2022年高中数学人教B版选择性必修第三册课件：5.2.2　等差数列的前n项和 .ppt

1、5.2.2 等差数列的前n项和 最新课程标准 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程(难点) 2掌握等差数列前 n 项和公式及其应用(重点) 3能灵活应用等差数列前 n 项和的性质解题(难点、易错 点) 4会求等差数列前 n 项和的最值 教材要点教材要点 知识点一 数列的前 n 项和的概念 一般地，称_为数列an的前 n 项和， 用 Sn表示，即 Sn_. a1a2an1an a1a2an1an 知识点二 等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn_ Sn_ na1an 2 na1nn1 2 d 状元随笔 已知 n，an，d 能求 a1吗？ 提示

2、 能，a1an(1n)d，然后代入公式 知识点三 等差数列前 n 项和 Sn的最值 (1)若 a10，则数列的前面若干项为_项(或 0)， 所以将这些项相加即得Sn的最_值 (2)若 a10，d0，d0，则_是Sn的最_值； 若 a10，d0，则_是Sn的最大值 负数 小 正数 大 S1 小 S1 状元随笔 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，|an|的前 n 项和也是 Sn吗？ 提示 不一定 基础自测基础自测 1在等差数列an中，S10120，那么 a1a10( ) A10 B12 C20 D24 解析：由 S1010a 1a10 2 120，得 a1a1024. 答案：D 2已知an是

3、等差数列，a110，前 10 项和 S1070，则其 公差 d( ) A2 3 B 1 3 C. 1 3 D. 2 3 解析：S1010a1109 2 d70，又 a110，所以 d2 3. 答案：A 3若数列an的前 n 项和 Snn21，则 a4( ) A7 B8 C9 D17 解析：a4S4S3(421)(321)7. 答案：A 4等差数列an中，a11，d1，则 Sn_. 解析：因为 a11，d1， 所以 Snnnn1 2 1 2nn 2n 2 n 2n 2 nn1 2 . 答案：nn1 2 题型一 等差数列 Sn中基本量的计算 例 1 在等差数列an中 (1)已知 S848，S121

4、68，求 a1和 d； (2)已知 a610，S55，求 a8和 S8； (3)已知 a163，求 S31. 解析：(1)Snna11 2n(n1)d， 8a128d48， 12a166d168， 解方程组得 a18， d4. (2)a610，S55， a15d10， 5a110d5， 解方程组得 a15， d3， a8a62d102316， S88a 1a8 2 44. (3)S31a 1a31 2 31a163133193. 方法归纳 a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这 三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注 意利用等差数列的性质以

5、简化计算过程， 同时在具体求解过程中 还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用 跟踪训练 1 在等差数列an中 (1)a15 6，an 3 2，Sn5，求 n 和 d； (2)a14，S8172，求 a8和 d； (3)已知 d2，an11，Sn35，求 a1和 n. 解析：(1)由题意，得 Snna 1an 2 n 5 6 3 2 2 5， 解得 n15. 又 a155 6(151)d 3 2， d1 6. (2)由已知，得 S88a 1a8 2 84a 8 2 172，解得 a839， 又a84(81)d39，d5. (3)由 ana1n1d， Snna1nn1 2 d 得 a12n111

6、， na1nn1 2 235， 解方程组得 n5， a13 或 n7， a11. 题型二 等差数列中的最值问题 状元随笔 1将首项为 a12，公差 d3 的等差数列的前 n 项和看作 关于 n 的函数， 那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的 前 n 项和为 Sn3n2n， 那么这个数列是等差数列吗？上述结论 推广到一般情况成立吗？ 提示 首项为 2，公差为 3 的等差数列的前 n 项和为 Sn2n nn13 2 3 2n 21 2n， 显然 Sn是关于 n 的二次型函数 如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么当 n1 时，S1a1 4. 当 n2 时，anSnSn16n2，a1

7、也适合此式，则该数列的通 项公式为 an6n2，所以该数列为等差数列 一般地，等差数列的前 n 项和公式 Snna1nn1 2 dd 2n 2 a1d 2 n，若令 Ad 2，Ba1 d 2，则上式可写成 SnAn 2Bn(A，B 可以为 0) 2已知一个数列an的前 n 项和为 Snn25n，试画出 Sn 关于 n 的函数图像 你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？ 提示 Snn25n n5 2 225 4 ， 它的图像是分布在函数 y x25x 的图像上的离散的点， 由图像的开口方向可知该数列是 递增数列， 图像开始下降说明了an前 n 项为负数 由 Sn的图像 可知，Sn有

8、最小值且当 n2 或 3 时，Sn最小，最小值为6，即 数列an前 2 项或前 3 项和最小 例 2 数列an的前 n 项和 Sn33nn2. (1)求an的通项公式； (2)问an的前多少项和最大； (3)设 bn|an|，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析：(1)法一：当 n2 时，anSnSn1342n， 又当 n1 时，a1S133132 满足 an342n.故an 的通项公式为 an342n. 法二： 由 Snn233n 知 Sn是关于 n 的缺常数项的二次型 函数， 所以an是等差数列， 由 Sn的结构特征知 d 21， a1d 233， 解得 a132，d2，所以 an342

