2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第2章 第1节 函数及其表示 （含解析）.doc

1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在高考中一般为13个客观题. 2.考查内容 高考对本章内容的考查主要涉及指 数、对数的运算，指数函数、对数函 数的图象与性质，分段函数的求值， 函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单 调性及周期性的综合应用， 函数的零 点等内容. 函数及其表示函数及其表示 考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了 解映射的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段) 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 设 A，B 是非

2、空的数集 设 A，B 是非空的集合 A，B 对应 关系 f： 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x， 如果按某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 AB 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应 x，在集合 B 中都有唯一确定的元 素 y 与之对应 定义 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 yf(x)，xA 映射 f：AB 提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)，xA 中，x

3、叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显 然，值域是集合 B 的子集 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相 等，这是判断两函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函 数 f(x)|x|，x0,2与函数 f(x)|x|，x2,0 3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系， 这样的函数通

4、常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个 函数 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定 义域的并集，值域是各段值域的并集 常用结论 常见函数定义域的求法 类型 x 满足的条件 2n fx(nN*) f(x)0 2n1 fx(nN*) f(x)有意义 1 fx与f(x) 0 f(x)0 logaf(x)(a0 且 a1) f(x)0 af(x)(a0 且 a1) f(x)有意义 tanf(x) f(x) 2k，kZ 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于函数 f：

5、AB，其值域是集合 B ( ) (2)函数 y1 与 yx0是同一个函数 ( ) (3)函数 f(x)x22x 与 g(t)t22t 是同一个函数 ( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点 ( ) (5)已知 f(x)m(xR)，则 f(m3)m3. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材习题衍生 1函数 y 2x3 1 x3的定义域为( ) A 3 2， B(，3)(3，) C 3 2，3 (3，) D(3，) C 由题意知 2x30， x30， 解得 x3 2且 x3. 2下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是( ) Ay( x1)2 By

6、3x31 Cyx 2 x 1 Dy x21 B y3x31x1，且函数定义域为 R，故选 B 3函数 yax26x7a(a0)的值域为2，)，则 a 的值为( ) A1 B9 7 C1 D2 C 由题意知 a0 28a236 4a 2， 解得 a1，故选 C 4已知 f(x)x3 1 xa，若 f(2)0，则 a 的值为_ 1 f(2) 23 1 a20，即 1 a21，解得 a1. 考点一 求函数的定义域 1已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)简单函数的定义域：若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则 它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集 (2)复合函数的定义域：先由

7、外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确 定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交 集即可 2抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为a， b， 则复合函数 f(g(x)的定义域由 ag(x)b 求出 (2)若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时 的值域 提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围 已知函数解析式求定义域 典例 11 (1)函数 y 9x2 log2x1的定义域是( ) A(1,3) B(1,3 C(1,0)(0,3) D(1,0)(0,3 (2)函数 y 1 log0.5x2(

8、2x5) 0 的定义域为_ (1)D (2) (1)由题意知 9x20， x10， log2x10， 即 3x3， x1， x11， 解得1x0 或 0 x3，故选 D (2)由题意知 log0.5x20， x20， 2x50， 即 x21 x20 x5 2 ， 解得 2x3 且 x 5 2，即函数的定义域为 求抽象函数的定义域 典例 12 (1)已知函数 f(x)的定义域为(1,1)，则函数 g(x)f x 2 f(x1) 的定义域为( ) A(2,0) B(2,2) C(0,2) D 1 2，0 (2)已知函数 yf(x21)的定义域为 3， 3，则函数 yf(x)的定义域为 _ (1)C

9、 (2)1,2 (1)由题意得 1x 21 1x11， 即 2x2 0 x2， 解得 0 x 2， 即函数 g(x)的定义域为(0,2)，故选 C (2)由题意知 3x 3，则1x212， 即函数 yf(x)的定义域为1,2 点评：函数 f(g(x)的定义域指的是自变量 x 的取值范围，而不是 g(x)的取值范 围，如本例 T(2) 跟进训练 1若函数 f(2x)的定义域是1,1，则 f(x)的定义域为_，f(log2x)的定 义域为_ 1 2，2 2，4 由1x1 得 2 12x2，即1 22 x2，所以 f(x)的定义 域为 1 2，2 ，由 1 2log2x2，即 log22 1 2lo

