扬州高三数学寒假作业及答案（19）.docx

1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1919 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1设函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B，则 AB（ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 2已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ （a+bi）22i”是“ab1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设 2a5bm，且1 + 1 =1，则 m 等于（ ） A10 B10 C20 D100 4等差数列an的公差不为 0若 a

2、2，a3，a6成等比数列，且 a1+a44，则an前 6 项 的和为（ ） A24 B3 C3 D8 5若将函数 f（x）sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是（ ） A 8 B 4 C3 8 D3 4 6x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（x）xx在 R 上为（ ） A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数 7在如图的平面图形中，已知 OM1，ON2，MON120， =2 ， =2 ， 则 的值为（ ） A15 B9 C6 D0 8设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两

3、点，O 为 坐标原点，则OAB 的面积为（ ） A33 4 B93 8 C63 32 D9 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 设函数 f （x） 的定义域为 R， x0（x00） 是 f （x） 的极大值点， 以下结论错误的是 （ ） AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点 Cx0是f（x）的极小值点 Dx

4、0是f（x）的极小值点 10， 是两个平面，m，n 是两条直线，下列四个命题中正确的命题是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 m，n，那么 mn C如果 ，m，那么 m D如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 11设 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 P 若|1| = 6|， 则下列说法正确的是 （ ） A|F2P|b B双曲线的离心率为3 C双曲线的渐近线方程为 = 2 D点 P 在直线 = 3 3 上 12已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx

5、|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间 2， 2上是增函数 C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2= 2 （kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13山西省高考将实行 3+3 模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、生物、历史、 政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他 们选科至少两科相同的概率为 14函数 yx2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为

6、 ak+1，k 为 正整数，a116，则 a1+a3+a5 15 已知圆锥的顶点为 S， 母线 SA， SB 所成角的余弦值为7 8， SA 与圆锥底面所成角为 45， 若SAB 的面积为 515，则该圆锥的侧面积为 16设函数 f（x）= 2 ，1 4( )( 2)， 1 若 a1，则 f（x）的最小值为 ； 若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知数列an满足 a1+a2+a3+an2n（nN*） （1）求数列an的

7、通项公式； （2）若 bn（n+1） log2an，求数列 1 （nN*）的前 n 项和 Sn 18在3asinC4ccosA，2bsin: 2 =5asinB 这两个条件中任选一个，补充在下面问 题中，然后解答补充完整的题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，a32 （1）求 sinA； （2）如图，M 为边 AC 上一点 MCMBABM= 2，求ABC 的面积 19如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，BC2AC2，AB2DE，且 D 点在 平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H 且 DH1 （1）证明：面 BCE面 ABC； （2）求 BD

8、 与面 CDE 夹角的余弦值 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1919（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求. 1设函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B，则 AB（ ） A （1，2） B （1，2 C （2，1） D2，1） 【解答】解：函数 y= 4 2的定义域为 A，函数 yln（x1）的定义域为 B， Ax|4x20 x|2x2， Bx|x10 x|x1 ABx|1x

9、2（1，2 故选：B 2已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ （a+bi）22i”是“ab1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： “ （a+bi）22i”得：a2b2+2abi2i， 即 2 2= 0 2 = 2 ，即 ab1 或 ab1， 又“ab1 或 ab1”是“ab1”的必要不充分条件， 即“ （a+bi）22i”是“ab1”的必要不充分条件， 故选：B 3设 2a5bm，且1 + 1 =1，则 m 等于（ ） A10 B10 C20 D100 【解答】解：由 2a5bm，得 alog2m，blog5m， 由1 + 1 =1，

10、得 1 2 + 1 5 = 2 + 5 =logm101， m10， 故选：B 4等差数列an的公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，且 a1+a44，则an前 6 项 的和为（ ） A24 B3 C3 D8 【解答】解：设an的公差为 d（d0） ， 由 a2，a3，a6成等比数列可得3 2 = 26， 得(1+ 2)2= (1+ )(1+ 5)，化为 2a1+d0， 又 2a1+3d4， 所以 a11，d2， 6= 6 1 + 65 2 (2) = 24 故选：A 5若将函数 f（x）sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是（ ） A

