2022届高考(统考版)数学理科一轮复习教学案:第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性 (含解析).doc
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1、函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考试要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性 1函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 f(x)f(x),那么函数 f(x)是偶 函数 都有 f(x)f(x),那么函 数 f(x)是奇函数 图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称 提醒:(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 (2)若 f(x)0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: f(x)为奇函数f(x)f(x)f(
2、x)f(x)0fx fx 1. f(x)为偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0fx fx 1. 2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 f(xT)f(x),那么就称函数 yf(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数 就叫做 f(x)的最小正周期 提醒:若 T 是函数 f(x)的一个周期,则 nT(nZ,n0)也是函数 f(x)的周期 常用结论 1函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x0
3、处有定义,那么一定有 f(0)0. (2)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)f(|x|) (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对 称的区间上具有相反的单调性 (4)若 yf(xa)是奇函数,则 f(xa)f(xa);若 yf(xa)是偶函数, 则 f(xa)f(xa) 2周期性的几个常用结论 对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x,周期为 T,则 (1)若 f(xa)f(x),则 T2a(a0); (2)若 f(xa) 1 fx,则 T2a(a0); (3)若 f(xa) 1 fx,则 T2a(a0) 3函数的图象的对称性 (1)函数 yf(x),若其
4、图象关于直线 xa 对称(a0 时,f(x)为偶函数),则 f(ax)f(ax);f(2ax)f(x);f(2ax)f(x) (2)函数 yf(x),若其图象关于点(a,0)中心对称(a0 时,f(x)为奇函数),则 f(ax)f(ax);f(2ax)f(x); f(2ax)f(x) (3)函数 yf(x),若其图象关于点(a,b)中心对称,则 f(ax)f(ax)2b;f(2ax)f(x)2b;f(2ax)f(x)2b. (4)函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 xa 对称,则 g(x)f(2ax) (5)函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 ya 对称,则 g(x)2af(x)
5、一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数 yx2,x(0,)是偶函数 ( ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点 ( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数,则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 ( ) (4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x), 则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函 数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1下列函数中为偶函数的是( ) Ayx3 Byx2 Cy|ln x| Dy2 x B A 为奇函数,C,D 为非奇非偶函数,B 为偶函数,故选 B 2已知函数 f(x)是定义在 R
6、上的奇函数,且当 x0 时,f(x)x(1x),则 f( 1)_. 2 f(1)122, 又 f(x)为奇函数, f(1)f(1)2. 3设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x1,1)时,f(x) 4x22,1x0, x,0 x1, 则 f 3 2 _. 1 f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21. 4.设奇函数 f(x)的定义域为5,5,若当 x0,5时,f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)0 的解集为_ (2,0)(2,5 由图象可知,当 0 x2 时,f(x)0; 当 2x5 时,f(x)0, 又 f(x)是奇函数, 当2x0 时,f(x)0,当5x2 时
7、,f(x)0. 综上,f(x)0 的解集为(2,0)(2,5 考点一 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: (2)图象法: (3)性质法: 在公共定义域内有:奇 奇奇,偶 偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇 偶奇 典例 1 (1)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 则下列结论中正确的是( ) Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 (2)判断下列函数的奇偶性: f(x)3x2x23; f(x)lg1x 2 |x2|2; f(x) x2x,x0, x2x,x
8、0. (1)C 令 F1(x)f(x) g(x), 则 F1(x)f(x) g(x)f(x) g(x) F1(x), f(x)g(x)为奇函数,故 A 错误 令 F2(x)|f(x)|g(x),则 F2(x)|f(x)|g(x) |f(x)|g(x)F2(x),F2(x)为偶函数,故 B 错误 令 F3(x)f(x)|g(x)|,则 F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x),F3(x) 为奇函数,故 C 正确 令 F4(x)|f(x)g(x)|, 则 F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x), F4(x)为偶函 数,故 D 错误 (2)解 由 3x20,
9、x230, 得 x23,解得 x 3, 即函数 f(x)的定义域为 3, 3, 从而 f(x)3x2x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x), 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 由 1x20, |x2|2, 得定义域为(1,0)(0,1),关于原点对称,x20,|x 2|2x,f(x)lg1x 2 x . 又f(x)lg1x 2 x lg1x 2 x f(x), 函数 f(x)为奇函数 显然函数 f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称 当 x0 时,x0, 则 f(x)(x)2xx2xf(x); 当 x0 时,x0, 则 f(x)(x)2xx2xf(x) 综上可知:对
10、于定义域内的任意 x,总有 f(x)f(x)成立,函数 f(x)为奇 函数 点评:(1)本例 T(2)第小题求出定义域后,利用定义域去掉绝对值号是解题的 关键 (2)yln1x 1x,ylg( x21x)都是奇函数 跟进训练 1下列函数既是奇函数又是增函数的是( ) Ayx21 By1x 1x Cy1 x Dyx|x| D 对于 A,f(x)(x)21x21f(x),函数 f(x)是偶函数,不是奇 函数,排除 A 对于 B,函数的定义域为(,1)(1,),函数为非奇非偶函数, 排除 B 对于 C,函数是奇函数,但在定义域(,0)(0,)上不是增函数,排 除 C 对于 D,f(x)x|x|x|x
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