2022年高中数学人教B版选择性必修第三册课件：5.2.1第2课时　等差数列的性质 .ppt

1、第2课时 等差数列的性质 最新课程标准 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点) 2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点) 教材要点教材要点 知识点一 等差数列的图像 等差数列的通项公式 ana1(n1)d，当 d0 时，an是一 固定常数；当 d0 时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分 布在以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的 点 d 知识点二 等差中项 如果 x，A，y 是等差数列，那么称 A 为 x 与 y 的_， 且 Axy 2 . 等差中项 状元随笔 任意两数都有等差中项吗？ 提示 是 知识点三 等差数列的性质 (1)an是等差数列，若正整数 s，t

2、，p，q 满足 stpq， 则 asat_. 特别地，当 pq2s(p，q，sN)时，2asapaq. 对有穷等差数列， 与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的_， 即 a1ana2an1akank1. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列 仍为_数列 apaq 和 等差 (3)若an是公差为 d 的等差数列，则 can(c 为任一常数)是公差为_的等差数列； can(c 为任一常数)是公差为_的等差数列； anank(k 为常数，kN)是公差为_的等差数 列 (4)若an， bn分别是公差为 d1， d2的等差数列， 则数列pan qbn(p，q 是常数)是公差为_

3、的等差数列 (5)an的公差为 d，则 d0an为_数列； dk0)是否成立？ 提示 在 2 的结论中令 st，pn1，qn1，可知 2an an1an1成立；st，pnk，qnk，可知 2anank ank也成立 例 3 (1)等差数列an， 若 a1a17为一确定常数， 则下列各 式也为确定常数的是( ) Aa2a15 Ba2 a15 Ca2a9a16 Da2 a9 a16 (2)设数列an，bn都是等差数列若 a1b17，a3b3 21，则 a5b5_. C 35 解析：(1)因为 a1a17为一确定常数，又 a1a17a2a16 2a9，所以 a2a16a9为一确定常数，故选 C. (

4、2)法一：设数列an，bn的公差分别为 d1，d2，因为 a3 b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2) 21， 所以 d1d27， 所以 a5b5(a3b3)2(d1d2)2127 35. 法二：数列an，bn都是等差数列， 数列anbn也构成等差数列， 2(a3b3)(a1b1)(a5b5)， 2217a5b5，a5b535. 方法归纳 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知 识的推广与变形， 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、 方便、 快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的 关系，但要注意性质运用的条

5、件，如若 stpq，则 asat apaq(s，t，p，qN)，需要当序号之和相等、项数相同时才 成立 跟踪训练 3 在公差为 d 的等差数列an中 (1)已知 a2a3a23a2448，求 a13； (2)已知 a2a3a4a534，a2 a552，求 d. 解析：法一：(1)化成 a1和 d 的方程如下： (a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48， 即 4(a112d)48. 4a1348.a1312. (2)化成 a1和 d 的方程如下： a1da12da13da14d34， a1d a14d52， 解得 a11， d3 或 a116， d3， d3 或3. 法二：(1)根

6、据已知条件 a2a3a23a2448，及 a2a24 a3a232a13. 得 4a1348，a1312. (2)由 a2a3a4a534，及 a3a4a2a5得 2(a2a5)34， 即 a2a517. 解 a2 a552， a2a517， 得 a24， a513 或 a213， a54. da 5a2 52 134 3 3 或 da 5a2 52 413 3 3. 状元随笔 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出 a1和 d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决 题型四 灵活设元解等差数列 例 4 已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的 积为 40，求这四个数 解

7、析：法一：设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意， 得 bacbdc， abcd26， bc40， 解得 a2， b5， c8， d11 或 a11， b8， c5， d2， 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法二：设此等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意，得 a1a1da12da13d26， a1da12d40， 化简，得 4a16d26， a2 13a1d2d 240， 解得 a12， d3 或 a111， d3， 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为 a3d，ad，ad，a3d，根 据题意，得 a3dadad

8、a3d26， adad40， 化简，得 4a26， a2d240， 解得 a13 2 ， d 3 2. 这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 方法归纳 1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接 设首项为 a1，公差为 d，利用已知条件建立方程组求出 a1和 d， 即可确定数列 2 当已知数列有 2n 项时， 可设为 a(2n1)d， ，a3d， ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为 2d. 3 当已知数列有 2n1 项时， 可设为 and， a(n1)d， ， ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为 d. 跟踪训练 4 三个数成等差数列，其和为

9、 9，前两项之积为 后一项的 6 倍，求这三个数 解析：设这三个数依次为 ad，a，ad， 则 adaad9， ada6ad， 解得 a3， d1 . 这三个数为 4,3,2. 教材反思 1本节课的重点是等差数列性质的应用 2要重点掌握等差数列的如下性质： (1)在等差数列an中，当 st 时，da sat st 为公差公式，利 用这个公式很容易求出公差，还可变形为 asat(st)d. (2)等差数列an中， 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺 序排列，构成的新数列仍然是等差数列 (3)等差数列an中，若 stpq，则 asatapaq(s，t， p，qN)，特别地，若 2spq，则 2asapaq. 3 等差数列an中， 首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素； 有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可 化成有关 a1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形 及整体计算，以减少计算量