2022届高考(统考版)数学理科一轮复习教学案:第3章 第3节 利用导数解决函数的极值、最值 (含解析).doc
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1、利用导数解决函数的极值、最值利用导数解决函数的极值、最值 考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数的极值与导数 条件 f (x0)0 x0附近的左侧 f (x)0,右侧 f (x) 0 x0附近的左侧 f (x)0,右侧 f (x) 0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 提醒: (1)函数 f (x)在 x0处有极值的必要不充分条件是 f (x0)0
2、, 极值点是 f (x) 0 的根,但 f (x)0 的根不都是极值点(例如 f (x)x3,f (0)0,但 x0 不是 极值点) (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质极 值点是函数在区间内部的点,不会是端点 2函数的最值与导数 (1)函数 f (x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数 yf (x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有 最大值和最小值 (2)求 yf (x)在a,b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf (x)在(a,b)内的极值; 将函数 yf (x)的各极值与端点处的函数值 f (a),f (b)比较,其中最大的一 个是最大值,最
3、小的一个是最小值 常用结论 1若函数 f (x)的图象连续不断,则 f (x)在a,b上一定有最值 2若函数 f (x)在a,b上是单调函数,则 f (x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数 的最值点 一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (2)对可导函数 f (x),f (x0)0 是 x0点为极值点的充要条件 ( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值 ( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1.函
4、数 f (x)的定义域为 R,导函数 f (x)的图象如图所示,则函数 f (x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 C 设 f (x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1,x2,x3,x4. 当 xx1时,f (x)0,f (x)为增函数, 当 x1xx2时,f (x)0,f (x)为减函数,则 xx1为极大值点,同理,x x3为极大值点,xx2,xx4为极小值点,故选 C 2设函数 f (x)2 xln x,则( ) Ax1 2为 f (x)的极大值点 Bx1 2为 f (x)的极
5、小值点 Cx2 为 f (x)的极大值点 Dx2 为 f (x)的极小值点 D f (x) 2 x2 1 x x2 x2 (x0), 当 0 x2 时,f (x)0,当 x2 时,f (x)0, 所以 x2 为 f (x)的极小值点 3函数 f (x)ln xx 在区间(0,e上的最大值为_ 1 f (x)1 x1,令 f (x)0 得 x1. 当 x(0,1)时,f (x)0;当 x(1,e时,f (x)0. 当 x1 时,f (x)取得最大值,且 f (x)maxf (1)ln 111. 4函数 f (x)x312x 的极小值为_,极大值为_ 16 16 f (x)3x212,令 f (x
6、)0,即 3x2120 解得 x 2,当 x2 时,f (x)0,当2x2 时,f (x)0,当 x2 时, f (x)0, 因此 x2 是极大值点,x2 是极小值点,f (x)极大f (2)(2)312( 2)16,f (x)极小f (2)2312216. 考点一 利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 根据函数图象求值问题 典例 11 函数 f (x)x3bx2cxd 的大致图象如图所示,则 x 2 1x 2 2等于 ( ) A8 9 B 10 9 C16 9 D28 9 C 因为函数 f (x)的图象过原点,所以 d0.又 f (1)0 且 f (2)0,即1 b
7、c0 且 84b2c0,解得 b1,c2,所以函数 f (x)x3x22x, 所以 f (x)3x22x2.由题意知 x1,x2是函数 f (x)的极值点,所以 x1,x2是 f (x) 0 的两个根, 所以 x1x22 3, x1x2 2 3, 所以 x 2 1x 2 2(x1x2)22x1x24 9 4 3 16 9 , 故选 C 点评:可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点 还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号 求已知函数的极值 典例 12 已知函数 f (x)(x2)(exax),当 a0 时,讨论 f (x)的极值情 况 解 f (x)(exax)(x2
8、)(exa) (x1)(ex2a), 由 f (x)0 得 x1 或 xln 2a(a0) 当 ae 2时,f (x)(x1)(e xe)0, f (x)在 R 上单调递增,故 f (x)无极值 当 0ae 2时,ln 2a1,当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表: x (,ln 2a) ln 2a (ln 2a,1) 1 (1,) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 故 f (x)有极大值 f (ln 2a)a(ln 2a2)2,极小值 f (1)ae. 当 ae 2时,ln 2a1,当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表: x (,1) 1 (
9、1,ln 2a) ln 2a (ln 2a,) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 故 f (x)有极大值 f (1)ae, 极小值 f (ln 2a)a(ln 2a2)2. 综上,当 0ae 2时,f (x)有极大值a(ln 2a2) 2,极小值 ae; 当 ae 2时,f (x)无极值; 当 ae 2时,f (x)有极大值 ae,极小值a(ln 2a2) 2. 点评:求极值时,要注意 f (x)0 的根是否在定义域内 已知函数极值求参数的值或范围 典例 13 (1)已知 f (x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0,则 ab _. (2)设函数 f (x)ax2(3a1
10、)x3a2ex.若 f (x)在 x1 处取得极小值,求 a 的取值范围 (1)7 由题意得 f (x)3x26axb,则 a23ab10, b6a30, 解得 a1, b3, 或 a2, b9, 经检验当 a1,b3 时,函数 f (x)在 x1 处无法取得极值, 而 a2,b9 满足题意, 故 ab7. (2)解 由 f (x)ax2(3a1)x3a2ex,得 f (x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex. 若 a1,则当 x 1 a,1 时,f (x)0; 当 x(1,)时,f (x)0. 所以 f (x)在 x1 处取得极小值 若 a1,则当 x(0,1)时,ax1x10,
11、 所以 f (x)0. 所以 1 不是 f (x)的极小值点 综上可知,a 的取值范围是(1,) 点评:已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数 法求解 (2)验证:因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件,所以利 用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟进训练 1已知函数 f (x)x(xc)2在 x2 处有极小值,则实数 c 的值为( ) A6 B2 C2 或 6 D0 B 由 f (2)0 可得 c2 或 6.当 c2 时,结合图象(图略)可知函数先增后减 再增,在 x2 处取得极小值;当 c6 时,结
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