10、g 2xlog2 22， 得 2x4，所以函数 f(log2x)的定义域为 2，4 2(2020 重庆模拟)已知函数 f(x)ln(xx2)，则函数 f(2x1) 的定义域为 _ 1，1 2 由xx20 得1x0，即 f(x)的定义域为(1,0)， 由12x10 得1x1 2， 所以函数 f(2x1)的定义域为 1，1 2 . 考点二 求函数的解析式 求函数解析式的四种方法 典例 2 (1)若 f(x)为二次函数且 f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则 f(x)的解析 式为_ (2)已知 f(1sin x)cos2 x，则 f(x)的解析式为_ (3)已知 f x1 x x2 1 x2，则

11、 f(x)_. (4)已知函数 f(x)的定义域为(0， )， 且 f(x)2f 1 x x1， 则 f(x)_. (1)f(x)x2x3 (2)f(x)2xx2(0 x2) (3)x22(x2 或 x2) (4)2 3 x1 3 (1)(待定系数法)设 f(x)ax 2bxc(a0)，又 f(0)c3. 所以 f(x)ax2bx3，所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx 3)4ax4a2b4x2，所以 4a4， 4a2b2， 所以 a1， b1， 所以所求函数的解析式为 f(x)x2x3. (2)(换元法)令 1sin xt(0t2)，则 sin x1t， f(t)1(

12、1t)22tt2，f(x)2xx2(0 x2) (3)(配凑法)f x1 x x2 1 x2 x22 1 x2 2 x1 x 2 2，所以 f(x)x2 2(x2 或 x2) (4)(解方程组法)在 f(x)2f 1 x x1 中，将 x 换成1 x，则 1 x换成 x，得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 fx2f 1 x x1， f 1 x 2fx 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3. 点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围 如已知 f( x)x1，求函数 f(x)的解析式，可通过换元的方法得 f(x)x21， 函数 f(x)的定义域是0，)，而不是(，) 跟进训练

13、1 已知 f(x)是一次函数， 且满足 3f(x1)2f(x1)2x17， 则 f(x)_. 2x7 (待定系数法)设 f(x)axb(a0)， 则 3f(x1)2f(x1)ax5ab， 所以 ax5ab2x17 对任意实数 x 都成立， 所以 a2， 5ab17， 解得 a2， b7. 所以 f(x)2x7. 2已知 f 1x x 1x 2 x2 1 x，则 f(x)的解析式为_ f(x)x2x1，x(，1)(1，) 令1x x t，则 t11 x，t1，所 以1 xt1， 所以 f(t)(t1)2(t1)1t2t1， 即 f(x)x2x1，x(，1)(1，) 3已知函数 f(x)满足 f(

14、x)2f(x)2x，则 f(x)_. 2x 12x 3 由 f(x)2f(x)2x， 得 f(x)2f(x)2 x， 2，得 3f(x)2x 12x， 即 f(x)2 x12x 3 . 故 f(x)的解析式是 f(x)2 x12x 3 . 考点三 分段函数及其应用 1.分段函数求值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代 入该区间对应的解析式求值 (2)当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数 不同段的端点 2求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然

15、后将求出的值或范围 与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可 3分段函数与不等式问题 解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类 讨论如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求 解 分段函数的求值问题 典例 31 (1)(2020 合肥模拟)已知函数 f(x) x 1 x2，x2， x22，x2， 则 f(f(1) ( ) A1 2 B2 C4 D11 (2)设函数 f(x) x22xx0， fx3x0， 则 f(5)的值为( ) A7 B1 C0 D1 2 (1)C (2)D (1)因为 f(1)1223，所以 f