11、 8 B 4 C3 8 D3 4 【解答】解：函数 f（x）sin2x+cos2x= 2sin（2x+ 4）的图象向右平移 的单位， 所得图象是函数 y= 2sin（2x+ 4 2） ， 图象关于 y 轴对称，可得 4 2k+ 2，kZ 即 = 2 8，kZ 当 k1 时， 的最小正值是3 8 故选：C 6x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（x）xx在 R 上为（ ） A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数 【解答】解：f（x）xx， f（x+1）（x+1）x+1x+1x1xxf（x） ， f（x）xx在 R 上为周期是 1 的函数 故选：D 7在如图的平面图形中，已知 O

12、M1，ON2，MON120， =2 ， =2 ， 则 的值为（ ） A15 B9 C6 D0 【解答】解：解法，由题意， =2 ， =2 ， = =2，BCMN，且 BC3MN， 又 MN2OM2+ON22OMONcos1201+4212（ 1 2）7， MN= 7； BC37， cosOMN= 2+2 2 2 = 1+74 217 = 2 7， =| | |cos（OMN）37 1（ 2 7）6 解题：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形， 由 OM1，ON2，MON120， =2 ， =2 ， 知 = =3 3 = 3 +3 ， =（3 +3 ） 3 2 +3 312+321cos120

13、6 故选：C 8设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为 坐标原点，则OAB 的面积为（ ） A33 4 B93 8 C63 32 D9 4 【解答】解：由 y22px，得 2p3，p= 3 2， 则 F（3 4，0） 过 A，B 的直线方程为 y= 3 3 （x 3 4） ， 即 x= 3y+ 3 4 联立 2= 3 = 3 + 3 4 ，得 4y2123y90 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y233，y1y2= 9 4 SOABSOAF+SOFB= 1 2 3 4|y1y2|= 3 8(1 + 2)2

14、412= 3 8 (33)2+ 9 = 9 4 故选：D 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 设函数 f （x） 的定义域为 R， x0（x00） 是 f （x） 的极大值点， 以下结论错误的是 （ ） AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点 Cx0是f（x）的极小值点 Dx0是f（x）的极小值点 【解答】解：AxR，f（x）f（x0） ，错误x0（x00）是 f（x）的极大值点，并不 是最大值点； Bx0是 f（x）的极小值点错误f（x）相当于 f（x）关于 y 轴的对称图象，故 x0应是 f（x）的极大值点；Cx0是f（x）的极小值点错误f（x）相当于 f（x）关于 x

15、 轴的对称图象，故 x0应是f（x）的极小值点跟x0没有关系； Dx0是f（x）的极小值点正确f（x）相当于 f（x）先关于 y 轴的对称， 再关于 x 轴的对称图象故 D 正确 故选：ABC 10， 是两个平面，m，n 是两条直线，下列四个命题中正确的命题是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 m，n，那么 mn C如果 ，m，那么 m D如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 【解答】解：如果 mn，m，n，不能得出 ，故 A 错误； 如果 n，则存在直线 l，使 nl，由 m，可得 ml，那么 mn故 B 正确； 如果 ，m，那么 m 与 无公共点，则 m故 C

16、 正确 如果 mn，那么 m，n 与 所成的角和 m，n 与 所成的角均相等故 D 正确； 故选：BCD 11设 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 P 若|1| = 6|， 则下列说法正确的是 （ ） A|F2P|b B双曲线的离心率为3 C双曲线的渐近线方程为 = 2 D点 P 在直线 = 3 3 上 【解答】解：由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为 y= ，焦点 F1（c， 0） ，F2（c，0） ， 以该渐近线为例，由 F2作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得： |PF2|

