2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第2章 第9节 函数与方程 （含解析）.doc

1、函数与方程函数与方程 考试要求 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性与根的个数 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf (x)(xD)，把使 f (x)0 的实数 x 叫做函数 yf (x)(xD)的零 点 (2)三个等价关系 方程 f (x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点函数 yf (x)有 零点 提醒：函数的零点不是函数 yf (x)的图象与 x 轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数 2函数的零点存在性定理 如果函数 yf (x)在区间a， b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有

2、 f (a) f (b)0，那么，函数 yf (x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f (c) 0，这个 c 也就是方程 f (x)0 的根 提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不 能判断函数的不变号零点 3二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数 yax2 bx(a0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 4.二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 f (a)f (b)0 的函数 yf (x)，通过不断地把 函数 f (x)的零点所在的区间一分为二

3、，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若 yf (x)在闭区间a，b上的图象连续不断，且有 f (a) f (b)0，则函数 y f (x)一定有零点 (2)f (a) f (b)0 是 yf (x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件 (3)若函数 f (x)在a，b上是单调函数，且 f (x)的图象连续不断，则 f (a) f (b)0 函数 f (x)在区间a，b上只有一个零点 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点 ( ) (2)函数 yf (x)在区间(a

4、，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f (a) f (b)0. ( ) (3)若函数 f (x)在(a，b)上单调且 f (a) f (b)0，则函数 f (x)在a，b上有且 只有一个零点 ( ) (4)二次函数 yax2bxc 在 b24ac0 时没有零点 ( ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材习题衍生 1已知函数 yf (x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 74 24.5 36.7 123.6 则函数 yf (x)在区间1,6上的零

5、点至少有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 B f (2) f (3)0，f (3) f (4)0，f (4) f (5)0，故函数 f (x)在区间1,6 内至少有 3 个零点 2函数 f (x)ln x2x6 的零点所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) C 由题意得 f (1)ln 12640， f (2)ln 246ln 220， f (3)ln 366ln 30， f (4)ln 486ln 420， f (x)的零点所在的区间为(2,3) 3函数 f (x)ex3x 的零点个数是_ 1 函数 f (x)ex3x 在 R 上是增函数，且

6、 f (1)1 e30，f (0)10， f (1) f (0)0，因此函数 f (x)有唯一零点 4若函数 f (x)x24xa 存在两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 _ (，4) 由题意知 164a0，解得 a4. 考点一 判定函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的方法 1设函数 f (x)1 3xln x，则函数 yf (x)( ) A在区间 1 e，1 ，(1，e)上均有零点 B在区间 1 e，1 ，(1，e)上均无零点 C在区间 1 e，1 上有零点，在区间(1，e)上无零点 D在区间 1 e，1 上无零点，在区间(1，e)上有零点 D 当 x 1 e，e 时，函数图象是连

7、续的，且 f (x) 1 3 1 x x3 3x 0，所以 f (x) 在区间 1 e，e 上单调递减，又 f 1 e 1 3e10， f (1)1 30，f (e) e 310，所以函数 f (x)在区间(1，e)上有唯一零点，故 选 D 2若 x0是方程 1 2 x x 1 3的解，则 x 0属于区间( ) A 2 3，1 B 1 2， 2 3 C 1 3， 1 2 D 0，1 3 C 令 f (x) 1 2 x x 1 3，则 x 0是函数 f (x)的零点，函数 f (x)在 R 上图象是连 续的， 且 f (0)10，f 1 3 1 2 1 3 1 3 1 30， f 1 2 1 2

8、 1 2 1 2 1 30，f 1 3 f 1 2 0， 因此 x0 1 3， 1 2 ，故选 C 3若 abc，则函数 f (x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个 零点分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 A abc，f (a)(ab)(ac)0，f (b)(bc)(ba)0，f (c)(c a)(cb)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点； 又函数 f (x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数 f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(

