2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第8章 第3节 圆的方程 （含解析）.doc

1、圆的方程圆的方程 考试要求 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心(a，b)，半径 r 一般方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心 D 2， E 2 ， 半径1 2 D2E24F 提醒：当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示一个点 D 2， E 2 ；当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 没有意义，不表 示任何图形 2点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(xa)2(y

2、b)2r2的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2. 常用结论 1圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线 2以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(y y2)0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径 ( ) (2)方程(xa)2(yb)2

3、t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆 ( ) (3)方程 x2y24mx2y0 不一定表示圆 ( ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x 2 0y 2 0Dx0Ey0F 0. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是( ) A(2,3)，3 B(2,3)， 3 C(2，3)，13 D(2，3)， 13 D 圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13. 2已知点 A(1，1)，B(1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是( ) Ax2

4、y22 Bx2y2 2 Cx2y21 Dx2y24 A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB| 1121122 2，所以圆的方程为 x2y22. 3 过点 A(1， 1)， B(1,1)， 且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 C 设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 xy20 上， 所以 b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所 以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 4在平面直角坐标

5、系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 x2y22x0 设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)， (1,1)， (2,0)， F0， 2DEF0， 42DF0， 解得 D2， E0， F0. 圆的方程为 x2y22x0. 考点一 圆的方程 求圆的方程的两种方法 1 若不同的四点 A(5,0)， B(1,0)， C(3,3)， D(a,3)共圆， 则 a 的值为 7 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，分别代入 A，B， C 三点坐标，得 255DF0， 1DF0， 993D3EF0， 解得 D4， E25 3 ， F5. 所以 A，B，C

6、三点确定的圆的方程为 x2y24x25 3 y50. 因为 D(a,3)也在此圆上，所以 a294a2550. 所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值为 7. 2(2020 包头青山区模拟)已知圆 C 过点 A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线 l：2x 7y80 上，则圆 C 的方程为 (x3)2(y2)213 法一：(几何法)kAB50 161， 则 AB 的垂直平分线方程为 y5 2x 7 2， 即 xy10， 联立方程 xy10， 2x7y80， 解得 x3， y2， r 632022 13， 故圆 C 的方程为(x3)2(y2)213. 法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(x

7、a)2(yb)2r2.由题意可得 6a20b2r2， 1a25b2r2， 2a7b80， 解得 a3， b2， r213， 故所求圆 C 的方程为(x3)2(y2)213. 3已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为 (x1)2(y1)22 法一：由圆 C 的圆心在直线 xy0 上，设圆 C 的 圆心为(a，a) 又圆 C 与直线 xy0 相切， 半径 r2|a| 2 2|a|. 又圆 C 在直线 xy30 上截得的弦长为 6， 圆心(a，a)到直线 xy30 的距离 d|2a3| 2 ， d2 6 2 2

8、r2，即2a3 2 2 3 22a 2， 解得 a1，圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 法二：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则圆心为 D 2， E 2 ，半径 r1 2 D2E24F， 圆心在直线 xy0 上， D 2 E 20，即 DE0， 又圆 C 与直线 xy0 相切， D 2 E 2 2 1 2 D2E24F， 即(DE)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. 又知圆心 D 2， E 2 到直线 xy30 的距离 d D 2 E 23 2 ， 由已知得 d2 6 2 2 r2， (DE6)2122(D2E24F)， 联立，解得 D2， E2， F0， 故所求

9、圆的方程为 x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. 4已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标 是 ，半径是 (2，4) 5 由已知方程表示圆，则 a2a2， 解得 a2 或 a1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆 点评：(1)几何法的关键是定圆心 (2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式 (3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求 解 (4)方程 Ax2By

10、2CxyDxEyF0 表示圆的充要条件为 AB0， C0， D2E24AF0. 考点二 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如 yb xa形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 (2)形如 taxby 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 (3)形如 m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平 方的最值问题 斜率型、截距型、距离型最值问题 典例 11 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 yx 的最大值和最小值； (3)求 x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23

11、，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k0| k21 3，解 得 k 3(如图) 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. 图 图 图 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时， 纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b| 2 3，解得 b2 6(如图) 所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2y2在原 点和圆心连线与圆的两个

12、交点处取得最大值和最小值(如图) 又圆心到原点的距离为 2020022， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)27 4 3. 点评： 与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义， 利用圆的几何性质数形结合求解 利用对称性求最值 典例 12 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点， 则|PM|PN|的最小值为( ) A5 24 B 171 C62 2 D 17 A P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最

13、小值为 |PC2|3(图略)，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2，3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5 2，即|PM|PN|PC1| |PC2|45 24. 点评：求解形如|PM|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最 值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离 (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通 过对称性解决 跟进训练 1(2018 全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则

14、ABP 面积的取值范围是( ) A2,6 B4,8 C 2，3 2 D2 2，3 2 A 圆心(2,0)到直线的距离 d|202| 2 2 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2,0)，B(0， 2)，所以|AB|2 2，所以ABP 的面积 S1 2|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2， 所以 S2,6，即ABP 面积的取值范围是2,6 2(2020 南宁模拟)一束光线从点 A(3,2)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x2)2 (y3)21 上的最短路径的长度是( ) A4 B5 C5 21 D2 61 C 根据题意，设 A与

15、 A 关于 x 轴对称，且 A(3,2)，则 A的坐标为(3， 2)，又由 AC25255 2，则 A到圆 C 上的点的最短距离为 5 21.故这束 光线从点 A(3,2)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x2)2(y3)21 上的最短路径的 长度是 5 21，故选 C 考点三 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解 (2)定义法：根据圆的定义列方程求解 (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系 式求解 典例 2 已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且

16、A(1,0)，B(3,0)求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解 (1)法一：(直接法)设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，所以 kAC kBC1， 又 kAC y x1，kBC y x3， 所以 y x1 y x31，化简得 x 2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 法二：(定义法)设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形 的性质知|CD|1 2|AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半 径的圆(由于

17、A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)(代入法)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中 点坐标公式得 xx 03 2 ，yy 00 2 ，所以 x02x3，y02y.由(1)知，点 C 的轨迹 方程为(x1)2y24(y0)，将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24，即 (x2)2y21.因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 点评：此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误 跟进训练 1古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线

18、论中给出了圆的另一种定 义： 平面内， 到两个定点 A， B 距离之比是常数 (0， 1)的点 M 的轨迹是圆 若 两定点 A，B 的距离为 3，动点 M 满足|MA|2|MB|，则点 M 的轨迹围成区域的面 积为( ) A B2 C3 D4 D 以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 B(3,0)设 M(x，y)，依题意有 x2y2 x32y22，化简整理得，x 2y28x120，即(x4)2 y24，则圆的面积为 4.故选 D 2点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 A 设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 中点为 M(x，y)，根据中点坐标公式得， x02x4， y02y2， 因为 Q(x0，y0)在圆 x2y24 上，所以 x 2 0y 2 04，即(2x4)2(2y 2)24，化为(x2)2(y1)21，故选 A