2022届高考(统考版)数学理科一轮复习教学案:第7章 第4节 直线、平面垂直的判定及其性质 (含解析).doc
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1、直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题 1直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 垂 直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定 理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此 平面垂直 a,b abO la lb l 性质定 理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)平
2、面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面 所成的角 (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时, 规定直线和平面所成的角分 别为 90 和 0 . (3)范围: 0, 2 . 3二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 (3)范围:0, 4平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定 理 一个平
3、面过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直 l l 性质定 理 两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直 l a la l 常用结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直 (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面 一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (2)若
4、,aa. ( ) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线,则 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1下列命题中错误的是( ) A如果平面 平面 ,且直线 l平面 ,则直线 l平面 B如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ,平面 平面 ,l,那么 l A A 错误,l 与 可能平行或相交,其余选项均正确 2如图,正方形 SG1G2G3中,E,F 分别是 G1G2,G2G3的中点,
5、D 是 EF 的 中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3三点 重合,重合后的点记为 G,则在四面体 S- EFG 中必有( ) ASGEFG 所在平面 BSDEFG 所在平面 CGFSEF 所在平面 DGDSEF 所在平面 A 四面体 S- EFG 如图所示: 由 SGGE,SGGF. 且 GEGFG 得 SGEFG 所在的平面 故选 A 3.如图所示,已知 PA平面 ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数 为 4 PA平面 ABC, PAAB,PAAC,PABC, 则PAB,PAC 为直角三角形 由 BCAC,且 ACPAA, BC平面 PAC
6、, 从而 BCPC 因此ABC,PBC 也是直角三角形 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 判定线面垂直的四种方法 典例 1 (1)(2019 北京高考)已知 l,m 是平面 外的两条不同直线给出下 列三个论断: lm;m;l. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命 题: . (2)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD1 3DB, 点 C 为圆 O 上一点,且 BC 3AC,PD平面 ABC,PDDB 求证:PACD (1)或 (1)已知 l, m 是平面 外的两条不同直线, 由lm 与m,不能推出l,因为 l 可以与 平
7、行,也可以相交不垂直;由lm 与l能推出m; 由m与l可以推出lm.故正确的命题是 或. (2)证明 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 ACCB,在 RtACB 中,由 3AC BC,得ABC30 . 设 AD1,由 3ADDB,得 DB3,BC2 3,由余弦定理得 CD2DB2 BC22DB BCcos 30 3, 所以 CD2DB2BC2,即 CDAB 因为 PD平面 ABC,CD平面 ABC, 所以 PDCD,由 PDABD,得 CD平面 PAB,又 PA平面 PAB,所以 PACD 点评:通过本例(2)的训练我们发现:判定定理与性质定理的合理转化是证明 线面垂直的基本思想;另外,在解
8、题中要重视平面几何知识,特别是正余弦定理 及勾股定理的应用 跟进训练 如图所示,在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,ABACAA13,BC2,D 是 BC 的中点,F 是 CC1上一点当 CF2 时,证明:B1F平面 ADF. 证明 因为 ABAC,D 是 BC 的中点,所以 ADBC 在直三棱柱 ABC- A1B1C1中, 因为 BB1底面 ABC,AD底面 ABC, 所以 ADB1B 因为 BCB1BB,BC,B1B平面 B1BCC1, 所以 AD平面 B1BCC1. 因为 B1F平面 B1BCC1, 所以 ADB1F. 法一:在矩形 B1BCC1中, 因为 C1FCD1,B1C1CF2
9、, 所以 RtDCFRtFC1B1, 所以CFDC1B1F, 所以B1FD90 ,所以 B1FFD 因为 ADFDD,AD,FD平面 ADF, 所以 B1F平面 ADF. 法二:在 RtB1BD 中,BDCD1,BB13, 所以 B1D BD2BB21 10. 在 RtB1C1F 中,B1C12,C1F1, 所以 B1F B1C21C1F2 5. 在 RtDCF 中,CF2,CD1, 所以 DF CD2CF2 5. 显然 DF2B1F2B1D2, 所以B1FD90 .所以 B1FFD 因为 ADFDD,AD,FD平面 ADF, 所以 B1F平面 ADF. 考点二 面面垂直的判定与性质 证明面面
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