17、= |0| 2+2 = = ，故 A 正确， 又|OP|= |2|2 |2|2= 2 2=a， 则cosF1OPcosPOF2= | |2| = ， |PF1|= 6|OP|= 6a， 则在三角形 OPF1中， 根据余弦定理： cosF1OP= |2+|1|2|1|2 2|1| = 2+262 2 = ， 解得 c23a2，则离心率 e= 3，B 正确， 又 e=1 + 2 2 = 3，解得 =2，所以渐近线方程为 y= 2x，C 正确， 设 P（x0，y0） ，则 y0= 20，又|OP|a，解得 x0= 3 3 a，D 正确， 故选：ABCD 12已知函数 f（x）（sinx+cosx）|

18、sinxcosx|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间 2， 2上是增函数 C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2= 2 （kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 【解答】解：f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|= 2 2， 2 2， = 2， 2， 其图象如图： 由图可知，f（x）是周期为 2 的周期函数，故 A 正确； f（x）在区间 2， 2上不是单调函数，故 B 错误； 若|f（x1）|+|f（x2）|2，由|f（x1）|1，|f（x2）|1， 则只有|f（x1）|f（x2）|1，即 x1，x2只

19、能是函数的最值点的横坐标， 可得 x1+x2= 2 （kZ） ，故 C 正确； 函数 g（x）f（x）+1 的图象是把 yf（x）的图象向上平移 1 个单位得到的，则在区间 0，2上有且仅有 2 个零点，故 D 错误 说法正确的是 AC 故选：AC 三、填空题三、填空题 13山西省高考将实行 3+3 模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、生物、历史、 政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他 们选科至少两科相同的概率为 1 2 【解答】解：山西省高考将实行 3+3 模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物， 历史，政治，地理六选三， 今年高一的小明与小

20、芳进行选科，假设他们对六科没有偏好， 基本事件总数 n= 6 363 =400， 他们选科至少两科相同包含的基本事件个数 m= 6 242 + 6 3 =200， 他们选科至少两科相同的概率为 p= = 200 400 = 1 2 故答案为：1 2 14函数 yx2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1，k 为 正整数，a116，则 a1+a3+a5 21 【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：yak22ak（xak） ， 当 y0 时，解得 = 2 ， 所以:1= 2 ，1+ 3+ 5= 16 + 4 + 1 = 21 故答案为：21 15 已

21、知圆锥的顶点为 S， 母线 SA， SB 所成角的余弦值为7 8， SA 与圆锥底面所成角为 45， 若SAB 的面积为 515，则该圆锥的侧面积为 402 【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8，可得 sinASB= 1 (7 8) 2 = 15 8 SAB 的面积为 515， 可得1 2 2sinASB515，即1 2 2 15 8 =515，即 SA45 SA 与圆锥底面所成角为 45，可得圆锥的底面半径为： 2 2 45 =210 则该圆锥的侧面积：1 2 410 45402 故答案为：402 16设函数 f（x）= 2 ，1 4( )( 2)， 1 若

22、 a1，则 f（x）的最小值为 1 ； 若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 1 2 a1 或 a2 【解答】解：当 a1 时，f（x）= 2 1，1 4( 1)( 2)， 1， 当 x1 时，f（x）2x1 为增函数，f（x）1， 当 x1 时，f（x）4（x1） （x2）4（x23x+2）4（x 3 2） 21， 当 1x 3 2时，函数单调递减，当 x 3 2时，函数单调递增， 故当 x= 3 2时，f（x）minf（ 3 2）1， 设 h（x）2xa，g（x）4（xa） （x2a） 若在 x1 时，h（x）与 x 轴有一个交点， 所以 a0，并且当 x1 时，h（1）

