数学人教版八年级上册课件11-3多边形及其内角和（第2课时）.ppt

1、第十一章 三角形 11.3多边形及其内角和 第2课时 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. （重点） 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. （难点） 学习目标 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的 想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”. 导入新课导入新课 情景引入 思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180. 都是360. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 讲授新课讲授新课 多边形的内角和 猜想：四边

2、形ABCD的内角和是360. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 1802=360. A B C D A B C D E 方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 1803-(AEB+AED+CED)=1803- 180=360. 方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：ABE,ADE,CDE,CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 1804-(AEB+

3、AED+CED+CEB) =1804-360=360. A B C D E A B C D P 方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180 3 180 = 360. 这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360. 例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么 关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中， A+ C =180. A+B+C+D=(42) 180 = 360 ， 因为 BD= 360（AC）

4、 = 360 180 =180. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平 分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直 角三角形 证明：在四边形ABCD中，A与C互补， ABC+ADC=180， BE平分ABC，DF平分ADC， CDF+EBF=90， BEDF，EBF=CFD， CDF+CFD=90， 故DCF为直角三角形 运用了整体思想 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180 3 =

5、540. 内角和为180 4 = 720. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角 形的个数 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 图形 边数 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 （ n -2 ） 180 1180 =180 2180 =360 3180 =540 4180 =720 由特殊到一般 分割 多边形 三角形 分割点与多边 形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)180 . 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是

6、多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）180=360+720， 解得n=8， 这个多边形的每个内角都相等， （8-2）180=1080， 它每一个内角的度数为10808=135 典例精析 例3 已知n边形的内角和=（n-2）180 （1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取 630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不 对，说明理由； 解：360180=2， 630180=3.90， 甲的说法对，乙的说法不对， 360180+2=4 故甲同学说的边数n是4； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360，用列方程的方法确定x 解：依题意有 （n+x-2）180-（

7、n-2） 180=360， 解得x=2 故x的值是2 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这 个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125x1125180， 即180645x180745， 因为x为多边形的内角和，所以它是180的倍数， 所以x18071260. 所以729，12601125135. 因此，漏加的这个内角是135，这个多边形是九边形 思路点拨：多边形的内角的度数在0180之间. 例4 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75， E=135，AP平分

8、EAB，BP平分ABC，求P的度 数 解析：根据五边形的内角和等于540，由C,D, E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求 得P的度数 可运用了 整体思想 解：EAB+ABC+C+D+E=540， C=100，D=75，E=135， EAB+ABC=540-C-D-E=230. AP平分EAB, PAB EAB， 同理可得ABP ABC， P+PAB+PBA=180， P=180-PAB-PBA =180 (EAB+ABC)=180 230=65 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1

9、3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这 是为什么吗？ 如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和 叫做五边形的外角和 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5180=900 多边形的外角和 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 = =5个平角 五边形内角和 = =5180 (52) 180 结

10、论：五边形的外角和等于360. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？ 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做n边形的外角和 n边形外角和 n边形的外角和等于360. (n2) 180 =360 =n个平角-n边形内角和 = n180 An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每 个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 (2) 180 , n n 360 . n 练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 ,那么这是正_边形.

11、 (2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形. 六 正八 典例精析 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)180， 多边形外角和等于360， (n2)180=2 360 . 解得 n=6. 这个多边形的边数为6. 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x ,外角为2x, 根据题意得 7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 ，每个外角是40 . 360 40 =9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他 解法吗

12、？ 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 18027 , 3602 n 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60，求这个多边形的每个内角的度数及边数 解：设该正多边形的内角是x，外角是y， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360， 则该正多边形的边数为360120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三 条 60, 180, yx xy 60, 120. x y 例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 BED的度数 解：由题意得 AB=AE,所以AEB= (180-A)=36， 所以BED=AED-A

13、EB=108-36=72. 52180 =108 5 AAED ， 1 2 当堂练习当堂练习 1.判断 (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ( ) 2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的 每一个内角等于_ 120 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24，再沿直线前进10米，又向左转24， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_米 150 4.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800 B.540 C.720 D.810 D

14、 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360 B.540 C.720 D.900 B 6. 一个多边形的内角和为1800，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和. 解：180018010， 原多边形边数为10212. 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是1620，1800，1980. 能力提升：如图，求12345 67的度数. 解：如图， 3489， 1234567 1289567 五边形的内角和540. 8 9 课堂小结课堂小结 多边形 的内角 和 内角和计 算 公 式 (n-2) 180 (n 3的整数） 外角 和 多边形的外角和等于360 特别注意：与边数无关. 正多 边形 内角= ，外角= (2) 180n n 360 n