9、b，c)内，故选 A 4(2020 天津模拟)设函数 f (x)ex 14x4，g(x)ln x1 x，若 f (x1)g(x2) 0，则( ) A0g(x1)f (x2) Bg(x1)0f (x2) Cf (x2)0g(x1) Df (x2)g(x1)0 B 函数 f (x)是 R 上的增函数，g(x)是(0，)上的增函数，f (0)e 14 0，f (1)5410，又 f (x1)0， 0 x11， g(1)10，g(2)ln 21 20，又 g(x2)0， 1x22， f (x2)f (1)0，g(x1)g(1)0， g(x1)0f (x2)，故选 B 点评：由 f (a) f (b)0

10、，并不能说明函数 f (x)在区间(a，b)上没有零点，若 f (x) 在(a，b)上是单调函数，则 f (x)在(a，b)上无零点 考点二 确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法 典例 1 (1)(2019 全国卷)函数 f (x)2sin xsin 2x 在0,2的零点个数为 ( ) A2 B3 C4 D5 (2)函数 f (x) ln xx22x，x0， 2x1，x0 的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 (3)设函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f (x)exx3，则 f (x) 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 (1)B (2)D (3)C

11、(1)由 f (x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x (1 cos x)0 得 sin x0 或 cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0， 2，即零点有 3 个，故选 B (2)依题意，在考虑 x0 时可以画出函数 yln x 与 yx22x 的图象(如图)， 可知两个函数的图象有两个交点，当 x0 时，函数 f (x)2x1 与 x 轴只有一个 交点，综上，函数 f (x)有 3 个零点故选 D (3)因为函数 f (x)是定义域为 R 的奇函数， 所以 f (0)0，即 x0 是函数 f (x)的 1 个零点 当 x0 时，令 f (x)exx30

12、，则 exx3，分别画出函数 yex和 y x3 的图象， 如图所示， 两函数图象有 1 个交点， 所以函数 f (x)有 1 个零点 根据对称性知，当 x0 时，函数 f (x)也有 1 个零点综上所述，f (x)的零 点个数为 3. 点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象在画函 数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义 域的限制 跟进训练 1函数 f (x)2x|log0.5x|1 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 B 令 f (x)2x|log0.5x|10， 可得|log0.5x| 1 2 x . 设 g(x)|log0.5x

13、|，h(x) 1 2 x . 在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定 有 2 个交点，因此函数 f (x)有 2 个零点故选 B 2若定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x2)f (x)，且当 x0,1时，f (x) x，则函数 yf (x)log3|x|的零点的个数是( ) A0 B2 C4 D6 C 画出函数 yf (x)和 ylog3|x|的部分图象如图所示 由图知， 函数 yf (x) log3|x|的零点的个数为 4. 考点三 求与零点有关的参数问题 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法 根据函数零点的个数求参数的取

14、值范围 典例 21 (2018 全国卷)已知函数 f (x) ex，x0， ln x，x0， g(x)f (x)x a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0，) C1，) D1，) C 函数 g(x)f (x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f (x)xa 有 2 个不同的实根，即函数 f (x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线 y xa 与函数 f (x)的图象，如图所示， 由图可知，a1，解得 a1，故选 C 点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的 交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能

15、够帮助我们直观解题 根据函数有零点求参数的取值范围 典例 22 (1)函数 f (x)x2ax1 在区间 1 2，3 上有零点，则实数 a 的取 值范围是( ) A(2，) B2，) C 2，5 2 D 2，10 3 (2)已知函数 f (x) 2x1，x1， x1，x1， 则函数 F(x)f (x)a2a1(aR)总有 零点时，实数 a 的取值范围是( ) A(，0)(1，) B1,2) C1,0)(1,2 D0,1 (1)D (2)A (1)由题意知方程axx21在 1 2，3 上有解， 即ax 1 x在 1 2，3 上有解，设 tx1 x，x 1 2，3 ，则 t 的取值范围是 2，10

16、 3 ，所以实数 a 的取值范 围是 2，10 3 . (2)由 F(x)0，得 f (x)a2a1.函数 f (x)的值域为(1，)， a2a11，解得 a0 或 a1.故选 A 点评：函数 f (x)有零点f (x)0 有解，此时可分离参数，化为 ag(x)的形 式，则 a 的取值范围就是 g(x)的值域 跟进训练 1已知函数 f (x) 2xa，x0 2x1，x0 (aR)，若函数 f (x)在 R 上有两个零点， 则 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1 C1,0) D(0,1 D 当 x0 时，由 2x10 得 x1 2，即 x 1 2是函数 f (x)的一个零点，故方 程

