认识到单凭观察常常不精确，又可使学生体会等腰三角形这种图 形的特性，为后续有关内容的教学准备一点感性材料。 再如， “把两张长方形的纸片拼成一个凸字形，并使竖放的一张纸在横放的那张纸片 的正中间” 。学生解决此题，常有三种不同办法：(1)单凭眼睛观察，移动竖放的纸片使其居 中，这是不精确的；(2)在第一种办法的基础上，再用刻度尺量竖放的纸片两旁，并随时移动 调整位置，这种方法是准确的，但费时间，又需要有刻度尺；(3)把两张纸片分别沿横向和纵 向对折，然后把它们届展平叠合在一起，并使两条折痕对齐，显然这种方法既省时又精确。 最后可以向学生介绍， “折纸”在几

35、何中就是一种对称变换，也称为翻折变换。是研究几 何图形性质的一种重要方法。 2拼搭图形 比如， “用火柴棒搭一个等边三角形” ； “怎样用五根火柴棒搭两个等边三角形”(如 图 3(1)、(2)，其中出现“公共边”的直观形象)；然后， “搭六个这样的等边三角形，看 谁用的火柴棒最少” ，这时，搭成图 4(1)共用 13 根火柴棒；而搭成图 4(2)只需用 12 根火柴棒，这种更优的办法必将激起全体学生很大的兴趣。同时，图 4(2)表明的“正六 边形是由六个同样大小的等边三角形拼合而成的”这一点，又是几何中将要介绍的一个 重要性质。 再如，先让学生剪好两块同样大小的直角三角形，教师示范，把这两块直

36、角三角形 拼合成一个平行四边形，然后由学生自己动手采用不同的拼合方法，看看可以拼出些什么形 状的图形。学生将拼合出等腰三角形，长方形，另一种形状的平行四边形，以及一条对角线 垂直平分另一条对角线的四边形等图形。在这个过程中，学生不仅感知到各类图形的结构， 而且不知不觉地接触、了解了图形拼合的思想方法。 3观察、判断与思考 观察是人们感知事物的重要途径，但是由于生理上的原因，观察并不总是可靠的， 同时如前所述学生在小学“形体知识”学习中，又形成了仅仅依赖直观作出判断的习惯。因 此，我们应该设计一些会产生视错觉的图形， “诱使”学生作出错误的判断，进而帮助学生纠 正。 比如，让学生判断“图 5 中

37、的两条线段哪一条长一些” 。生理学研究表明：经过同样的距 离，视线“从上到下”观察停留的时间要比“从左到右”观察长一些，因而会产生竖着的线 段要“长”一些的错觉。当学生作出这种错误判断时，教师可以用圆规度量，验证两条线段 一样长。同时，向学生指明，今后学习几何这门学科，要学会观察认识图形，而观察的 结果有时是错误的，有待于验证和说理证明。因此，学好几何必须要学会说理、论证， 从而防止和克服小学“形体知识”教学对几何教学可能产生的负迁移影响。 如果学生由于其他原因(比如高年级同学事先告诉了他们图 5 中两条线段一样长)自 觉排除了视错觉，从而避免判断的错误时，则可以将图 5 中竖着的线段再稍为画

38、短一点，如 图 6，再让学生观察并判断。实践证明，几乎没有一个学生能仅仅凭观察得出“竖着的线段 较短”的正确结论，这样的效果甚至更佳。此时，学生对于“学习几何要注重说理”这样的 话才能心悦诚服，真正听得进去。 象这类容易产生视错觉的图形还有很多，比如图 7（1）中线段 AE 与 DE 实际 一样长，看起来长度不相等；图 7（2）两组图形的中间两个圆，被小圆所衬托的那个圆 似乎“大”一些。其实，这都是由于“背景” （如图 7(2)中周围的若干个较小或较大的圆) 对“对象” （图 7(2)的中间两个圆)产生了干扰而引起的。 “背景”与“对象”的关系在几 何教学中的应用，以后还将有所论述。 4.欣赏

39、图案 几何图案简明(由弧线和线段组成)、和谐、美观并被广泛地应用于生产和生活实际中。 教学中让学生欣赏一些漂亮的几何图案(图片和相片)，实地观察建筑物、印花布上的各种图 案，不仅可以对学生进行美学的教育，以图案美激发他们学习几何的兴趣，而且也有助于训 练学生的识图技能。 此外，可以用一张白纸和一张透明的纸分别画上简单的几何图形。然后把它们叠合 在一起，再通过平移（或旋转等）透明纸的方法组成各种花色的图案。还可以与初一、初二 年级的美术课结合起来，让学生画一些花边图案等。 课后，可要求学生自己设计一些漂亮的图案(如窗花)。他们在兴趣盎然的画图过程 中，不仅学习了作图工具的使用方法，而且不自觉地体

