数学人教版八年级上册课件13-3等腰三角形（第1课时）.ppt

1、第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第1课时 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 学习目标 导入新课导入新课 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰腰 腰腰 底边底边 顶 角 顶 角 底角底角 底角底角 讲授新课讲授新课 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并 剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直 角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究

2、 等腰三角形的性质 A A B B C C AB=ACAB=AC 等腰三角形等腰三角形 折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 A C B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C BAD 与与CAD ADB 与与ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. A B C 已知：ABC中，AB=AC, 求证：B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形

3、的两个底角相等 如何证明两个 角相等呢？ 可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证 已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C. A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等). 在BAD和CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的 证法吗？ 已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则BAD=CAD. AB=AC ( 已知 ), BAD=CAD (

4、 已作 ), AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在BAD和CAD中 想一想：由BAD CAD，除了可以得到B= C之外，你 还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下， 看看你有什么新的发现？ 解：BAD CAD，由全等三角形的 性质易得BD=CD,ADB=ADC， BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ， 即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶 角BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B

5、 如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）. A C B D 1 2 AB=AC, 1=2(已知)， BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）. AB=AC, BD=CD (已知)， 1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）. AB=AC, ADBC(已知)， BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在ABC中, 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是

6、等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （） （） A B C D 例1 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求ABC各角的度数. 典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ A=ABD, C=BDC=ABC； ABC, ABD, BCD. A B C D x 2x 2x （3）观察BDC与A、ABD的关 系，ABC、C呢？ BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD, ABC= BDC=2

7、A, C= BDC=2 A. （4）设A=x,请把 ABC的内 角和用含x的式子表示出来. A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 , A B C D 解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解得x=36 ，在ABC中， A=36，ABC=C=72. x 2x 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程 思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 如图，在ABC中，AB=AD=DC，BA

8、D=26， 求B和C的度数. 解：AB=AD=DC B= ADB，C= DAC 设 C=x，则 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x， 在ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180， 解得x=38.5. C= x=38.5， B=2x=77. 针对训练： 例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角 形的底角的大小是( ) A65或50 B80或40 C65或80 D50或80 解析：当50的角是底角时，三角形的底角就是 50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65.故选A. A 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内

9、角，则这个角可能是底角也可能是顶角， 要分两种情况讨论 例3 已知点D、E在ABC的边BC上，ABAC. (1)如图，若ADAE，求证：BDCE； (2)如图，若BDCE，F为DE的中点，求证： AFBC. 典例精析 图 图 证明：(1)如图，过A作 AGBC于G. ABAC，ADAE， BGCG，DGEG， BGDGCGEG， BDCE； (2)BDCE，F为DE的中点， BDDFCEEF， BFCF. ABAC，AFBC. 图 图 G 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中， 有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上 的高、底边上的中线是常见的辅助线 当堂练习当堂练习 2.如图，在ABC中

10、，AB=AC，过点A作ADBC，若 1=70，则BAC的大小为（ ） A40 B30 C70 D50 A 1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（ ） A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B 3.(1)等腰三角形一个底角为为75, ,它的另 外两个角为_ _； (2)等腰三角形一个角为36, ,它的另外 两个角为_； (3)等腰三角形一个角为120, ,它的另外 两个角为_ _ _ _. . 75, 30 72,72或或36,108 30，30 4.在ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为 _ A B C A B

11、 C 70或20 注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐 角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 5.如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， B = 30，求 BAD 和 ADC的度数. A B C D 解：AB=AC，D是BC边上的中点， C= B=30， BAD = DAC， ADC = 90. BAC =180 - 30-30 = 120. 1 2 BADBAC = 60. 6.如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底 角的平分线，且DBCF，求证：ECDF. DBCECB. DBCF，ECBF， ECDF. 证明：ABC为等腰三角形，ABAC， ABCACB. 又BD、CE为底角的平分线， 11 22 DBCABCECBACB， 7.A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边 长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰 三角形的所有格点C的位置 A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类这样分类 就不会漏就不会漏 啦！啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓展提升： 课堂小结课堂小结 等腰三角 形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不具 有这一性质.