2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第2章 第10节 函数模型及其应用 （含解析）.doc

1、函数模型及其应用函数模型及其应用 考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中 普遍使用的函数模型)的广泛应用 1常见的 7 种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x)kx(k 为常数，k0)； (2)反比例函数模型：f (x)k x(k 为常数，k0)； (3)一次函数模型：f (x)kxb(k，b 为常数，k0)； (4)二次函数模型：f (x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)； (5)指数函数模型：f (x)abxc(a，b

2、，c 为常数，a0，b0，b1)； (6)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a 为常数，m0，a0，a1)； (7)幂函数模型：f (x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n1) 提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后 快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其 增长量越来越小 2三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上的增 减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大，逐渐 表现为与 y 轴平行 随 x 的增

3、大，逐渐 表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有 不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax 常用结论 形如 f (x)xa x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(， a和 a，)内单调递增，在 a，0)和(0， a 上单调递减 (2)当 x0 时，x a时取最小值 2 a， 当 x0 时，x a时取最大值2 a. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大 ( ) (2)不存在 x0，使 ax0 xn0logax0. ( ) (3)在(0，)上，随着 x 的增大，yax(a1)的增长速度会

4、超过并远远大于 y xa(a1)的增长速度 ( ) (4)“指数爆炸”是指数型函数 ya bxc(a0， b0， 且 b1)增长速度越来 越快的形象比喻 ( ) (5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售后因库存积压降价，若 按九折出售，则每件还能获利 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材习题衍生 1在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据如表所示： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x D 在直

5、角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选 D 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中 错误的是( ) (注：结余收入支出) A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 D 由题图可知， 收入最高值为 90 万元， 收入最低值为 30 万元， 其比是 31， 故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确； 由题图可知，1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，

6、故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为1 6(406030305060)45(万 元)，故 D 错误 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商 品 x 万件时的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获 取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件 18 利润 L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142，当 x18 时，L(x)有最大值 4某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km；如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价则客

7、运票价 y(元)与行程数 x(km)之间的函数关系式是_ y 0.5x，0 x100 0.4x10，x100 由题意可得 y 0.5x，0 x100， 0.4x10，x100. 考点一 用函数图象刻画变化过程 1(2020 新高考全国卷改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序 推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 ( ) 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加； 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； 第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%； 第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量 A B C D C 对于，

8、由折线图知这 11 天的复工复产指数有增有减，故错 对于，由第 1 天和第 11 天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于 复工指数的增量，故错 对于，由折线图知，第 3 天至第 11 天复工、复产指数均超过 80%，故正 确 对于，由折线图知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量， 故正确 2 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程， 下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1

9、 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙 车更省油 D 根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错； 以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车 消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千 米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车 更省油，故选项 D 对 3.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若 P 处有

10、一棵树与两墙的距离分 别是 4 m 和 a m(0a12)不考虑树的粗细，现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围 成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃 内，则函数 uf (a)(单位：m2)的图象大致是( ) A B C D B 设 AD 的长为 x m，则 CD 的长为(16x)m，则矩形 ABCD 的面积为 x(16 x)m2.因为要将点 P 围在矩形 ABCD 内，所以 ax12.当 0a8 时，当且仅当 x8 时，u64；当 8a12 时，ua(16a)画出函数图象可得其形状与 B 选 项接近，故选 B 点评：明确横纵坐标所表示的量，正确理解所给

11、的图象是解题的关键 考点二 已知函数模型解决实际问题 已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 典例 1 (1)(2020 新高考全国卷)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎 的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相 邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t) ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0， T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R0

12、3.28，T6.据此，在新冠 肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 (2)某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f (x)(元)满足关系 f (x) C，0 xA， CBxA，xA. 已知某家庭 2020 年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4 元 二月份 25 m3 14 元 三月份 35 m3 19 元 若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为( ) A11.5 元 B11 元 C10.5 元 D10 元 (1)B (2)A (1)R01r

13、T，3.2816r，r0.38. 若 It1e 0.38t1 ， It2e 0.38t2 ， It22It1， 则 e 0.38(t2t1) 2,0.38(t2t1)ln 20.69，t2t11.8， 选 B (2)根据题意可知 f (4)C4，f (25)CB(25A)14，f (35)CB(35 A)19，解得 A5，B1 2，C4，所以 f (x) 4，0 x5， 41 2x5，x5， 所以 f (20) 41 2(205)11.5，故选 A 跟进训练 1某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成 本增加 10 万元又知总收入 K(单位：万元)是单位产品数