9、n. (2)法一：令 an0，得 342n0，所以 n17， 故数列an的前 17 项大于或等于零 又 a170，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大 法二：由 yx233x 的对称轴为 x33 2 . 距离33 2 最近的整数为 16,17.由 Snn233n 的 图像可知：当 n17 时，an0，当 n18 时，an0， 故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大 (3)由(2)知，当 n17 时，an0； 当 n18 时，an0. 所以当 n17 时，Snb1b2bn |a1|a2|an| a1a2anSn33nn2. 当 n18 时， Sn|a1|a2|a17|a18|a

10、n| a1a2a17(a18a19an) S17(SnS17)2S17Sn n233n544. 故 Sn 33nn2n17， n233n544n18. 状元随笔 (1)利用 Sn与 an的关系求通项，也可由 Sn的结 构特征求 a1，d，从而求出通项 (2)利用 Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项 的变号点求解 (3)利用 an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也 可以利用 Sn的函数特征判断项的正负求解 方法归纳 1在等差数列中，求 Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到 分界点该项的各项和为最大(小) (2)借助二次函数的图像及性

11、质求最值 2寻找正、负项分界点的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 an0 an10 或 an0 an10 来寻找 (2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的一侧的一个 正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即 为正、负项的分界点 3求解数列|an|的前 n 项和，应先判断an的各项的正负， 然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题 跟踪训练 2 (1)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2 3n，求证：数列an是等差数列； (2)数列an的前n项和Sn35n2n2， 求使Sn最大的n的值 (3)在等差数列an中，a1023，a2522

12、. 该数列第几项开始为负； 求数列|an|的前 n 项和 解析：(1)证明：a1S1132， 当 n2 时， anSnSn1(n23n)(n1)23(n1)2n 4， 当 n1 时，2n42a1， an2n4. anan1(2n4)2(n1)42(n2)， 所以an是等 差数列 (2)由 Sn35n2n22 n35 4 21 225 8 . 当且仅当 n9 时，Sn最大，故 n9. (3)设等差数列an中，公差为 d，由题意得 a25a1015d45， 23a1101d， a150， d3. 设第 n 项开始为负， an503(n1)533n53 3 ， 从第 18 项开始为负 |an|533

13、n| 533n1n17， 3n53n17. 当 n17 时，Sn3 2n 2103 2 n； 当 n17 时， Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19 an)， Sn 3 2n 2103 2 n 2S173 2n 2103 2 n884， Sn 3 2n 2103 2 nn17， 3 2n 2103 2 n884n17. 题型三 等差数列前 n 项和性质的应用 例 3 (1)已知等差数列an中，若 a1 0091，求 S2 017； (2)已知an，bn均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且Sn Tn 2n2 n3 ，求a5 b5. 解析：(1)法一：a1 0

14、09a11 008d1，S2 0172 017a1 20172016 2 d2 017(a11 008d)2 017. 法二：a1 009 a1a2017 2 ，S2 017 a1a2 017 2 2 0172 017a1 0092 017. (2)法一：a5 b5 a1a9 2 b1b9 2 a1a9 2 9 b1b9 2 9 S9 T9 292 93 5 3. 法二：Sn Tn 2n2 n3 n2n2 nn3 ， 设 Sn2n22n，Tnn23n，a5S5S420，b5T5 T412， a5 b5 20 12 5 3. 状元随笔 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程 组求解，或结合

15、等差数列的性质求解 方法归纳 等差数列的前 n 项和常用性质 1若an是等差数列，则 Sna 1an 2 nna中(a中为 a1与 an 的等差中项) 2若an，bn均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn， 则an bn S2n1 T2n1. 3等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k，组 成公差为 k2d 的等差数列 4若 S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为 d， 当项数为偶数 2n 时，S偶S奇nd，S 奇 S偶 an an1； 当项数为奇数 2n1 时，S奇S偶an，S 奇 S偶 n n1. 跟踪训练 3 (1)已知在等差数列an中，a1a2a324

16、， a18a19a2078，则此数列前 20 项和等于( ) A160 B180 C200 D220 (2)一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的中间 项为_ B 5 解析：(1)a1a2a324，a18a19a2078， a1a20a2a19a3a1818， S2020a 1a20 2 1018180. (2)由条件知 a1a3a5a7a9a1130， 又a1a11a3a9a5a7，a5a72a610， 中间项 a65. (3)在等差数列an中，已知 a3a1540，求 S17. 解析：法一：a1a17a3a15，S1717a 1a17 2 17a3a15 2 1740 2 340. 法二：a3a152a116d40，a18d20， S1717a11716 2 d17(a18d)1720340. 法三：a3a152a940，a920，S1717a9340. 教材反思 1求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某 些数列求和中也可能用到 2等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an，Sn，n， d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量， 在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运 用：若 stpq，则 asatapaq(s，t，p，qN)，若 2s pq，则 2asapaq.