2021合肥市高三文科数学一模试卷及答案.pdf

1、高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 3 页） 合肥市2021 年高三第一次教学质量检测 数学(文)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2 14. 15. 22 16. 21 3 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 解：(1)由已知 3 57 5 231 a aa ，解得 1 1 2 a d ，21 n an.5分 (2) 12 12 22

2、2 n aaa nn Saaa 12 12 222 n aaa n aaa 2 14 121 214 n nn 21 2 22 . 3 n n 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)由样本统计数据可知，样本中男生180人，其中“握笔姿势正确” 的有24人；女生120人，其中“握笔姿势正确”的有30人，从而估计该地区 初中毕业生中男生、女生“握笔姿势正确”的概率分别为 2 15 和 1 4 . 4分 (2)由列联表计算得 2 2 300156 3024 90 6.6406.635 54 246 180 120 K ， 所以，有99%的把握认为该地区初中毕业生“

3、握笔姿势是否正确”与性别有关.8分 (3)由(2)结论知，该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关。此外，从样本数据能够看出，该地区初 中毕业生中，男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异，因此，在调查时，男生和女生应该分成两层，采用分层 抽样的方法更好. 12分 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) 解：(1)点FG，分别为ABAC，的中点，FGBC. FG 平面PBC，BC 平面PBC，FG平面PBC. 延长FG交CD于点H，连接EH. GHBC，ADBC，GHAD. G是AC的中点，H是CD的中点. E是PD的中点，EHPC. EH平面PBC，PC平面PBC，EH平

4、面PBC. 又EHFG，平面EFG，且EHFGH， 平面EFG平面PBC. 6分 (2)设点F与平面AEG的距离为d，取AD的中点O，连接OEOG， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C B B A D C C D C 男 女总计 握笔姿势正确 24 3054 握笔姿势不正确 156 90246 总计 180 120300 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 3 页） 则EOPA，GOCD，且 1 2 EOPA， 1 2 GOCD. PA平面ABCD，EO平面ABCD. 由 FAEGEAFG VV 三棱锥三棱锥 得1 1 33 AEGAFG S

5、dSEO ，即 AEGAFG SdSEO . 在AEG中，2AEAGGE，从而 3 2 AEG S. 又1EO ， 1 1 4 AFGABC SS ， 2 3 3 d . 点F与平面AEG的距离为 2 3 3 . 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)由条件，设直线l的方程为1xty，代入 2 2yx得 2 220yty， 则 2222 148212ABtttt. 由2 2AB ，解得0t ，交点A,B的坐标为 12，, 12，-. 易知AOB外接圆的圆心在x轴上，设圆心为(a，0). 由 2 2 2 12aa解得 3 2 a ， AOB外接圆的方程为 2

6、2 39 24 xy . 6分 (2)设A( 11 xy，)，B( 22 xy，)，则 A ( 11 xy，). 由(1)知， 12 2yyt， 12 2y y . 设直线A B的方程为xmyn，代入 2 2yx得， 2 220ymyn， 则 12 2yyn ，22n ，即1n ， 直线A B经过定点(-1，0) 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1) 2 ln xab fxx xx ，由条件 111faba ，解得0b. 此时，切点为(1，0)，直线1yaxa不经过切点，符合题意，所以0b .4分 (2)由(1)知， ln1 a fxx x . 设 ln+

7、1 a g xx x ，则 22 1axa gx xxx (0 x ). 当0a 时， ln1g xx， 易知函数有唯一零点 1 e， 且 1 0 xe， 0g x ； 1 xe， 0g x . 此时， f x仅有一个极小值点，无极大值点； 当0a 时， 0gx恒成立， g x在区间上单调递增. 又 1 0g eae ，ln()0 e g eaea ea ， g x在0，上存在唯一零点，从而 f x仅有一个极小值点，无极大值点； 当0a 时， 0ga，且当0 xa，时， 0gx；当xa，时， 0gx. g x在0a，上单调递减，在a ，上单调递增，且最小值为 ln2g aa. (i)若 0g

8、a ，即 2 ae，此时 0g x 恒成立， f x无极值点； (ii)若 0g a ，即 2 0ae. 1a ，且 0g a ， 110ga ，且 g x在a ，上单调递增， 根据零点存在性定理得， g x在a ，恰有一个零点，从而 f x在a ，恰有一个极小值点. 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 3 页） 考虑 2 1 2ln1g aa a .令 2 1 2ln10h xxxe x ，则 2 21 0 x hx x . h x在 2 0e，上单调递减， 22 30h xh ee ，即 2 1 2ln10g aa a . 2 0aa， 2 0g a， 0g a ，且 g x在0a，

9、上单调递减， 根据零点存在性定理得， g x在0a，恰有一个零点，从而 f x在0a，恰有一个极大值点. 当 2 0ae时， f x有且仅有两个极值点. 综上，当 2 ae时， f x极值点个数为0； 当0a 时， f x极值点个数为1； 当 2 0ae时， f x极值点个数为212分 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)化简曲线C参数方程得 cos2 1 sin2 2 x y ， (为参数，且 2 kkZ ，)， 消去参数得曲线C的普通方程得 22 411xyx ， 化成极坐标方程为 22 cos4sin12kkZ， 2 2 1 1 3sin (2kkZ，).

10、5分 (2)不妨设M( 1 ，)，N( 2 3 ，)，则 1 OM， 2 ON， 22 22 113 393 3 1 3sin1 3sinsin2cos2 =sin 2 34423 OMON . 当且仅当 7 12 kkZ 时， 22 11 OMON 取最大值3 3 2 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 解：(1)由 11f得21211aa 1 12211 a aa ， ， 或 1 1 2 12211 a aa ， ， 或 1 2 21211. a aa ， 解得1a 或 1 1 2 a ， a的取值范围为 1 2 ，. 5分 (2)设 2 xt(0t ). 由已知得，对任意0t ，使得 0f t 成立. 0f t 22 2224tatatata 2 3120tat. 当0t ，Ra；当0t ，40ta恒成立，即0a . 0a ，即a的最小值为0. 10分