2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第7章 第5节 空间向量的运算及应用 （含解析）.doc

1、空间向量的运算及应用空间向量的运算及应用 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 1空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向 量) 表示

2、空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向 量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在 实数 ，使得 ab. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面 的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb. (3)空间向量基本定理： 如果三个向量 a， b， c 不共面， 那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一 个基底 3两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a b|

3、a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a) b(a b)； 交换律：a bb a； 分配律：a (bc)a ba c. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量表示 坐标表示 数量积 a b a1b1a2b2a3b3 共线 ab(b0，R) a1b1，a2b2，a3b3 垂直 a b0(a0，b0) a1b1a2b2a3b30 模 |a| a2 1a22a23 夹角 a，b(a0，b0) cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 5.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l

4、1，l2的方向向量分别为 n1，n2 l1l2 n1n2n1n2 l1l2 n1n2n1 n20 直线 l 的方向向量为 n， 平面 的法向量 为 m l nmn m0 l nmnm 平面 ， 的法向量分别为 n，m nmnm nmn m0 常用结论 1对空间任一点 O，若OP xOA yOB (xy1)，则 P，A，B 三点共线 2对空间任一点 O，若OP xOA yOB zOC (xyz1)，则 P，A，B，C 四点共面 3平面的法向量的确定：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法 向量，则求法向量的方程组为 n a0， n b0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“

5、”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面 ( ) (2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BC CD DA 0. ( ) (3)对于非零向量 b，由 a bb c，则 ac. ( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知平面 ， 的法向量分别为 n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则( ) A B C， 相交但不垂直 D以上均不对 C n1n2，且 n1 n2230， 相交但不垂直 2.在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若AB a，AD b，

6、AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是( ) A1 2a 1 2bc B1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D1 2a 1 2bc A BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB )c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 3O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 3 4OA 1 8OB tOC ， 若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t . 1 8 P，A，B，C 四点共面， 3 4 1 8t1，t 1 8. 4正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长 为 2 |EF |2EF2(EC CD DF )2 EC

7、2CD2DF22(EC CD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120 021cos 120 ) 2，所以|EF | 2，所以 EF 的长为 2. 考点一 空间向量的线性运算 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来 1.如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN ，若OG xOA yOB zOC ，则 x yz . 5 6 连接 O

8、N，设OA a，OB b，OC c， 则MN ON OM 1 2(OB OC )1 2OA 1 2b 1 2c 1 2a， OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2a 2 3 1 2b 1 2c 1 2a 1 6a 1 3b 1 3c. 又OG xOA yOB zOC ，所以 x1 6，y 1 3，z 1 3， 因此 xyz1 6 1 3 1 3 5 6. 2.如图所示，在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c， M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点， 试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)A 1N ；(3)MP NC

9、1 . 解 (1)因为 P 是 C1D1的中点， 所以AP AA 1 A1D1 D1P aAD 1 2D1C1 ac1 2AB ac1 2b. (2)因为 N 是 BC 的中点， 所以A1N A1A AB BN ab1 2BC ab1 2AD ab1 2c. (3)因为 M 是 AA1的中点， 所以MP MA AP 1 2A1A AP 1 2a ac1 2b 1 2a 1 2bc， 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca， 所以MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2c 3 2a 1 2b 3 2c. 点评：空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算

10、考点二 共线(共面)向量定理的应用 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 PA PB且同过点 P MP xMA yMB 对空间任一点 O，OP OA tAB 对空间任一点 O， OP OM xMA yMB 对空间任一点 O，OP xOA (1x)OB 对空间任一点 O，OP xOM yOA (1 xy)OB 典例 1 如图，已知 E，F，G，H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC， CD，DA 的中点 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)求证：BD平面 EFGH. 证明 (1)连接 BG，EG，则EG EB BG EB

11、 1 2( )BC BD EB BFEH EF EH . 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面 (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2(AD AB )1 2BD ， 所以 EHBD 又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH， 所以 BD平面 EFGH. 点评：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面， 只要能证明PA xPByPC ， 或对空间任一点O， 有OA OP xPB yPC ， 或OP xOA yOB zOC (xyz1)即可 跟进训练 1已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( )

12、 A2，1 2 B1 3， 1 2 C3,2 D2,2 A ab，设 bxa， x16， 210， 2x2， 解得 1 2， 2， 或 1 2， 3. 故选 A 2已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共 面，则实数 等于 65 7 a 与 b 不共线，故存在实数 x，y 使得 cxayb， 2xy7， x4y5， 3x2y， 解得 x33 7 ， y17 7 ， 65 7 . 故填65 7 . 考点三 空间向量数量积的应用 空间向量数量积的应用 典例 2 如图所示，四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长