16、(f(1)f(3)3 1 324.故选 C (2)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22 11 2.故选 D 求参数或自变量的值 典例 32 (1)已知函数 f(x) 2x2，x1， log2x1，x1， 且 f(a)3， 则 f(6 a)_. (2)已知函数 f(x) x1， 1x0， 2x， x0， 若实数 a 满足 f(a)f(a1)，则 f 1 a _. (1)3 2 (2)8 (1)当 a1 时，f(a)2 a23，无解； 当 a1 时，由 f(a)log2(a1)3，得 a18， 解得 a7， 所以 f(6a)f(1)2 123 2. (2)由题意得 a0. 当 0

17、a1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a，解得 a1 4，则 f 1 a f(4)8， 当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，不成立所以 f 1 a 8. 点评： 本例 T(1)可根据函数值的范围确定 a1.本例 T(2)可根据单调性确定 a1 不可能成立 分段函数与不等式问题 典例33 (2018 全国卷)设函数f(x) 2 x，x0， 1，x0， 则满足f(x1)f(2x) 的 x 的取值范围是( ) A(，1 B(0，) C(1,0) D(，0) D 法一：分类讨论法 当 x10， 2x0， 即 x1 时， f(x1)f(2x)，即为 2 (x1)22x， 即(

18、x1)2x，解得 x1. 因此不等式的解集为(，1 当 x10， 2x0 时，不等式组无解 当 x10， 2x0， 即1x0 时， f(x1)f(2x)，即 12 2x，解得 x0. 因此不等式的解集为(1,0) 当 x10， 2x0， 即 x0 时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意 综上，不等式 f(x1)f(2x)的解集为(，0) 法二：数形结合法 f(x) 2 x，x0， 1，x0， 函数 f(x)的图象如图所示 结合图象知，要使 f(x1)f(2x)， 则需 x10， 2x0， 2xx1， 或 x10， 2x0， x0. 点评：本例也可分 x1，1x0，x0 三种情况求解 跟进训练

19、 1已知 f(x) 2x，x0， fx1，x0， 则 f 4 3 f 4 3 的值等于( ) A2 B4 C2 D4 B 由题意得 f 4 3 24 3 8 3， f 4 3 f 1 3 f 2 3 22 3 4 3， 所以 f 4 3 f 4 3 4. 2设 f(x) x，0 x1 2x1，x1 ，若 f(a)f(a1)，则 f 1 a ( ) A2 B4 C6 D8 C 当 0a1 时，a11，则 f(a) a，f(a1)2(a11)2a. 由 f(a)f(a1)得 a2a， 解得 a1 4， 从而 f 1 a f(4)2(41)6， 当 a1 时，a11，又函数 f(x)2(x1)，x1

20、 为增函数因此 f(a)f(a1)不成立， 故选 C 3设函数 f(x) x1，x0 2x，x0， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取值范围是 _ 1 4， 当 x0 时，x 1 20，则 f(x)x1，f x1 2 x1 21x 1 2， 由 f(x)f x1 2 1 得(x1) x1 2 1，解得 x1 4. 又 x0，所以1 4x0. 当 0 x1 2时，x 1 20，则 f(x)2 x，f x1 2 x1 21x 1 2，从而 f(x) f x1 2 2x x1 2 1 恒成立 当 x1 2时，x 1 20，则 f(x)2 x，f x1 2 2 x1 2， 从而 f(x)f

21、 x1 2 2x2 x1 21 恒成立 综上知 x 的取值范围是 1 4， . 核心素养 1 用数学眼光观察世界与高等数学接轨的三类函数 高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常 以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心 素养因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于 培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养. 欧拉公式 素养案例1(2020 郑州模拟)欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)是由瑞 士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指 数函数的关系 特别

22、是当 x 时， ei10， 欧拉公式被誉为“数学中的天桥” 根 据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B 由题意得 e2icos 2isin 2，所以 e2i表示的复数在复平面中对应的点为 (cos 2，sin 2)因为 2 2， ，所以 cos 20，sin 20，所以 e 2i 表示的复数在复 平面中对应的点位于第二象限，故选 B 评析 此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推 理、数学运算、直观想象等核心素养破解此类题的关键：一是会揭开数学文化 的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题