40、验了图形的位置关系，这些对平面几 何的教学都会产生良好的作用。 引言课的实践性、趣味性，成了激发学生学习兴趣的“第一颗火星” 。据 1982 年 10 月份的调查统计，92%的学生感到学习几何“有兴趣”或“很有兴趣” 。兴趣是入门的先导， 学生学习兴趣的提高将为平面几何的教学创造十分有利的条件。 当然，我们应当清醒地认识到：引言课激发出学生的这种兴趣主要是由于他们的好 奇心得到满足和所设计的问题有较强的趣味性而产生的，还处于较低级的阶段，也是不稳定 的，这就要求教师在后继的教学中“以知识本身的价值吸引学生，使学生感到认识事物的乐 趣” ，千方百计使学生的学习兴趣趋于稳定，并逐步转化为较高级的“

41、志趣” 。 从课本第一章起，教学中可以采用如下手段，进一步培养学生的学习兴趣。 1充分挖掘教材的实践性、趣味性，把教学内容与实际联系起来。 数学是抽象、严密的科学，因而它有着广泛的应用。数学又来源于生产、生活实践。 但是数学的抽象性、严密性往往掩盖了它的实践性和趣味性。因此，在中学数学(特别是初中 数学)教学中，要采用各种方法使数学“回到”学生熟悉的生活实际中去，这样便能使全体学 生(包括对数学学习态度冷漠的学生)兴致勃勃地学习、思考。 比如，讲授“点到直线的距离”这个起始阶段难教的重要概念时，可以测量跳远成 绩为实例作如下的说明：测量跳远成绩时，先把皮尺的始端放在落点处，再把皮尺拉直，皮 尺

42、与起跳线的交点就是垂足，皮尺上的读数就是跳远的成绩。这个实例可以抽象成为数学问 题：把起跳线看成条直线，沙坑里的落点即直线外一点，测量跳远成绩就是度量直线外一 点到直线的距离。这样，学生感到通俗易懂，生动有趣，从而能较好地掌握这个概念。 事实上，几何教学内容与实际有较为广泛的联系。比如，线段的概念可以用“两地间造 一条直路”形象地比喻；用“四地中每两地之间都要造一条直路，要造几条路”引导学生画 图、识图；用比较筷子长短的实例介绍“线段大小比较”的办法；以时针的转动、做广播操 的踢腿动作引出旋转所成角的概念；用练习本的横线描述平行线，用“田” 、 “中” 、 “喜”等 汉字来导入轴对称概念等。这

43、样教学可使学生体会到几何知识与日常生活有着紧密的联系， 并不玄。 在借助实例揭示知识的实践性、趣味性的同时，还要注重用知识本身的价值去吸引 学生。比如，为什么射击瞄准时，用手托住枪杆(此时枪杆与弯曲的手臂构成三角形)可以保 持稳定，而银行的铁门总是做成平行四边形才能开关？为什么车轮都是圆形的?又如，在公路 两侧有村庄 A,B， 怎样造一个汽车站 P， 使 PA+PB 最小?如何利用太阳照射的影子测量物体的 高度？怎样用长 90cm，宽 45cm 的矩形木板拼接成长 120cm，宽 30cm 的矩形木板，既要拼 接的次数少，又使拼成的木板美观牢固？等等。 2运用简易教具演示或实验，激发学生的学习

44、兴趣。 教具的直观形象，常常使学生感到生动有趣，同时又有助于他们理解、掌握有关的 知识。比如，用折纸的方法讲“线段的中点” 、 “角平分线” 、 “线段的垂直平分线” ，以及探求 等腰三角形的性质等。还可以利用教具演示图形的运动变化，处理如下的“一般特殊” 的关系：两线相交(斜交)两直线垂直；两条相交直线(借助第三条直线）两条平行直 线；平行四边形矩形或菱形正方形等等。 又如，讲授三角形按角分类时，可以先制作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 纸片各一张，然后任取其中一张，出示这张三角形纸片含锐角的那一部分，其余部分用别的 纸遮住，问学生能否判断这张纸片是什么三角形?(不能!因为有一个角是锐角

