2022年高中数学人教B版选择性必修第三册课件：5.1.1　数列的概念 .ppt

1、51.1 数列的概念 最新课程标准 1.理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图像、 通项 公式) 2掌握数列的通项公式及应用(难点) 3了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 教材要点教材要点 知识点一 数列的概念及一般形式 每一个数 第一位 an 数列的项与项数一样吗？ 提示 不一样 知识点二 数列的分类 类别 含义 有穷数列 项数_的数列 按项的 个数 无穷数列 项数_的数列 递增数列 从第 2 项起， 每一项都_它的前一项 的数列 递减数列 从第 2 项起， 每一项都_它的前一项 的数列 常数列 各项都_的数列 按项的 变化趋 势 摆动数列 从第 2 项起，有些项_它的前一项，

2、 有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 大于 小于 相等 大于 知识点三 数列的通项公式 如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个 函数式_来表示， 那么这个_叫做这个数列的通项 公式 n anf(n) 公式 状元随笔 数列一定有通项公式吗？ 提示 不一定 知识点四 数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下 表： 定义域 正整数集 N(或它的有限子集1,2,3，n) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量_时对应的一 列函数值 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)_法；(3)_ 法 从小到大依次取正整数值 列表 图像 状元随笔 数列所对应的图像是连续的

3、吗？ 提示 不连续 基础自测基础自测 1已知数列an的通项公式为 an 2 n2n，那么 1 10是它的 ( ) A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项 解析：设 1 10是数列中的第 n 项，则 1 10 2 n2n，解得 n4 或 n5.5N，n5 应舍去，故 n4. 答案：A 2下列四个数中，哪个是数列n(n1)中的一项( ) A380 B392 C321 D232 解析：因为 1920380， 所以 380 是数列n(n1)中的第 19 项应选 A. 答案：A 3已知数列an的通项公式为 an11 n1 2 ，则该数列 的前 4 项依次为( ) A1,0,1,0 B0,

4、1,0,1 C.1 2，0， 1 2，0 D2,0,2,0 解析：当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a11，a20，a31，a4 0. 答案：A 4下列说法正确的是_(填序号) 0,1,2,3,4,5是有穷数列； 从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； 数列 1,2,3,4，2n 是无穷数列 解析：因为0,1,2,3,4,5是集合，而不是数列，所以错误； 正确；数列 1,2,3,4，2n 共有 2n 项，是有穷数列，所以 错误 答案： 题型一 数列的概念及分类 例 1 已知下列数列： 2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； 1，1 2， 1 4， 1 2n

5、 1，； 1，2 3， 3 5， 1n 1 n 2n1 ，； 1,0，1，sinn 2 ，； 2,4,8,16,32，； 1，1，1，1. 其中， 有穷数列是_， 无穷数列是_， 递增数列是_， 递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号) 解析：为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列； 为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列， 也是常数列 状元随笔 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数 列，常数列及摆动数列的定义求解 方法归纳 1 与集合中元素的性质相比较， 数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或

6、不是某一数列中的项是确定的，集合中的 元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出 现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些 数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外 的其他事物 2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对 于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还 是无穷数列则看项的个数有限还是无限 跟踪训练 1 给出下列数列： 20112018 年某市普通高中生人数(单位： 万人)构成数列 82,93,105,1

7、19,129,130,132,135. 无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3，. 2 的 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 4 次幂， 构成数列2,4， 8，16，32，. 其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数 列是_，常数列是_，摆动数列是_ 解析：为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数 列；为常数列；为摆动数列 题型二 由数列的前几项求通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)1 2，2， 9 2，8， 25 2 ，； (2)9,99,999,9 999，； (3)2 21 1 ，3 22 3 ，4 23 5 ，5 24 7 ，； (4) 1 12， 1 23， 1

8、 34， 1 45，. 解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项 都统一成分数再观察：1 2， 4 2， 9 2， 16 2 ，25 2 ，所以，它的一个 通项公式为 ann 2 2 (nN) (2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，此数列的通项 公式为 10n，可得原数列的通项公式为 an10n1(nN) (3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列， 可用 2n1 表示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方， 可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用 n 表示，综上，原数列的通项公式为 ann1 2n 2n1 (

