2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第3章 第4节 定积分与微积分基本定理 （含解析）.doc

1、定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 考试要求 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分 的概念. 2.了解微积分基本定理的含义 1定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间， 在每个小区间上任取一点 i(i1,2，n)，作和式， 当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b 上的定积分，记作 a bf(x)dx，即 a bf(x)dx 在 a bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区 间，函数 f(x)叫做被积函数

2、，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式 (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S a bf(x)dx S a bf(x)dx S a cf(x)dx c bf(x)dx S a bf(x)dx a bg(x)dx a bf(x) g(x)dx 2.定积分的性质 (1) a bkf(x)dxk a bf(x)dx(k 为常数)； (2) a bf1(x) f2(x)dx a bf1(x)dx a bf2(x)dx； (3) a bf(x)dx a cf(x)dx c bf(x)dx(其中 acb) 提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根 据定积分的性质(3

3、)进行计算 3微积分基本定理 一般地， 如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数， 且 F(x)f(x)， 那么 a bf(x)dx F(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数 为了方便，常把 F(b)F(a)记作 F(x)|ba， 即 a bf(x)dxF(x)|b aF(b)F(a) 常用结论 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则 a bf(x)dx a bf(t)dt. ( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积 ( ) (3)若 a bf(x)dx0，那么由 yf

4、(x)的图象，直线 xa，直线 xb 以及 x 轴所围 成的图形一定在 x 轴下方 ( ) 答案 (1) (2) (3) 二、教材习题衍生 1已知质点的速率 v10t，则从 t0 到 tt0质点所经过的路程是( ) A10t 2 0 B5t 2 0 C.10 3 t 2 0 D.5 3t 2 0 2 _. 1 _. 3 4 表示由直线 x0， x1， y0 以及曲线 y1x2所 围成的图形的面积，,1x2dx 4. 4.曲线 yx2与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_ 1 6 如图，阴影部分的面积即为所求 考点一 定积分的计算 计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦

5、函数、指数函数与常数的积的 和或差 (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分 (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数 (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和 1计算 1 2 x1 x dx 的值为( ) A.3 4 B.3 2ln 2 C.5 2ln 2 D3ln 2 2 3 点评：运用微积分基本定理求定积分时的四个关键点 (1)对被积函数要先化简，再求积分 (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段 积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分 (4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错 考

6、点二 定积分的几何意义 (1)根据题意画出图形 (2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限 (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 (4)计算定积分，写出答案 利用定积分的几何意义计算定积分 典例 11 (1)计算： 1 3 32xx2dx_. (2)若 x22xdx 4，则 m_. (1) (2)1 (1)由定积分的几何意义知， 1 3 32xx2dx 表示圆(x1)2y24 和 x1，x3，y0 围成的图形的面 积 1 3 32xx2dx1 44. (2)根据定积分的几何意义x22xdx 表示圆(x1)2y21 和直线 x 2，xm 和 y0 围成的图形的面积，又x2

7、2xdx 4为四分之一圆 的面积，结合图形知 m1. 点评：正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键 求平面图形的面积 典例 12 由曲线 xy1， 直线 yx， y3 所围成的封闭平面图形的面积为 _ 4ln 3 由 xy1，y3，,可得 A 1 3，3 . 由 xy1，yx，可得 B(1,1)， 由 yx，y3，得 C(3,3)， 由曲线 xy1，直线 yx，y3 所围成图形的面积为 逆向问题 已知曲线 yx2与直线 ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为4 3，则 k _. 2 由 yx2， ykx， 得 x0， y0 或 xk， yk2， 则曲线 yx2与直线 ykx(k0)

8、所围成的曲边梯形的面积为 点评：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函 数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论 跟进训练 曲线 yx2，y x与 x 轴所围成的面积为_ 7 6 如图所示，由 y x及 yx2 可得交点横坐标为 x1.由定积分的几 何意义可知，由 yx，yx2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 考点三 定积分在物理中的应用 定积分在物理中的两个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)， 那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s (2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 运

9、动 到 xb 时，力 F(x)所做的功是 W 典例 2 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 25 1t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行 驶的距离(单位：m)是( ) A125ln 5 B825ln11 3 C425ln 5 D450ln 2 (2)一物体在变力 F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30 方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，F(x)做的功为( ) A. 3 J B.2 3 3 J C.4 3 3 J D2 3 J (1)C (2)C (1)由 v(t)73t 2

10、5 1t0， 可得 t4 t8 3舍去 ，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s， 在此期间行驶的距离为 (2) 变 力 F 在 位 移 方 向 上 的 分 力 为 Fcos 30， 故 F(x) 做 的 功 为 点评：(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算 (2)如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 vv(t)(v(t)0)， 那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s 跟进训练 物体 A 以速度 v3t21(t 的单位：s，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此 直线上与物体 A 出发的同时， 物体 B 在物体 A 的正前方 5 m 处以 v10t(t 的单位： s，v 的单位：m/s)的速度与 A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体 A 的出 发地的距离是_m 130 设 A 追上 B 时，所用的时间为 t0，