17、2xa0 在(， 0上有一个解 即 a2x在(， 0上有一个解， 又当 x( ，0时 02x1，则 0a1，故选 D 2若函数 f (x)4x2xa，x1,1有零点，则实数 a 的取值范围是 _ 1 4，2 函数 f (x)4 x2xa，x1,1有零点，方程 4x2xa0 在1,1上有解，即方程 a4x2x在1,1上有解 令 y4x2x 2x1 2 2 1 4. x1,1，2x 1 2，2 ， 2x1 2 2 1 4 1 4，2 . 实数 a 的取值范围是 1 4，2 . 核心素养 3 用数学眼光观察世界解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点， 主要涉及判断函数零点的个数或范围， 常

18、考查 三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇对于嵌套函数的 零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数 的图象、性质求解. 嵌套函数零点个数的判断 素养案例1 已知函数 f (x) 2x2 2 ，x1， |log2x1|，x1， 则函数 F(x)f (f (x) 2f (x)3 2的零点个数是( ) A4 B5 C6 D7 A 令 f (x)t，则函数 F(x)可化为 yf (t)2t3 2，则函数 F(x)的零点问题 可转化为方程 f (t)2t3 20 的根的问题 令 yf (t)2t3 20，则 f (t)2t 3 2. 分别作出 yf (t)

19、和 y2t3 2的图象，如图，由图象可得有两个交点，横坐 标设为 t1，t2(不妨设 t1t2)，则 t10,1t22； 由图，结合图象，当 f (x)0 时，有一解，即 x2； 当 f (x)t2时，结合图象，有 3 个解 所以 yf f (x)2f (x)3 2共有 4 个零点 图 图 评析 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为 tg(x)与 yf (t)的零点(2)依次解方程，令 f (t)0， 求 t，代入 tg(x)求出 x 的值或判断图象交点个数 2抓住两点：(1)转化换元(2)充分利用函数的图象与性质 素养培优 已知 f (x) |lg x|，x0， 2|x

20、|，x0， 则函数 y2f (x)23f (x)1 的零点个数是 _ 5 由 2f (x)23f (x)10，得 f (x)1 2或 f (x)1， 作出函数 yf (x)的图象如图所示 由图象知 y1 2与 yf (x)的图象有 2 个交点，y1 与 yf (x)的图象有 3 个交 点 因此函数 y2f (x)23f (x)1 的零点有 5 个 已知嵌套函数的零点个数求参数 素养案例2 函数 f (x) lnx1，x1， 2x1，x1， 若函数 g(x)f (f (x)a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ 1，) 设 tf (x)，令 f (f (x)a0，则 af (t)在同一

21、坐标系内 作 ya，yf (t)的图象(如图)当 a1 时，ya 与 yf (t)的图象有两个交点 设交点的横坐标为 t1，t2(不妨设 t2t1)，则 t11，t21. 当 t11 时，t1f (x)有一解；当 t21 时，t2f (x)有两解综上，当 a 1 时，函数 g(x)f (f (x)a 有三个不同的零点 评析 (1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由 ya 与 yf (t)的图象，确 定 t1，t2的取值范围，进而由 tf (x)的图象确定零点的个数 (2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置， 动静结合 素养培优 设定义域为 R 的函数 f (x)

22、|lg x|，x0， x22x，x0， 若关于 x 的方程 2f 2(x)2bf (x)10 有 8 个不同的实数根，则 b 的取值范围是_ 1.5b 2 根据题意作出 f (x)的简图： 由图象可得当 f (x)(0,1)时，有四个不同的 x 与 f (x)对应再结合题中“方 程 2f 2(x)2bf (x)10 有 8 个不同实数解”，可以分解为形如关于 K 的方程 2K2 2bK10 有两个不同的实数根 K1，K2，且 K1和 K2均为大于 0 且小于 1 的实 数 列式如下： 4b280， 0K1K22， K1 K20， K11K210， 即 b22， 0b2， b3 2， 可得1.5b 2.