（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册课件：6.2.3　组合　6.2.4　组合数.pptx

1、6.2.3 组合 6.2.4 组合数 课标阐释 思维脉络 1.理解并掌握组合、 组合数的概念, 掌握组合与排列之间的联系与区 别.(数学抽象) 2.熟练掌握组合数公式及组合数的 两个性质,并运用于计算之中.(数 学运算) 3.能够运用排列组合公式及计数原 理解决一些简单的应用问题,提高 学生的数学应用能力与分析问题、 解决问题的能力.(数学建模) 激趣诱思 知识点拨 某校开展冬季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2 号,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去 做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较 大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被

2、分配到同一组的选取 方法有多少种? 激趣诱思 知识点拨 一、组合的相关概念 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相 同的. 名师点析排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列问题是组合的是 . 在天津、济南、西安三个民航站之间的直达航线上,有多少种不 同的飞机票? 在中有多少种不同的飞机票价? 高中部11个班进行篮球单循环比赛

3、,需要进行多少场比赛? 从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个 职务,有多少种不同的选法? 答案: 激趣诱思 知识点拨 二、组合数与组合数公式 1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同 组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. n m 2.组合数公式:n m = n m m m = n(n-1)(n-2)(n-m+1) m! = n! m!(n-m)!,这里 n,mN *, 并且 mn. 另外,我们规定C 0=1. 激趣诱思 知识点拨 名师点析公式C = A A 常用于n为具体数的题目,多用于组合数的计 算;公式C = !

4、!(-)!常用于 n 为字母的题目,多用于解不等式或证 明恒等式. 激趣诱思 知识点拨 微思考 “组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别? 提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的 元素中取出m(mn)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的 一组对象;组合数是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所 有不同组合的个数”,它是一个数. 激趣诱思 知识点拨 微练习 若 =28,则n的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 C 2 解析:C 2 = (-1) 2 =28,n(n-1)=56. n2-n-56=0,解得 n=8 或 n=-7(舍). 答案:

5、B 激趣诱思 知识点拨 三、组合数的性质 性质 1:C = C - . 性质 2:C+1 = C + C -1. 微练习 计算:C20 18= ,C993 + C99 2 = . 解析:C20 18 = C20 2 = 2019 21 =190, C99 3 + C99 2 = C100 3 = 1009998 321 =161 700. 答案:190 161 700 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 组合概念的理解与应用组合概念的理解与应用 例1判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数 或组合数. (1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信? (2)10个人相互通一

6、次电话,一共通了多少次电话? (3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法? 思路分析:观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列 问题,还是组合问题. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为 A10 2 =90. (2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话, 没有顺序区别,组合数为C10 2 =45. (3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为 C10 3 =120. (4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一

7、科的课代表是有区别的,排列数 为A10 3 =720. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素 中取出m(mn)个不同的元素. 2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是 相同的组合. 3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排 列问题,与顺序无关的是组合问题. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1下列四个问题中,属于组合问题的是( ) A.从3个不同小球中,取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2

8、名幸运之星 D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人1张 解析:只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关,是组 合问题. 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 组合数公式组合数公式 例 2(1)计算:3C8 3-2C52 + C8 8;C10098 + C200 199. (2)求证:C +1 + C -1+2C = C+2 +1. 思路分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组 合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)解:3C8 3-2C52 + C8 8=3876 321-

9、2 54 21+1=149. C100 98 + C200 199 = C100 2 + C200 1 = 10099 21 +200=5 150. (2)证明左边= ! (+1)!(-1)! + ! (-1)!(-+1)! + 2 ! !(-)! = ! (+1)!(-+1)! (n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1) = ! (+1)!(-+1)!(n+2)(n+1) = (+2)! (+1)!(-+1)! =C+2 +1=右边. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.公式C = A A = (-1)(-2)(-+1) ! (m,nN*,且 m

10、n), 一般用于求值计算. 2.公式C = ! !(-)!(m,nN *,且 mn),一般用于化简证明.在具体 选择公式时,要根据题目特点正确选择. 3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质C = C - ,C+1 = C + C -1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2(1)求C3 38- + C21+ 3 的值. (2)证明:C = - C-1 . (1)解:由组合数的定义知, 0 38- 3, 0 3 21 + , 即 19 2 38, 0 21 2 . 19 2 n21 2 ,nN*,n=10. C3 38- + C21+ 3 =

