2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 （含解析）.doc

1、直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据 给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法 (1)三种位置关系：相交、相切、相离 (2)两种判断方法： 2圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r 2 1(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r 2 2(r20) 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的 关系 代数法： 两圆方程联立组成方程 组的解的情况 外离 dr1r2

2、 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含 0d|r1r2|(r1r2) 无解 常用结论 1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切 线)所在的直线方程 2 直线与圆相交时， 弦心距 d， 半径 r， 弦长的一半1 2l 满足关系式 r 2d2 1 2l 2 . 3圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)

3、(y0b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程 为 x0 xy0yr2. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交 ( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的 直线方程 ( ) (4)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B， 则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2. ( ) 答案 (1) (2)

4、 (3) (4) 二、教材习题衍生 1若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，) C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， |a01| 1212 2，即|a1|2，解得3a1. 2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 B 两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d4212 17. 32d0，所以直线 l 与圆相交 法二：(几何法)圆心(0,1)到直线 l 的距离 d |m| m211r 或 dr 建立关于参数

5、的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点 个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解 如图，若圆上恰有一点到直线的距离为 t，则需满足 drt. 如图，若圆上恰有三点到直线的距离为 t，则需满足 drt. 图 图 由图可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为 t，则需满足 rtdr t. 若圆上恰有四点到直线的距离为 t，则需满足 drt. 跟进训练 1已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关 系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 B 因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线 ax by1

6、 的距离 d 1 a2b21，所以直线与圆相交 2若直线 l：xym 与曲线 C：y 1x2有且只有两个公共点，则 m 的取 值范围是 1， 2) 画出图象如图，当直线 l 经过点 A，B 时，m1，此时直线 l 与曲 线 y 1x2有两个公共点； 当直线 l 与曲线相切时， m 2， 因此当 1m5 2 ， 则|4a10| 5 2a0 或 a5(舍) 所以圆 C： x2y24. (2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由 x2y24 ykx1 得，(k21)x22k2

7、xk240， 所以 x1x2 2k2 k21，x1x2 k24 k21. 若 x 轴平分ANB，则 kANkBN y1 x1t y2 x2t0 kx11 x1t kx 21 x2t 0 2x1x2(t1)(x1x2)2t02k 24 k21 2k 2t1 k21 2t0t4， 所以当点 N 为(4,0)时，能使得ANMBNM 总成立 点评：本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x 轴平分ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kANkBN”，然后借助方程思想 求解 跟进训练 1由直线 yx1 上的动点 P 向圆 C：(x3)2y21 引切线，则切线长的最 小值为( ) A1

8、B2 2 C 7 D3 C 如图，切线长|PM| |PC|21，显然当|PC|为 C 到直线 yx1 的距离， 即31 2 2 2时，|PM|最小为 7，故选 C 2(2020 长春模拟)已知在圆 x2y24x2y0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最 短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( ) A3 5 B6 5 C4 15 D2 15 D 将圆的方程化为标准方程得(x2)2(y1)25，圆心坐标为 F(2，1)， 半径 r 5，如图，显然过点 E 的最长弦为过点 E 的直径，即|AC|2 5，而过点 E 的最短弦为垂直于 EF 的弦， |EF|212102 2， |BD

9、|2 r2|EF|22 3， S四边形ABCD1 2|AC|BD|2 15. 3已知圆 O：x2y22，直线 l：ykx2. (1)若直线 l 与圆 O 相切，求 k 的值； (2)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，当AOB 为锐角时，求 k 的取值范 围； (3)若 k1 2，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC，PD，切点为 C，D，探究：直线 CD 是否过定点 解 (1)圆 O：x2y22，直线 l：ykx2，直线 l 与圆 O 相切， 圆心 O(0,0)到直线 l 的距离等于半径 r 2， 即 d |2| k21 2， 解得 k 1. (2)设 A，

10、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线 l：ykx2 代入 x2y22，整理得(1k2)x24kx20， x1x2 4k 1k2，x1x2 2 1k2， (4k)28(1k2)0，即 k21， 当AOB 为锐角时， OA OB x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 62k 2 1k2 0， 解得 k23， 又 k21， 3k1 或 1k 3. 故 k 的取值范围为( 3，1)(1， 3 ) (3)由题意知 O，P，C，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上 设 P t，1 2t2 ，以 OP 为直径的圆的方程为 x(xt)y y1 2t2 0， x2txy2 1 2t2 y0， 又 C，D 在圆 O：x2y22 上， 两圆作差得 lCD：tx 1 2t2 y20，即 xy 2 t2y20， 由 xy 20， 2y20， 得 x1 2， y1， 直线 CD 过定点 1 2，1 .