2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第1章 第4节 不等关系与不等式 （含解析）.doc

1、不等关系与不等式不等关系与不等式 考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0aba，bR， ab0aba，bR， ab0aba，bR； (2)作商法 a b1abaR，b0， a b1abaR，b0， a b1abaR，b0. 2不等式的性质 (1)对称性：abbb，bcac；(单向性) (3)可加性：abacbc；(双向性) (4)加法法则：ab，cdacbd；(单向性) (5)可乘性：ab，c0acbc；(单向性) ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性) (7)乘方法则：ab0anbn

2、(n2，nN)；(单向性) (8)开方法则：ab0nanb(n2，nN)(单向性) 提醒：同向不等式可相加，不能相减 常用结论 1倒数性质 (1)ab，ab01 a 1 b； (2)a0b1 a 1 b； (3)ab0，dc0a c b d. 2分数性质 若 ab0，m0，则 (1)真分数性质：b a bm am； b a bm am(bm0)； (2)假分数性质：a b am bm； a b am bm(bm0) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 ab，则 ac2bc2. ( ) (2)若 ac2bc2，则 ab. ( ) (3)若a b1，则 ab. ( ) (4)

3、若 acbc，则 ab. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1设 a，b，cR，且 ab，则( ) Aacbc B1 a 1 b Ca2b2 Da3b3 D 取 a1，b2，c1，排除 A，B，C，故选 D 2若 ab0，cd0，则( ) Aadbc Badbc Cacbd Dacbd D cd0cd0，则有acbd，所以 acbd，故选 D 3设 ba，dc，则下列不等式中一定成立的是( ) Aacbd Bacbd Cacbd Dadbc C 由 ab，cd 得 acbd，故选 C 4设 a 7 10，b 3 14，则 a 与 b 的大小关系为( ) Aab B

4、ab Cab D无法判断 B a2172 70，b2172 42， 由 2 702 42，知 a2b2，又 a0，b0， 所以 ab，故选 B 考点一 比较两个数(式)的大小 比较两个数或代数式的大小的三种方法 (1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法 步骤：作差；变形；判断差的符号；下结论 变形技巧：分解因式；平方后再作差；配方；分子、分母有理化； 通分 (2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数 步骤：作商；变形；判断商与 1 的大小；下结论 (3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较 大小时，可以采用特殊值法比较 典例

5、1 (1)若 0 x1，p，qN*，则 M1xp q 与 Nxpxq的大小关系 为( ) AMN BMN CMN D不确定 (2)若 aln 2 2 ，bln 3 3 ，则 a_b(填“”或“”) (1)A (2) (1)(1xp q)(xpxq)(1xp)xq(xp1)(1xp)(1xq)， 0 x1，p，qN*， 1xp0,1xq0， (1xp)(1xq)0， 1xp qxpxq，即 MN，故选 A (2)法一：(作商法)易知 a0，b0，b a 2ln 3 3ln 2 ln 9 ln 8log891，所以 ba. 法二：(作差法)baln 3 3 ln 2 2 1 6(2ln 33ln

6、2) 1 6(ln 9ln 8)0. 所以 ba. 跟进训练 1设 M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有( ) AMN BMN CMN DMN A MN(2a24a)(a22a3)a22a3(a1)220，MN， 故选 A 2 设 a， b0， )， A a b， B ab， 则 A， B 的大小关系是( ) AAB BAB CAB DAB B 因为 A0， B0， A2B2a2 abb(ab)2 ab0， 所以 AB故 选 B 考点二 不等式性质的应用 1判断不等式是否成立的方法 (1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要 特别注意前提条件 (2)特殊值法：利

7、用特殊值排除错误答案 (3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、 对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断 2利用不等式的性质求取值范围的方法 (1)已知 x，y 的范围，求 F(x，y)的范围可利用不等式的性质直接求解 (2)已知 f(x，y)，g(x，y)的范围，求 F(x，y)的范围 可利用待定系数法解决，即设 F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得 m，n，再利用不等式的性质求得 F(x，y)的取值范围 判断不等式是否成立 典例 21 (1)若 ab0，cd0，则一定有( ) Aa d b c Ba d b c Ca c b d Da c

8、b d (2)(2019 全国卷)若 ab，则( ) Aln(ab)0 B3a3b Ca3b30 D|a|b| (1)B (2)C (1)由 cd0 得1 d 1 c0，则 1 d 1 c0， a d b c， a d b c，故选 B (2)由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 错误；因为函数 y x3在 R 上单调递增，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|b|，故 D 错误故选 C 点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解 求代数式的取值范围 典例 22 (1)已知1x4,2y3，则 xy

9、的取值范围是_，3x 2y 的取值范围是_ (2)已知1xy4,2xy3，则 z2x3y 的取值范围是_ (1)(4,2) (1,18) (2)(3,8) (1)1x4,2y3， 3y2， 4xy2； 由1x4,2y3 得 33x12,42y6， 13x2y18. (2)设 2x3y(xy)(xy)，则 2x3y()x()y， 2 3 ，解得 1 2， 5 2. 2x3y1 2(xy) 5 2(xy) 由1xy4 得21 2(xy) 1 2， 由 2xy3 得 55 2(xy) 15 2 . 32x3y8. 点评：xy，xy,2x3y 看作三个整体，整体中 x，y 相互制约 跟进训练 1“ab

10、0”是“a2ab2b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 由 ab0 得 a2b2，a2ab2b. 反之由 a2ab2b 可得(a2a)(b2b)0， 即(ab)(ab1)0， ab0， ab10， 或 ab0， ab10， 即 ab， ab10， 或 ab， ab10， 无法推出 ab0. 因此，“ab0”是“a2ab2b”的充分不必要条件，故选 A 2已知1xy3，则 xy 的取值范围是_ (4,0) 由1xy3 得，1x3，3y1. 4xy4，又 xy. xy0. 4xy0. 3已知角 ， 满足 2 2，0，则 3 的取值范围是 _ (，2) 设 3m()n()，则 3(mn)(nm). mn3 nm1 ，解得 m2 n1 ， 32()() 由 2 2得2()， 32.