13、都为 1，且两两夹角为 60 . (1)求 AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求 BD1与 AC 夹角的余弦值 解 (1)记AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， a bb cc a1 2. |AC 1|2(abc)2a2b2c22(a bb cc a)1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC1 | 6，即 AC1的长为 6. (2)证明：AC 1abc，BD ba， AC 1 BD (abc) (ba) a b|b|2b c|a|2a ba c b ca c|b|c|cos 60 |a|c|cos 60 0. AC 1BD ，AC

14、1BD (3)BD 1bca，AC ab， |BD 1| 2，|AC | 3， BD 1 AC (bca) (ab) b2a2a cb c1. cosBD 1，AC BD 1 AC |BD 1|AC | 6 6 . AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 . 点评：解决数量积的两条常用途径：一是数量积的定义，常借助基向量运算 求解；二是坐标法，常用于可好建系的几何体(如正方体、长方体等) 跟进训练 如图，已知直三棱柱 ABC- A1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA 90 ，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点 (1)求BN 的模； (2)求 cosBA1 ，CB

15、1 的值； (3)求证：A1BC1M. 解 (1)如图，以点 C 作为坐标原点 O，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 由题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以|BN | 102012102 3. (2)由题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 所以BA1 (1，1,2)，CB1 (0,1,2)， BA1 CB1 3，|BA1 | 6，|CB1 | 5， 所以 cosBA1 ，CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 . (3)证明：由题意得 C1(0,0,2)，M 1 2，

16、 1 2，2 ， A1B (1,1，2)， C1M 1 2， 1 2，0 ， 所以A1B C1M 1 2 1 200， 所以A1B C1M ， 即 A1BC1M. 考点四 利用向量证明平行与垂直 1.利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线 的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平 行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的

17、判 定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量 表示 典例 3 如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四 边形 ABCD 中，BC90 ，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30 角，求证： (1)CM平面 PAD； (2)平面 PAB平面 PAD 解 (1)证明：由题意知，CB，CD，CP 两两垂直，以 C 为坐标原点，CB 所 在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系 C- xyz. PC平面 ABCD， PBC 为 P

18、B 与平面 ABCD 所成的角， PBC30 . PC2，BC2 3，PB4， D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M 3 2 ，0，3 2 ， DP (0，1,2)，DA (2 3，3,0)， CM 3 2 ，0，3 2 . 设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量， 由 DP n0， DA n0， 即 y2z0， 2 3x3y0， 令 y2，得 n( 3，2,1) n CM 3 3 2 2013 20， nCM .又 CM平面 PAD， CM平面 PAD (2)法一：由(1)知BA (0,4,0)，PB(2 3，0，2)， 设平面 PAB

19、 的一个法向量为 m(x0，y0，z0)， 由 BA m0， PB m0， 即 4y00， 2 3x02z00， 令 x01，得 m(1,0， 3) 又平面 PAD 的一个法向量 n( 3，2,1)， m n1( 3)02 310， 平面 PAB平面 PAD 法二：取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2,1)，BE ( 3，2,1) PBAB，BEPA 又BE DA ( 3，2,1) (2 3，3,0)0， BE DA .BEDA 又 PADAA， BE平面 PAD 又BE平面 PAB， 平面 PAB平面 PAD 点评：利用向量法证明空间位置关系的关键是相应坐标元素的正确求解如

20、本例中的点 M 可借助PB 4PM 可得 跟进训练 如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长； 若不存在，说明理由 解 以 A 为原点，AB ，AD ，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系设 ABa. (1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E a 2，1，0 ，B1(a,0,1)， 故AD1 (0,1,1)，B1E a 2，1，1 . 因为B1E AD1 a

21、2011(1)10， 因此B1E AD1 ， 所以 B1EAD1. (2)存在满足要求的点 P， 假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP平面 B1AE，此时DP (0，1，z0)， 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n(x，y，z) AB1 (a,0,1)，AE a 2，1，0 . 因为 n平面 B1AE，所以 nAB1 ，nAE ， 得 axz0， ax 2 y0， 取 x1，则 ya 2，za， 则平面 B1AE 的一个法向量 n 1，a 2，a . 要使 DP平面 B1AE，只要 nDP ， 有a 2az00， 解得 z01 2. 所以存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP1 2.