23、意的基础上，需利 用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复 平面中对应的点的位置 素养培优 已知欧拉公式为 eixcos xisin x(i 为虚数单位)，若 (0,2)，且 e i 表示的 复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则 sin cos 的取值范围是( ) A(1， 2 B 2， 2 C(1,1) D 2，1) C 因为 e icos()isin()cos isin ，所以结合题意可知点(cos ，sin )位于复平面的第三象限内，所以 cos 0 且sin 0，又 (0,2)， 所以 2， ，所以 4 3 4 ，5 4 ，所以 sin 4 2 2 ，

24、 2 2 . 故 sin cos 2sin 4 (1,1)故选 C 高斯函数 素养案例2(2020 长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠 基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR， 用x表示不超过 x 的最大整数， 则 yx称为高斯函数， 例如2.13， 3.1 3.已知函数 f(x) 2x 1 12x，则函数 yf(x)的值域是( ) A0,1 B(0,2) C(0,1) D1,0,1 A 法一：因为 f(x) 2x 1 12x 2x 122 12x 2 2 12x(0,2)， 所以当 f(x)(0,1)时，yf(x)0；当 f(x)1,2)时

25、，yf(x)1. 所以函数 yf(x)的值域是0,1故选 A 法二：因为 yf(x)不可能为小数，所以排除 B，C； 又 2x0，所以 f(x) 2x 1 12x0，所以 yf(x)1，排除 D选 A 评析 求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考 查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的 挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法 “擦肩而过”注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便 于计算 素养培优 (2020 淄博一模)高斯函数x，也称为取整函数，即x表示不超过 x 的最大整 数例如：2.32，1

26、.52.则下列结论：2.112；x x0；若x13，则 x 的取值范围是 2x3；当1x1 时，x 1x1的值为 1,2.其中正确的结论有_(写出所有正确结论的序 号) 2.11312，正确； xx0，错误，例如：2.52，2.53,2(3)0； 若x13，则 x 的取值范围是 2x3，故错误； 当1x1 时，0 x12,0 x12， x10 或 1，x10 或 1 或 2， 当x10 时，x11 或 2； 当x11 时，x11 或 0； 所以x1x1的值为 1,2，故正确 狄利克雷函数 素养案例3(2020 上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就 显著，函数 f(x) 1，xQ

27、， 0，xRQ 被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理 数集，关于函数 f(x)有如下四个命题： f(f(x)0； 函数 f(x)是偶函数； 任取一个不为零的有理数 T，f(xT)f(x)对任意的 xR 恒成立； 存在三个点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC 为等边三角 形 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 C 对于，当 x 为有理数时，f(x)1，f(f(x)f(1)1，故是假命题 对于，若 xQ，则xQ；若 xRQ，则xRQ，所以，无论 x 是有 理数还是无理数，都有 f(x)f(x)，即函数 f(x)为偶函数，故是真

28、命题 对于，当 x 为有理数时，xT 为有理数，满足 f(xT)f(x)1；当 x 为无 理数时，xT 为无理数，满足 f(xT)f(x)0，故是真命题 对于，当 A，B，C 三点满足 A 3 3 ，0 ，B(0,1)，C 3 3 ，0 时，ABC 为 等边三角形，故是真命题 综上所述，真命题的个数是 3.故选 C 评析 破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注 意理解集合RQ 表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函 数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题 意的条件 素养培优 (2020 陕西长安一中 3 月质检)已知著名的狄利克雷函数 f(x) 1，xQ， 0，xRQ， 其中 R 为实数集，Q 为有理数集，若 mR，则 f(f(f(m)的值为( ) A0 B1 C0 或 1 D无法求 B 若 mQ，则 f(m)1，所以 f(f(f(m)f(f(1)f(1)1. 若 mRQ，则 f(m)0，所以 f(f(f(m)f(f(0)f(1)1.故选 B