11、 C30 28 + C31 30 =C30 2 + C31 1 = 3029 21 +31=466. (2)证明 - C-1 = - (-1)! !(-1-)!= ! !(-)! = C . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 常见的组合问题常见的组合问题 例3在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出 5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加. 思路分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分

12、别 对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至 少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)C12 5 =792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有 C9 2=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有 C9 5=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C3 1=3(种)选法,再从另外的 9 人中选 4 人有C94种选法.共有 C3 1C94=378(种

13、)不同的选法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (5)(方法一 直接法)可分为三类: 第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C3 1C94种选法; 第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C3 2C93种选法; 第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C3 3C92种选法. 所以,共有C3 1C94 + C3 2C93 + C3 3C92=666(种)不同的选法. (方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12 5 种,甲、乙、丙三人不 能参加的有C9 5种, 所以,共有C12 5 C9 5=666(种)不同的选法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究

14、 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多 少种不同的选法? 解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多 2 人参加,可分为三类: 第 1 类,甲、乙、丙都不参加,有C9 5种选法; 第 2 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C3 1C94种选法; 第 3 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C3 2C93种选法. 共有C9 5 + C3 1C94 + C3 2C93=756(种)不同的选法. (方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12 5 种,甲、乙、丙三人全 参加的有C9 2种选法,所以共有C125 C9 2=756(种)不同的选法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂

15、检测 反思感悟 组合问题的基本解法 (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合的相关知识进行求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3由13个人组成的课外活动小组,其中5个人只会跳舞,5个 人只会唱歌,3个人既会唱歌也会跳舞,若从中选出4个会跳舞和4个 会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:对 3 个既会唱歌又会跳舞的人进行分类: 第 1 类,若 3 人都不参加,共有C3 0C54C54=25(种); 第 2 类,若 3 人都跳舞或都唱歌,共有 2C3 3C51C54=50(种); 第 3 类,若

16、 3 人中有两人唱歌或跳舞,共有 2C3 2C52C54=300(种); 第 4 类,若 3 人中有一人唱歌或跳舞,共有 2C3 1C53C54=300(种); 第 5 类,若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共 有 2C3 2C11C52C53=600(种); 第 6 类,若 3 人中有一人唱歌,又有一人跳舞有C3 1C21C53C53=600(种). 由分类加法计数原理得不同选法共有 25+50+300+300+600+600=1 875(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数学思想数学思想正难则反的思想正难则反的思想 典例平面上有9个点,排成三行三列的方

17、阵,以其中任意3个点为顶 点,共可以组成 个三角形. 解析:正面考虑,需分类且容易出现遗漏或重复.从反面考虑9个点中 有3个点共线的情况的种数,问题则较易解决.9个点中有3个点共线 的情况,显然是三行、三列和两条对角线上的点,易知共8种,9个 点中任取 3 个点的组合数为C9 3,所以共可以组成C93-8=76(个)三角形. 答案:76 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 对于一些正面处理(解题方法中常称“直接法”)较复杂或 不易求解的问题,常常从问题的另一面去思考(解题方法中常称“间 接法”).这一解题方法在本章中是常用的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 跟踪

18、训练从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成 的角为60的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:(方法一 直接法)如图,在上底面中选B1D1,四 个侧面中的面对角线都与它成60,共8对,同样A1C1 对应的也有8对,下底面也有16对,这共有32对;左右 侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对. (方法二 间接法)正方体的12条面对角线中,任意两条垂直、平行 或成角为60,所以成角为60的共有 -12-6=48(对). 答案:C C12 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.从10个不同的数中

19、任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题 中,属于组合的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响, 所以属于组合的有2个. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.(2020 云南泸西第一中学高二月考)若A 2 =3C-1 2 ,则 n 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为A 2 =3C-1 2 , 所以 n(n-1)=3(-1)(-2) 2 ,解得 n=6.故选 C. 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.若集合A=a1,a2,a3,a4,a5,则集合A的子集中含有4

20、个元素的子集 共有 个. 解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其 子集个数为 =5. 答案:5 C5 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这 些点为顶点,可得多少个不同的三角形? 解:(方法一)我们把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准: 第 1 类,共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有C4 2 C8 1=48(个)不同的三角形; 第 2 类,共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有C4 1 C8 2=112(个)不同的三角形; 第 3 类,共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有C8 3=56(个)不 同的三角形. 由分类加法计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). (方法二 间接法)C12 3 C4 3=220-4=216(个).