14、Q 的函数，K(Q)40Q 1 20Q 2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元 2 500 由已知得 L(Q)K(Q)10Q2 000 40Q 1 20Q 2 10Q2 000 1 20(Q300) 22 500， 所以当 Q300 时，L(Q)max2 500(万元) 2一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏 出，t min 后剩余的细沙量为 yae bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的 沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 16 当 t0 时，ya，当 t8 时，yae 8b1 2a， e 8b1 2，容器中的沙子只有

15、开始时的八分之一时，即 yae b t1 8a，e b t 1 8(e 8 b)3e24b，则 t24，所以再经过 16 min. 考点三 构建函数模型解决实际问题 构建函数模型解决实际问题的步骤 构建一次函数、二次函数模型 典例 21 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水， 水厂每小时可向蓄水池中注 水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 6t吨 (0t24) (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少 吨？ (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 24 小时内，有几小时出现供水紧张现象 解

16、(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨，则 y40060t120 6t， 令 6tx，则 x26t，即 tx 2 6，所以 y40010 x 2120 x10(x6)240， 所以当 x6，即 t6 时，ymin40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是 40 吨 (2)由(1)及题意得 40010 x2120 x80， 即 x212x320， 解得 4x8，即 4 6t8，8 3t 32 3 . 因为32 3 8 38，所以每天约有 8 小时出现供水紧张现象 点评：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密 切注意函数的定义域，否则极易

17、出错 构建指数函数、对数函数模型 典例 22 (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年 增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年 (2)世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 20.301 0,100.007 51.017)( ) A1.5% B1.6% C1.7% D1.8% (1)

18、C (2)C (1)设第 n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万 元 根据题意得 130(112%)n 1200， 即 1.12n 120 13， 两边取常用对数得 n1lg 2lg 1.3 lg 1.12 ， 解得 n24 5 ， 又 nN*，n5，因此该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份 是 2020 年，故选 C (2)设每年人口平均增长率为 x，则(1x)402，两边取以 10 为底的对数，则 40lg(1x)lg 2， 所以lg(1x)lg 2 40 0.007 5， 所以100.007 51x， 得1x1.017， 所以 x1.7%.故选 C 构

19、建 yx a x(a0)函数模型 典例 23 某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料 200 千 克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均 每天支付的总费用最少 解 设该养殖场 x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 y 元 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 2000.036(元)，所以 x 天饲 料的保管费与其他费用共是 6(x1)6(x2)6(3x23x)(元) 从而有 y1 x(3x 23x300)2001.8300 x 3x3572 300

20、 x 3x357 417， 当且仅当300 x 3x，即 x10 时，y 有最小值故该养殖场 10 天购买一次饲料 才能使平均每天支付的总费用最少 点评：利用模型 f (x)axb x求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最 值时等号成立的条件 构建分段函数模型 典例 24 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、 经济效益好的特点 研 究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数当 x4 时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数；当 x20 时，因缺氧等原因，v 的 值为 0

21、千克/年 (1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式； (2)当养殖密度 x 为多大时， 鱼的年生长量(单位： 千克/立方米)可以达到最大？ 求出最大值 解 (1)由题意得当 0 x4 时，v2； 当 4x20 时，设 vaxb(a0)， 由已知得 20ab0， 4ab2， 解得 a1 8， b5 2， 所以 v1 8x 5 2. 故函数 v 2，0 x4， 1 8x 5 2，4x20. (2)设年生长量为 f (x)千克/立方米， 依题意并由(1)可得 f (x) 2x，0 x4， 1 8x 25 2x，4x20. 当 0 x4 时， f (x)为增函数， 故 f (x)m

22、axf (4)428； 当 4x20 时，f (x)1 8x 25 2x 1 8(x10) 225 2 ，f (x)maxf (10)12.5. 所以当 0 x20 时，f (x)的最大值为 12.5. 即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米 点评：求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小求出 分段函数的最值 跟进训练 1.(2020 南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边 夹角为 60 (如图)，考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面 积为 9 3平方米，且高度不低于 3米记防洪堤

23、横断面的腰长为 x 米，外周长(梯 形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料 最省(横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x_. 2 3 由题意可得 9 31 2 BCBC2 x 2 3 2 x，得 BC18 x x 2， y18 x 3x 2 2 18 x 3x 2 6 3，当且仅当18 x 3x 2 (2x6)，即 x2 3时等 号成立 2某景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这 些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元， 则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自

24、行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租自行车一日 的总收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日 中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf (x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当 x6 时，y50 x115， 令 50 x1150，解得 x2.3， x 为正整数，3x6，xN*. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20， xN*. y 50 x1153x6，xN*， 3x268x1156x20，xN*. (2)对于 y50 x115(3x6，xN*)， 显然当 x6 时，ymax185； 对于 y3x268x1153 x34 3 2 811 3 (6x20， xN*)， 当 x11 时， ymax270. 270185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最 多