9、nN) (4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积 的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an(1)n 1 nn1(nN ) 状元随笔 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分 子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然 后归纳出通项公式 方法归纳 1根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分 析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想 2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观 察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟

10、知的一些基本数列 (如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符 号变化，可用(1)n或(1)n 1 来调整 跟踪训练 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，； (2)1，3,5，7,9，； (3)11 2，2 2 3，3 3 4，4 4 5，； (4)1,11,111,1 111，. 解析：(1)观察数列中的数，可以看到 011,341,89 1,15161,24251，所以它的一个通项公式是 ann2 1(nN) (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并 且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an(1)n 1(

11、2n1)(nN ) (3)此数列的整数部分为 1,2,3,4，恰好是序号 n，分数部分 与序号 n 的关系为 n n1，故所求的数列的一个通项公式为 ann n n1 n22n n1 (nN) (4)原数列的各项可变为1 99， 1 999， 1 9999， 1 99 999， ， 易知数列 9,99,999,9 999，的一个通项公式为 an10n1.所以 原数列的一个通项公式为 an1 9(10 n1)(nN ) 题型三 数列的单调性及应用 状元随笔 1数列1 2， 3 4， 7 8， 15 16， 31 32，的通项公式是什么？该数列的 第 7 项是什么？255 256是否为该数列中的一

12、项？为什么？ 提示 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为 an 2n1 2n ，当 n7 时，a72 71 27 127 128，若 255 256为该数列中的一项， 则2 n1 2n 255 256，解得 n8，所以 255 256是该数列中的第 8 项 2已知数列an的通项公式为 ann22n1，该数列的 图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数 项 提示 由数列与函数的关系可知，数列an的图像是分布 在二次函数 yx22x1 图像上的离散的点，如图所示，从 图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从 第 3 项往后各项为负数项 例 3 已知函数 f(x)x1

13、x.数列an满足 f(an)2n，且 an0. (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列an的增减性 解析：(1)f(x)x1 x，f(an)2n， an 1 an2n，即 a 2 n2nan10， 解得 ann n21， an0，an n21n. (2)法一(作差法) an1an n121(n1)( n21n) n121 n211 n1 21 n21 n121 n21 n121 n21 1 n1n n121 n211， 又 n121n1, n21n， n1n n121 n211. an1an0，即 an10，a n1 an n121n1 n21n n21n n121n11. an10，a

14、n1an. 数列an是递增数列 题型四 数列的最大(小)项的求法 例 4 已知数列an的通项公式 an(n1) 10 11 n(nN )，试 问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若 没有，说明理由 解析：法一：an1an(n2) 10 11 n1(n1) 10 11 n 10 11 n 9n 11 ， 当 n0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an， 故 a1a2a3a11a12， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 即 a9a1010 10 119 . 法二：设 ak是数列an的最大项 则 a

15、kak1， akak1， 即 k1 10 11 kk 10 11 k1， k1 10 11 kk2 10 11 k1， 整理得 10k1011k， 11k1110k20， 得 9k10， 所以 k9 或 10， 即数列an中的最大项为 a9a1010 10 119 . 方法归纳 求数列的最大(小)项的两种方法 一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况， 再求数列的最大项或最小项； 如本题利用差值比较法来探讨数列 的单调性，以此求解最大项 二是设 ak是最大项，则有 akak1 akak1 对任意的 kN且 k2 都成立，解不等式组即可 跟踪训练 4 已知数列an的通项公式为 ann2

16、5n4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an有最小值？并求出最小值 解析：(1)由 n25n40， 解得 1n4. nN，n2,3.数列中有两项是负数 (2)法一：ann25n4 n5 2 29 4，可知对称轴方程为 n5 22.5. 又nN，故 n2 或 3 时，an有最小值，且 a2a3，其最 小值为 225242. 法二：设第 n 项最小，由 anan1， anan1， 得 n25n4n125n14， n25n4n125n14. 解这个不等式组，得 2n3， n2,3，a2a3且最小， a2a3225242. 教材反思 1本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公 式的求法难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式 2要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法 以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一 项的方法 易错点 要注意以下两个易错点： 1并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如， 的不 同近似值， 依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141， ， 它没有通项公式 2如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种 形式