45、的三角形，可能 是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形。)如果出示含钝角(或直角)的那一部分， 那么能否判断呢?（能！因为有一个角是钝角或直角的三角形，可以断定它是钝角三角形或直 角三角形)这样辨析概念比单纯用“三个角都是锐角” 、 “有一个角是钝角(或直角)”等词语强 化概念，趣味性更强，效果也更好！ 3进行简单的图形变换。图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法，也是激发 学生学习兴趣的有效手段。因为通过变换不断地改变学生感知的图形，使主体(学生)的活动 在相当时间内没有变化，而客体(图形)却发生更迭。这样能使学生在集中注意的同时产生注 意的转移，而注意的转移可以防止疲劳的产生，从而

46、使学生表现出较高的学习兴趣和热情。 图形变换还有助于学生在克服困难之中发展学习兴趣。比如，用三角形内角和定理 的推论证明图 8(6)中的BPCA。当时由于学生没有系统进行论证训练，证明此题普 遍感到困难。为此，教学中可以用竹针、橡皮泥搭出图 8(1)，并变式成图 8(2)，再 添一根竹针成图 8(3)，指出这三个图形中都有2，对此学生不难掌握。然后，仿 照图 8(3)(其特征是在三角形内把一个顶点与对边上的一点连结起来） ，用较短的竹针搭 出图 8（4)；再把图 8(4)叠合到图 8(3)中，得图 8(5)，这时学生不难知道 ， A，最后从图 8（5）中抽去那根短竹针，便得图 8(6)，证明

47、BPCA 的方法也就不言而明。这样使学生在带有趣味的活动中不知不觉地突破了论证的 困难，又感知了图形叠合的方法。 不过这样的演示过程也有不足之处，即学生没有得到独立探究的训练。为弥补这一 点不妨让学生思考：还有什么别的方法也可以证明图 8(6)中的BPCA 呢?教师可给 予适当的提示：抓住如图 8(3)这类图形的特征，能否用另外的方法把图 8(6)中的 ABC 分成两个类似的图形。当学生想到连结 AP 并延长交 BC 于点 D(如图 8(7) 的方法 证明时，他们更能享受到自己取得成功的喜悦。并且这种新的证法又体现了图形拼合的思想 方法。 4引导学生自己探索、猜想并获取知识。在平面几何入门教学

48、阶段，尽管学生的知 识面较窄，技能和能力也正在逐步发展，但是仍然可以选择恰当的教学内容，采用创设问题 情境的办法，引导学生自己去获取知识。这种尝试的成功，将使学生增强学习的自信心，提 高学习的内部动机，也会使学习兴趣向高级的方向转化。 笔者曾作过如下的尝试。 在讲多边形的有关概念和性质时，先给出图 9，并指出：AC 是四边形 ABCD 的一 条对角线，AD 是五边形 ABCDE 的一条对角线，AD 是六边形 ABCDEF 的一条对角线。然 后要求学生观察图形，概括多边形对角线的特征后，由他们自己给出多边形对角线的定义。 一位学生说： “连结不相邻顶点的直线（应改为线段)叫多边形的对角线。 ”

49、我们认为：这种由学生自己从观察具体图形入手，经过概括并用较正确的语言表述定义 的过程，不仅使学生获取了知识，面且得到了相应技能的训练，它比学生直接阅读书本并背 诵定义的方法效果可能更好一些。 接着，这堂课上从四边形、五边形、六边形到 n 边形,由学生探索以下结论： 从同一顶点出发的对角线的条数； 多边形所有对角线的条数； 多边形内角和的度数； 多边形外角和的度数等。 当时，在探索多边形所有对角线条数的结论时，有一位学生说： “六边形有 8 条对角 线。其理由是： “四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，说明(不完全归纳)当多边形的 边数增加 1 时，对角线增加 3 条。所以五边形变为

50、六边形时，对角线共有 5+38 条。 ”我们 不妨仔细地分析一下这位学生的回答。尽管他的结论是错误的，但他的思维过程有可取之处， 即他已尝试用归纳的方法去探索结论。从这个例子也可以看出；研究教学不能仅注重结果， 同时也要注重“过程” 。 这堂课后，学生们说： “像这样上课，先由我们自己总结(得出)定义，让我们自己去 探索规律，然后再看课本，很有趣！而且(对所学知识的)印象深刻，全记在脑子里。 ”可见， 当学生克服了困难，完成了学习任务后，必然会产生精神上的满足感，从而激发出更高的学 习兴趣。 当然，这种探索、猜想并获取知识的难度不能过高，要接近学生能力的邻近区域； 也不要把它作为硬性的要求，以