数学人教版八年级上册课件13-3等腰三角形（第3课时）.ppt

1、第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第3课时 1探索等边三角形的性质和判定（重点） 2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明（难点） 学习目标 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长 度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设 计出几种形状的三角形？ 问题引入 导入新课导入新课 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与 腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都 相等的三角形叫作等边三角形. 名 称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有

2、两条边相等 的三角形叫做 等腰三角形 讲授新课讲授新课 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC B=C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC B=C AC=BC A=B A=B=C 内角和 为180 =60 等边三角形的性质 结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60. 已知：AB=AC=BC ， 求证：A= B=C= 60. 证明： AB=AC. B=C .(等边对等角) 同理 A=C . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 . A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”

3、的性质吗?等边 三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平 分线都“三线合一”. 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 且都是60 两条边相等 三条边都相等 知识要点 例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE， 求CED的度数 解：ABC是等边三角形， ABCACB60.

4、ABE40， EBCABCABE604020. BEDE， DEBC20， CEDACBD40. 典例精析 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个 内角都是60，这个性质常应用在求三角形角度的 问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角 和与外角的性质. 变式训练： 如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长 BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE 证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线， ABC=ACB=60，DBC=30 又CE=CD， CDE=CED 又BCD=CDE+CED， CDE=CED=30 DBC=DEC DB=DE（等角对等边） 例2 ABC为正三角形，点M

5、是BC边上任意 一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN， BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？ 解：ABC为正三角形， ABCCBAC60，ABBC. 又BMCN， AMBBNC(SAS)， BAMCBN， BQMABQBAM ABQCBNABC60. 方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形 的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判 定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的 性质，求角度或证明边相等. 类比探究 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形 是等边三角形 等边三角形 从角看：两个角相等的三 角形是等腰三角形 从边看：两条边相等的 三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角

6、形 是等边三角形 小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60 的三角形也是等边三角形”，你同意吗？ 等边三角形的判定方法： 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不不 是是 是是 是是 是是 是是 （4） （3） 不不 一一 定定 是是 例3 如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形. A C B D E 典例精析 证明： ABC是等边三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形. 想一

7、想：本题还有其他证法吗？ 证明： ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形. 变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？ A D E B C 变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DEBC，结论依然成立吗？ 证明： ABC 是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形 A D E B C 变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗

8、?试说明理由. A C B D E 证明： ABC是等边三角形， A= B= C. AD=AE, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形. 例4 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且 ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？ 试证明你的结论 解：APQ为等边三角形 证明如下：ABC为等边三角形， ABAC. BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)， APAQ，BAPCAQ. BACBAPPAC60， PAQCAQPAC60， APQ是等边三角形 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方 法：一是证明三角形三条边相等；二

9、是证明三角形 三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形， 再证明有一个内角等于60. 针对训练： 如图，等边ABC中，D、E、F分 别是各边上的一点，且AD=BE=CF 求证：DEF是等边三角形 证明：ABC为等边三角形，且 AD=BE=CF AF=BD=CE，A=B=C=60， ADFBEDCFE（SAS）， DF=ED=EF， DEF是等边三角形 当堂练习当堂练习 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O， DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ） A

10、105 B120 C135 D150 B 3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则 CDF的度数是（ ） A10 B15 C20 D25 4.如图, ,ABC和ADE都是等边 三角形，已知ABC的周长为 18cm,EC =2cm,则ADE的周长 是 cm. A C B D E 12 B 5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为 边在ABC外作等边ABD，E是AB的中点，连接CE并延长 交AD于F求证：AEFBEC 证明：ABD是等边三角形， DAB=60， CAB=30，ACB=90， EBC=180-90-30=60， FAE=EBC E为AB的中点， AE=BE

11、 又 AEFBEC， AEFBEC（ASA） 6.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等 边三角形，求AEB的大小. C B O D A E 解： OAB和OCD是两个 全等的等边三角形. AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60. A、O、D三点共线， DOB=COA=120， COA DOB(SAS). DBO=CAO. 设OB与EA相交于点F, EFB=AFO， AEB=AOB=60. F 7.图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是 等边三角形 (1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究

12、CEF 的形状，并证明你的结论 拓展提升： 图 图 解：(1)ANBM. 理由：ACM与CBN都是等边三角形， ACMC，CNCB，ACMBCN60. ACNMCB. ACNMCB(SAS) ANBM. 图 (2)CEF是等边三角形 证明：ACEFCM=60， ECF=60. ACNMCB， CAECMB. ACMC， ACEMCF(ASA)， CECF. CEF是等边三角形 图 课堂小结课堂小结 等 边 三 角 形 定 义 底=腰 特殊性 性 质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 轴对称性 轴对称图形，每条 边上都具有“三线 合一”性质 判 定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法