23、2a0，所以 0a2， 而函数 g（x）4（xa） （x2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1， 所以1 2 a1， 若函数 h（x）2xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点， 则函数 g（x）4（xa） （x2a）有两个交点， 当 a0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去） ， 当 h（1）2a0 时，即 a2 时，g（x）的两个交点满足 x1a，x22a，都是满足 题意的， 综上所述 a 的取值范围是1 2 a1，或 a2 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知数列an满足 a1+a

24、2+a3+an2n（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1） log2an，求数列 1 （nN*）的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）当 n1 时，a12 a1+a2+a3+an2n（nN*） 当 n2 时 a1+a2+a3+an12n 1 得= 2;1经检验 a1不符合上式2， = 1 2;1， 2 （6 分） （2）由（1）得当 n1 时 b12， 当 n2 时，bn（n+1）log2an（n+1） （n1） ， 1 = 1 (;1)(:1) = 1 2 ( 1 ;1 1 :1)( 2) Sn= 1 2 + 1 2 （ 1 1 3 + 1 2 1 4 + 1

25、3 1 5 + + 1 2 1 + 1 1 1 +1 ） = 1 2 + 1 2 (3 2 1 1 +1) = 5 4 2+1 2(+1) = 1 1 + 1 2 + + 1 = 5 4 2+1 2(+1) （12 分） 18在3asinC4ccosA，2bsin: 2 =5asinB 这两个条件中任选一个，补充在下面问 题中，然后解答补充完整的题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，a32 （1）求 sinA； （2）如图，M 为边 AC 上一点 MCMBABM= 2，求ABC 的面积 【解答】解：若选择条件，则： （1）在ABC 中，由正弦定理可得 3sinAs

26、inC4sinCcosA， 因为 sinC0， 所以 3sinA4cosA，可得 9sin2A16cos2A， 所以 25sin2A16， 因为 sinA0， 所以 sinA= 4 5 （2）设 BMMCm，易知 cosBMCcosBMAsinA= 4 5， 在BMC 中，由余弦定理可得 182m22m2 （ 4 5） ，解得 m= 5， 所以 SBMC= 1 2m 2sinBMC=1 2 5 3 5 = 3 2， 在 RtABM 中， sinA= 4 5， BM= 5， ABM= 2， 所以 AB= 35 4 ，所以 SABM= 15 8 ， 所以 SABCSBMC+SABM= 3 2 +

27、15 8 = 27 8 若选择，则： （1）因为2 + 2 = 5， 所以 2bsin; 2 =5asinB， 由正弦定理可得 2sinBcos 2 =5sinAsinB， 因为 sinB0， 所以 2cos 2 =5sinA，2cos 2 =5 2sin 2 cos 2， 因为 cos 2 0， 可得 sin 2 = 1 5 ，则 cos 2 = 2 5 ， 所以 sinA2sin 2cos 2 = 4 5 （2）同选择 19如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，BC2AC2，AB2DE，且 D 点在 平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H 且 DH1 （1）证明：面 B

28、CE面 ABC； （2）求 BD 与面 CDE 夹角的余弦值 【解答】 （1）证明：取 BC 的中点 F，连接 EF，HF H，F 分别为 AC，BC 的中点， HFAB，且 AB2HF 又 DEAB，AB2DE， HFDE 且 HFDE， 四边形 DEFH 为平行四边形 EFDH， 又 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H， DH平面 ABC， EF平面 ABC，EF面 BCE面 ECB面 ABC （2）解：DH平面 ABC，ACBC， 以 C 为原点，建立空间直角坐标系， 则 B（0，2，0） ，D（1 2，0，1） ，E（0，1，1） 设平面 CDE 的法向 =（x，y，z） ， =（1 2，0，1） ， =（0，1，1） ， 则 1 2 + = 0 + = 0 ，取 y1，则 x2，z1 =（2，1，1） ， = (1 2， 2，1)， = | ， | = | | | | = 214 21 ， BD 与面 CDE 夹角的余弦值为385 21