2022届高考(统考版)数学理科一轮复习教学案:第8章 第5节 第2课时 直线与椭圆 (含解析).doc
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1、高考资源网() 您身边的高考专家 第第 2 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 考点一 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系判断的步骤 (1)联立直线方程与椭圆方程 (2)消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程 (3)当 0 时,直线与椭圆相交;当 0 时,直线与椭圆相切;当 0 时, 直线与椭圆相离 1若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点,则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm0 C0m5 且 m1 Dm1 且 m5 D 直线 ykx1 恒过定点(0,1), 要使直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点, 只需0 2 5 1 2 m1, 即 m1
2、, 又 m5, 故 m 的取值范围为 m1 且 m5,故选 D 2已知直线 l:y2xm,椭圆 C:x 2 4 y2 21.试问当 m 取何值时,直线 l 与 椭圆 C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立, 得方程组 y2xm, x2 4 y2 21, 高考资源网() 您身边的高考专家 将代入,整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)当 0,即3 2m3 2时,方程有两个不同的实数根,可知原方程 组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公
3、共点 (2)当 0,即 m 3 2时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两 组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点,即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 (3)当 0,即 m3 2或 m3 2时,方程没有实数根,可知原方程组没 有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 点评:(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方 程组成的方程组解的个数; (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或 椭圆上判定直线和椭圆有交点 考点二 弦长及中点弦问题 1.弦长问题 常 用 “ 根 与 系 数 的 关 系 ” 设 而 不 求 , 利 用 弦
4、 长 公 式 |AB| 1k2 x1x224x1x2 1 1 k2 y1y224y1y2,(A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线的斜率)计算弦 长 2中点弦问题 常用“点差法”,即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式 相减,式中含有 x1x2,y1y2, y1y2 x1x2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线 的斜率,借用中点公式即可求得斜率 弦长问题 典例 11 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ,F 是椭圆 C 的 一个焦点点 M(0,2),直线 MF 的斜率 6 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M 的直线 l
5、与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 N,且|AB| 高考资源网() 您身边的高考专家 |MN|,求 l 的方程 解 (1)由题意,可得 c a 3 2 , 2 c 6 3 , 解得 a2 2, c 6, 则 b2a2c22,故椭 圆 C 的方程为x 2 8 y2 21. (2)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|2 2,|MN|2,|AB|MN|,不合题意, 故直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 ykx2,联立 x2 8 y2 21, ykx2, 得(14k2)x216kx80. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 16k 14k2,x1x2 8 1
6、4k2, (16k)232(14k2)128k2320,即 k21 4. 设 N(x0,y0),则 x0 x 1x2 2 8k 14k2, 因为|AB|MN|,所以1k2|x1x2|1k2|x00|, 则 x1x224x1x2|x0|, 即 8k 14k2 4 2 4k 21 14k2 , 整理得 k21 2 1 4.故 k 2 2 ,所以直线 l 的方程为 y 2 2 x2. 点评:涉及弦长问题在求解时务必注意两点:一是所设直线方程其斜率是否 存在二是保证直线与椭圆相交,即消元后对应方程其判别式 0. 中点弦问题 典例 12 (1)已知直线 x 3y10 与椭圆 C: x2 a2 y2 b2
7、1(ab0)交于 A, B 两点,且线段 AB 中点为 M,若直线 OM(O 为坐标原点)的倾斜角为 150 ,则椭 圆 C 的离心率为( ) 高考资源网() 您身边的高考专家 A1 3 B 2 3 C 3 3 D 6 3 (2)若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线 y3x7 与椭圆相交所得弦 的中点的纵坐标为 1,则这个椭圆的方程为 (1)D (2)x 2 8 y2 121 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 M(x0,y0) x 2 1 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21, 两式相减可得x 1x2x1x2 a2 y 1y2y1y2
8、b2 0, 把 x1x22x0,y1y22y0,y 1y2 x1x2k 3 3 ,y0 x0tan 150 3 3 ,代入可得 3 3 b 2 a2 3 3 , 解得b 2 a2 1 3.e 1b 2 a2 6 3 .故选 D (2)法一:(直接法)椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),设椭圆方程为 y2 b24 x2 b21(b0),由 y2 b24 x2 b21, y3x7 消去 x, 得(10b24)y214(b24)y9b413b21960, 设直线 y3x7 与椭圆相交所得弦的端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知y 1y2 2 1, y1y214b 24 10
9、b24 2,解得 b28. 所求椭圆方程为x 2 8 y2 121. 法二: (点差法)椭圆的中心在原点, 一个焦点为(0,2), 设椭圆的方程为 y2 b24 x 2 b21(b0) 设直线 y3x7 与椭圆相交所得弦的端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 高考资源网() 您身边的高考专家 则 y21 b24 x21 b21, y22 b24 x22 b21, 得 y1y2y1y2 b24 x 1x2x1x2 b2 0, 即y 1y2 x1x2 y1y2 x1x2 b24 b2 , 又弦 AB 的中点的纵坐标为 1,故横坐标为2, ky 1y2 x1x23,代入上式得 3 21
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