2020~2021南京13中和如皋高三上学期数学期末教学质量调研及答案.docx

1、（南京（南京 13 中和如皋）中和如皋） 如皋如皋 2020-2021 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数学试题数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复 i 1i z （其中i为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】【答案】A 2.已知全集U R，集合lg(2)1Axx，集合 2 230Bx x

2、x ，则 U AB A.2,12 B.1,3 C.1,12 D.2,3 【答案】【答案】C 3.已知直线m平面，则直线l 平面是锤子数学直线lm的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】【答案】B 4.已知0, 2 ，2sin2cos21，则cos的值为 A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 【答案】【答案】D 5.如图， 在梯形ABCD中， 已知/ /ABCD，ABBD，M为AD的中点，MBBC， 22ADBD，则AB MC A.1 B. 5 2 C.3 D. 3 2 【答案】【答案】B 6.埃及金字塔之谜是人类史上最大

3、的谜， 它的锤子数学神奇远远超过了人类的想 象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857 2285714， 142857 3428571 ，142857 4571428，所以这组数字又叫“走马灯数”. 该组数字还有如下发现：142857999，428571999，285714999， ， 若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一 个三位数y，若999xy，则所有可能的有序实数组, x y的个数为 A.48 B.60 C.96 D.120 【答案】【答案】A 7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： 22 (1)4xy，若直线l：0 xym 上有

4、且只有一个点P满足： 过点P作圆C的两条切线PM，PN， 切点分别为M， N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为 A.1 B.2 2 C.3 D.7 【答案】【答案】C 解：解：PMCN为正方形，则22 2PCr 即0 xym有且仅有一个点到(1,0)C的锤子数学距离为2 2 1 2 2 2 m ，3m，选 C. 8.已知( )f x是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数 1 x， 2 x，都有 2112 21 0 x f xx f x xx ，记 3 3 0.2 0.2 f a ， (sin1) sin1 f b ， 1 ln 3 ln3 f c ，则a，b，c 的大小关系

5、为 A.abc B.bac C.cab D.cba 【答案】【答案】D 解：解： 12 211212 21 12 ( )() ( )() 00 11 f xf x x f xx f xxx xx xx 12 xx时， 12 11 xx ， 12 12 ( )()f xf x xx ( )f x y x 在(0,) ( )f x为奇函数，y为偶函数 3 0.20.008， 23 sin1, 22 ， 3 sin10.2 ba ， 11 lnln 33 1 ln3 ln 3 ff c y为偶函数， 1 ln (ln3)3 1 ln3 ln 3 f f c ln3 1sin1 ，cb ，cba ，选

6、 D. 二、 多项选择题： 本题共二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分分.在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有项选错得分，有项选错得 0 分分. 9.已知 1 2 n x x 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是 A.二项展开式中各项系数之和为 6 3 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 3 2 160 x C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为 3 90 x 【答案】【答案】AB 10.

7、如图，已知函数( )sin()0,0, 2 f xAxA 的图象锤子数学与x 轴交于点A，B，若7OBOA，图象的一个最高点 4 2 , 3 3 D ，则下列说法正确 的是 A. 4 B.( )f x的最小正周期为4 C.( )f x一个单调增区间为 2 4 , 3 3 D.( )f x图象的一个对称中心为 5 ,0 3 【答案】【答案】BCD 11. 设 函 数( )yf x定 义 域 为D， 若 存 在x，yD， 且xy， 使 得 2( )() 2 xy ff xf y ， 则称函数( )yf x是D上的 “S函数” ， 下列函数是 “S 函数”的是 A.2xy B.sin1yxx C.l

8、nyx D. 1 ,0 1,0 x yx x 【答案】【答案】BD 解：解： 2 2 222 x y xy 当且仅当xy时有解，A 不是“S函数” 2sin1sin1sin1 22 xyxy xxyy 则2sinsinsin 2 xy xy 有无数解，如,3xy或3 ,2021xy，B 可选 2lnlnlnln 2 xy xyxy 2 () 4 xy xy ，当且仅当xy时锤子数学有解，C 不选 1,3xy时，2( )( ) 2 xy ff xf y 3,2021xy时，2( )( ) 2 xy ff xf y ，D 可选 选 BD. 12.如图， 在边长为2的正方形ABCD中， 点M是边CD

9、的中点， 将ADM沿AM 翻折到PAM，连结PB，PC，在ADM翻折到PAM的过程中，下列说法 正确的是 A.四棱锥PABCM的体积的最大值为 2 5 5 B.当面PAM 平面ABCM时，二面角PABC的正切值为 5 4 C.存在某一翻折位置，使得AMPB D.棱PB的中点为N，则CN的锤子数学长为定值 【答案】【答案】ABD 解：解：D到AM的距离设为h， 1 11 1 25 22 h ， 1 2 5 h D到平面ABCM距离最大值为 2 5 1 (12)23 2 ABCM S max 122 5 3 355 D ABCM V ，A 正确 过D作DQAM，则 2 5 DQ ， 1 5 MQ

