（新教材）2021年高中数学人教B版选择性必修第三册学案：5.3.1第1课时　等比数列的定义（含解析）.doc

1、5.3 等比数列等比数列 53.1 等比数列等比数列 第第 1 课时课时 等比数列的定义等比数列的定义 最新课程标准 1.理解等比数列的定义(重点) 2掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点) 3熟练掌握等比数列的判定方法(易错点) 教材要点教材要点 知识点一 等比数列的概念 (1)文字语言： 一般地， 如果一个数列an从第_项起， 每一项与它的 前一项之比都等于_，那么这个数列an就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母 q 表示 (q0) (2)符号语言： an1 an q(q 为常数，q0，nN) 状元随笔 等比数列还可以用哪种符号语言表示？ 提示 an an1q(

2、q 为常数，q0，n2，nN ) 知识点二 等比数列的通项公式 一般地， 对于等比数列an的第 n 项 an， 有公式 an_. 这就是等比数列an的通项公式，其中 a1为首项，q 为公比 知识点三 等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 an_，而 f(x) a1 q qx(q1)是一个不为 0 的常数a1 q 与指数函数 qx的乘积， 从图像上 看，表示数列a1 q qn中的各项的点是函数 y_的图像上的 _点 基础自测基础自测 1已知数列 a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数 a 满足( ) Aa1 Ba0 或 a1 Ca0 Da0 且 a1 2已知an是首项为

3、 2，公比为 3 的等比数列，则这个数列 的通项公式为( ) Aan2 3n 1 Ba n3 2 n1 Can2 3n 1 Da n3 2 n1 3在等比数列an中，若 a10，a218，a48，则公比 q 等于( ) A.3 2 B. 2 3 C2 3 D. 2 3或 2 3 4已知an是等比数列，a22，a51 4，则公比 q_. 题型一 等比数列的判断 例 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn1 3(an1)(nN) (1)求 a1，a2； (2)求证：数列an是等比数列 方法归纳 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 1定义法：a n1 an q(q 为常数且不为零)an为等比

4、数列 2等比中项法：a2 n1anan2(nN且 an0)an为等比数 列 3通项公式法：ana1qn 1(a 10 且 q0)an为等比数列 4构造法：在条件中出现 an1kanb 关系时，往往构造数 列， 方法是把 an1xk(anx)与 an1kanb 对照， 求出 x 即可 跟踪训练 1 已知数列an的前 n 项和 Sn2an1，求证an 是等比数列，并求出通项公式 题型二 等比数列的通项公式 状元随笔 1. 类比归纳等差数列通项公式的方法， 你能归纳出首项为 a1， 公比为 q 的等比数列an的通项公式吗？ 提示 由等比数列的定义可知： a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1

5、q3， a5a4qa1q4， 由此归纳等比数列an的通项公式为 ana1qn 1. 2由等比数列的定义式a n1 an q(q0)你能用累乘法求出用首 项 a1，公比 q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am及 公比 q 表示 an吗？ 提示 由a n1 an q，知a2 a1q， a3 a2q， a4 a3q， an an1q，将 以上各式两边分别相乘可得an a1q n1，则 a na1q n1； 由 ana1qn 1， ama1qm 1 两式相比得 an amq nm， 则 anam qn m，事实上该式为等比数列通项公式的推广 3 在等比数列的通项公式 ana1qn 1 中，

6、 若已知 a12， q1 2， 你能求出 a3吗？若已知 a12，a38，你能求出公比 q 吗？这说 明了什么？ 提示 若 a12，q1 2，则 a32 1 2 21 2； 若 a12，a38，则 2 q28， 所以 q 2， 由此说明在 ana1qn 1 中所含四个量中能“知三求一” 例 2 在等比数列an中，a332，a58. (1)求数列an的通项公式 an； (2)若 an1 2，求 n. 方法归纳 1等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道 其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和 q 是等比 数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解 2关于

7、 a1和 q 的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再 求 an，这是常规方法 (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后 求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算 跟踪训练 2 在等比数列an中 (1)若它的前三项分别为 5，15,45，求 a5； (2)若 a42，a78，求 an. 教材反思 1本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项 问题，难点是等比数列的证明 2本节课要重点掌握的规律方法 (1)等比数列的判断与证明的方法 (2)等比数列通项公式的求法 等比数列的通项公式 ana1qn 1

8、共涉及 a1，q，n，an四个量， 已知其中三个量可求得第四个量 温馨提示：请完成课时分层作业温馨提示：请完成课时分层作业 六六 53 等比数列等比数列 53.1 等比数列等比数列 第第 1 课时课时 等等比数列的定义比数列的定义 新知初探新知初探 自主学习自主学习 知识点一 (1)2 同一常数 公比 知识点二 a1qn 1 知识点三 a1 q qn a1 q qx 孤立 基础自测基础自测 1解析：由于 a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则 a 需满足 a0，a(1a)0，a(1a)20，所以 a0 且 a1. 答案：D 2解析：由已知可得 a12，q3，则数列an的通项公式为 ana

9、1 qn 12 3n1. 答案：C 3解析：由 a1q18， a1q38， 解得 a127， q2 3 或 a127， q2 3 . 又 a10，因此 q2 3. 答案：C 4解析：a2a1q2， a5a1q41 4， 得：q31 8，q 1 2. 答案：1 2 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：(1)由 S11 3(a11)，得 a1 1 3(a11)， a11 2. 又 S21 3(a21)，即 a1a2 1 3(a21)，得 a2 1 4. (2)证明：当 n2 时， anSnSn11 3(an1) 1 3(an11)， 得 an an1 1 2.又 a1 1 2， 所以

10、an是首项为1 2，公比为 1 2的等比数列 跟踪训练 1 证明：Sn2an1， Sn12an11. an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an，an1 2an， 又S12a11a1，a110. 又由 an12an知 an0， a n1 an 2，an是等比数列 an12n 12n1. 例 2 解析：(1)因为 a5a3q2，所以 q2a5 a3 1 4. 所以 q 1 2. 当 q1 2时，ana3q n332 1 2 n328n； 当 q1 2时，ana3q n332 1 2 n3. 所以 an28 n 或 an32 1 2 n3. (2)当 an1 2时，2 8n1 2或 32 1 2 n31 2， 解得 n9. 跟踪训练 2 解析：(1)a5a1q4，而 a15， qa2 a13， a5405. (2) a4a1q3， a7a1q6， a1q32， a1q68， 由 得 q 34，从而 q3 4，而 a1q32， 于是 a1 2 q3 1 2，ana1q n122n5 3 .