10、， 4 5 AQ 2 1645 42 24 555 BQ ，2BQ 平面PAM 平面ABCM，平面PAM平面ABCMAM PQ平面ABCM， 42 6 4 55 PB 过P作PEAB，垂足锤子数学为E 2 21 5 PE， 4 5 AE ， 6 5 BE 在CD上取一点F，使得 6 5 CF 2 5 FQ ， 2 6 5 PF 二面角PABC为PEF 8424 4 4 2525 cos 2 2121 22 5 PEF 5 sin 21 PEF， 5 tan 4 PEF，B 正确 若AMPB，PQAM，则AM 平面PQB AMQB，矛盾，C 错 连接EM，则ABEN 2 1 / ，ABMC 2

11、1 / MCEN / ，四边形MCNE为平行四边形 MECN 为定值（ME为定值） ，故 D 正确. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案直接填写在答题卡请把答案直接填写在答题卡 相应位置上相应位置上. 13.设( ) x f xax，若(3)6f，则不等式(21)( )fxf x的解集为_. 【答案】【答案】, 1 14.已知m，n均为正数，(1,)am，(2,1)bn，且/ /ab，则 1m mn 的最小值 为_. 【答案】【答案】4 15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab

12、 的右焦点为F， 过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A， 过点 F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B，若ABOB，则双曲线C的锤子 数学离心率为_. 【答案】【答案】 3 32 解：解：, bc A c a ， OA b k a ，则 BF b k a :() b BF yxc a () b yxc a b yx a 2 2 c x bc y a ，, 22 cbc B a ABOB，0AB OB 3 ,0 2222 cbccbc aa ， 222 2 3 0 44 cb c a 2 3 3 c a . 16.“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代

13、表，在全国范围内兴 起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物 满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的锤 子数学购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数， 则 (0)P X _，()E X _. 【答案】【答案】 9 2 ； 3 5 解：解： 3 3 62 (0) 27279 A P X 31 (3) 279 P X 122 (2)1 993 P X 2215 ()023 9393 E X . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内

14、作答.解答时应写解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 从ABC的面积2S ；ADCD这两个条件中任选一个，补充在下面的问 题中进行求解.如图， 在平面四边形ABCD中，2ABCD， 3 4 B， 对角线AC 平分BAD，且_，求线段AD的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：解：选，2S 12 222 2 22 SBCBC 2 842 2 2 22 5 2 AC 20482 5 coscos 52 2 5 2 BACCAD 2 2 5 2022 54 5 ADAD 2 8160ADAD，4AD. 18.

15、（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 1a ， 1 21 nn SS . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn bna，记数列 n b的前n项锤子数学和为 n T，是否存在正整数n，使 得2021 n T ？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由. 解解： （1）由 1 21 nn SS 知2n时， 1 21 nn SS 1 2(2) nn aa n 在式中令 1212 1212naaaa ， 2 1 2 a a 对任意 * nN，均有 1 2 n n a a ， n a为等比数列， 11 1 22 nn n a （2） 1 2n n bn 01

16、221 1 22 23 2(1) 22 nn n Tnn 1221 21 22 2(2) 2(1) 22 nnn n Tnnn 121 12222 nn n Tn 1 (12 ) 2212 12 n nnn nn ， (1) 21 n n Tn 令(1) 212021(1) 22020 nn nn 显然(1) 2nn关于n在1n 上， 2 (1) 2505 n n 当2n时，显然不成立；当3n时，左边为偶数，右边505为奇数 矛盾，舍去，故不存在. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AC，BD相交于点N， 2DNNB，已知3PAACAD，3 3BD，

17、30ADB. （1）求证：AC 平面PAD； （2）设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值. 解：解： （1）3AD ，3 3BD，30ADB 3 9272 3 3 33 2 AB ，120BAD 在ABD中 3 9122 3 2 33 2 AN ， 222 ANADDN 90DAN，ACAD，PA平面ABCD PAAC，PAADA，AC平面PAD （2）如图建立空间直角坐标系，(0,0,3)P，(0,0,0)A 3 33 ,0 22 B ，(0,3,0)D， 3 3 0, 2 2 M ，(3,0,0)C (0,0, 3)PA， 3 33 ,0 22 AB ， 3 3

18、0, 2 2 AM ，(3,0,0)AC 设平面PAB与平面MAC法向量分别为 1111 ( ,)nx y z， 2222 (,)nxy z， 二面角为 1 1 0 0 nPA nAB 1 11 30 3 33 0 22 z xy 1 1 1 1 3 0 x y z ， 1 (1, 3,0)n 222 2 2 33 00 22 0 30 nAMyz nAC x 2 (0,1, 1)n 36 cos 422 ， 10 sin 4 . 20.（本小题满分 12 分） 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为 奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前， “

19、日行万步”正 式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数， 得到如下表格： 日行步数 （单位：千步） 0,2 (2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (10,12 (12,14 人数 20 60 170 200 300 200 50 （1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进 行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40 岁有关； 日行步数8千 步 日行步数8千 步 总计 40岁以上 100 40岁以下（含40岁） 50 总计

20、200 （2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步 数超过8千的概率，每位居民日行步数是否超过8千相互独立.为了深入研究，该 研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能（即概率最 大）是多少位居民？ 附： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd . 解：解： （1）1000 人中，步数不超过 8 千步的有2060 170200450人，超过 8 千步有 550 人 按分层抽样， 抽取的人数中不超过

21、8 千步的有 90 人， 超过 8 千步的有 110 人， 列联表如下 日行步数8千日行步数8千总计 步 步 40 岁以上 40 60 100 40 岁以下（含 40 岁） 50 50 100 总计 90 110 200 2 2 200 (40 5050 60) 2.023.841 100 100 90 110 k 故没有 95%的把握认为日行步数与居民年龄超过 40 岁有关. （2）每行居民步数超过 8 千的概率为 55011 100020 设步数超过 8 千的最有可能是X位居民 20121 1 2020 20119 1 2020 119119231 2020202020 119119211

22、 2020202020 xxxx xx xxxx xx CCx CCx 211231 2020 x，x Z，11x 即最有可能是 11 位居民. 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 经过点(2,1)A，椭圆C在点A处的切线方程为 3yx . （1）求椭圆C的方程； （2）设过点(3,0)B且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 直线AM，AN分别与直线3x 分别交于P，Q， 记点P，Q的纵坐标分别为p， q，求pq的值. 解解： （1）由题意知椭圆C在(2,1)A处的切线方程为 22 2 1 xy ab 也为3yx ， 22 21

23、1 3ab 6 3 a b 椭圆C的方程为 22 1 63 xy . （2）直线l的方程为(3)yk x， 1122 ( ,),(,)M x yN xy 222 22 (3) 2(69)60 26 yk x xkxx xy 2222 (12)121860kxk xk 直线AM方程为： 1 1 1 (2)1 2 y yx x ，令 1 1 5(1) 31 2 y xp x 直线AN方程为 2 2 1 (2)1 2 y yx x ，令 2 2 5(1) 31 2 y xq x 12 12 11 52 22 yy pq xx 12 12 (3)1(3)1 52 22 k xk x xx 12 12

24、(2)1(2)1 52 22 k xkk xk xx 12 12 4 105(1)2 (2)(2) xx kk xx 2 2 22 22 12 4 12 105(1)212 18624 4 1212 k k kk kk kk . 22.（本小题满分 12 分） 已知函数( )e1 x f xx，0 x . （1） 若关于x的不等式 2 ( )e22 x xf xkxx对任意的0 x 恒成立， 求实数k的 取值范围； （2）设 2 2 ( ) ( ) f x g x x ，0 x . 求证：( )1g x ； 若数列 n a满足 1 3 0ln 2 a， 1 ln nn ag a ，求证： 1

25、e1 2 n a n . 解：解： （1） 2 (e1)e22 xx xxkxx ee2 xx xkx，ee2 xx kxx， 2 ex x kx 令 2 ( ) ex x h xx ， 2 ee (2)e1 ( )10 ee xxx xx xx h x ( )h x在(0,)，(0)2kh . （2） 2 2(e1) ( ) x x g x x 要证 2 2(e1) 1 x x x 证明： 2 e1 2 x x x 即证 2 e10 2 x x x 令 2 ( )e1 2 x x F xx，( )e1 x F xx，( )e10 x Fx ( )F x在(0,)上，( )(0)1F xF，(

26、 )F x在(0,)上， ( )(0)0F xF 可用数学归纳法证明.由知，0 x 时，( )1g x ，0 k a，()1 k g a 当1n 时， 1 1 311 e11 222 a ，显然成立 假设当nk时， 11 e10ln 1 22 k a k kk a 则当1nk时， 1 ln() e1e1() 1 kk ag a k g a . ( )g x在(0,)上（易证） 2 11 2 1ln 11 221 ()1ln 111 12 ln1 2 kk k k k g ag 2 11 2ln 1 22 1 1 ln1 2 kk k 下只需证 1 2 11 2ln 1 221 1 12 ln1 2 kk k k ，令 13 11 22 k mm 证明： 2 2 (1ln)1 1(1) ln2 mm m m 构造函数求导易证，故原命题得证！