2020-2021学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项在每小题给出的四个选项中，仅有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 41Mxx ， 2 |60Nx xx，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 21xx D |13xx 2 （5 分）已知i是虚数单位，若复数 5 43 z i ，则z的共轭复数(z ) A 43 55 i B 43 55

2、i C 43 55 i D 43 55 i 3 （5 分）中国清朝数学家李善兰在 859 年翻译代数学中首次将“function”译做“函 数” ， 沿用至今 为什么这么翻译， 书中解释说 “凡此变数中函彼变数者， 则此为彼之函数 ” 这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定 的y和它对应就行了， 不管这个对应的法则是公式、 图象、 表格还是其它形式 已知函数( )f x 由如表给出，则( ( 2)1)f f 的值为( ) x 0 x 02x 2x y 1 2 3 A1 B2 C3 D4 4 （5 分）某校的辩论社由 4 名男生和 5 名女生组成，现从中

3、选出 5 人组成代表队参加某项 辩论比赛要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为( ) A80 B81 C120 D125 5 （5 分）已知实数x，y满足 1 0 3 0 3 xy xy x ，则2xy的最大值为( ) A5 B6 C7 D8 6 （5 分）若12a，则( ) | a f xx x 的图象可能是( ) A 第 2 页（共 22 页） B C D 7 （5 分）设非零向量a，b的夹角为若| 2|ba，且(2 )(3)abab，则等于( ) A30 B60 C120 D150 8 （5 分）已知( )2sin()(0)f xx 在区间 1 3 ( , )

4、 2 2 是单调函数，若 1 ( )2 2 f，且 3 (0)( )0 2 ff将曲线( )yf x向右平移 1 个单位长度，得到曲线( )yg x，则函数 ( )2yxg x在区间 4，4上的零点个数为( ) A3 B4 C5 D6 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多个选在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）设m，n是两条直线，是两个平面，以下判断正

5、确是( ) A若/ /m，/ /，则/ /m B若/ /m，/ /m，则/ / C若m，n，则/ /mn D若m，/ /，则m 10 （5 分）2020 年 11 月 23 日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、 威宁县等 9 个县退出贫困县序列，至此，贵州全省 66 个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着 全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽某研究性学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对 他们过去 7 年(2013年至 2019 年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人 均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如图： 第 3 页（共 22 页） 根据如图信息，对于甲

6、、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲” 、 “乙” )情况 的判断，正确的是( ) A过去 7 年， “甲”的极差小于“乙”的极差 B过去 7 年， “甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去 7 年， “甲”的中位数小于“乙”的中位数 D过去 7 年， “甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率 11（5 分） 设F是抛物线 2 4yx的焦点， 过F且斜为3的直线与抛物线的一个交点为A 半 径为|FA的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为 D以下结论正确的是( ) A线段CD的长为 8 BA，C，F三点共线 CCDF为等边三角形 D四边形ABCD为矩形

7、 12 （5 分）设 sincos ( ) xx f xee，其中 x表示不超过x的最大整数如2.62， 3.24 以下结论正确的是( ) A( )f x是偶函数 B( )f x是周期函数 C( )f x的最小值是 2 e D( )f x的最大值是2e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 20 分分. 13已知曲线 3 1 3 yxx在2x 处的切线与直线2yxk垂直，则实数k 14已知0a ，0b ，且1ab，则 12 ab 的最小为 第 4 页（共 22 页） 15双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线的方程为

8、2yx，则该双曲线的离心率 为 ，若E上的点A满足 212 AFF F，其中 1 F、 2 F分别是E的左，右焦点，则 12 sinAFF 16已知直三棱柱 111 ABCA BC的侧棱长为2 3，底面为等边三角形若球O与该三棱柱 的各条棱都相切，则球O的体积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 cos1 3sin aA bB ，()sinsin()sinbcBcABaA，2 sintanaBbA这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题 问题

9、：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 _，且 31 2 cb ， 求B的大小 18 （12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 2a ， 1 20 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，设数列 2 1 nn b b 的前n项和为 n T，证明： 3 4 n T 19 （12 分）某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相 同的 4 个白球和 4 个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀， 每次从箱子中随机摸出 3 个球， 记 下这 3 个球的颜色后放回箱子再次授拌均匀如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多

10、， 则该次游戏得 3 分，否则得 1 分假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等解决 以下问题： （1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为，求的分布列及其数学期望； （2）如果顾客当天在该商场的逍费满一定金额可选择参与 4 次或 5 次游戏，当完成所选择 次数后的游戏的平均得分不小于 2 时即可获得一份奖品 若某顾客当天的消费金额满足条件， 他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，1ADBDBC，2ABCD，PAPB， 平面PBD 平面ABCD （1）求证：PDAB； 第 5 页（共 22 页） （2）已知二面角PACD的余弦值为

11、6 6 线段PC上是否存在点M，使得BM与平面 PAC所成的角为30？证明你的结论 21 （12 分）已知A是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点， 1 F， 2 F分别是C的左，右 焦点， 12 AFF是面积为3的等边三角形 （1）求C的方程； （2）若过点(0,2)P的直线l交C于不同的两点M，N，求|PMPN的取值范围 22 （12 分）已知函数 2 ( )() 4 x a f xxaeaR （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2 ） 设 2 1 ( )( )(1) 2 x g xfxeax， 若( )g x有 两 个 不 同 的 极 值 点 1 x， 2

12、x， 且 1212 ()()()g xg xxx恒成立，求实数的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项在每小题给出的四个选项中，仅有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 41Mxx ， 2 |60Nx xx，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 21xx D |13xx 【解答】

13、解：集合 | 41Mxx ， 2 |60 | 23Nx xxxx ， | 21MNxx 故选：C 2 （5 分）已知i是虚数单位，若复数 5 43 z i ，则z的共轭复数(z ) A 43 55 i B 43 55 i C 43 55 i D 43 55 i 【解答】解：复数 55(43 )43 43(43 )(43 )55 i zi iii ， z的共轭复数 43 55 zi， 故选：A 3 （5 分）中国清朝数学家李善兰在 859 年翻译代数学中首次将“function”译做“函 数” ， 沿用至今 为什么这么翻译， 书中解释说 “凡此变数中函彼变数者， 则此为彼之函数 ” 这个解释说明

14、了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定 的y和它对应就行了， 不管这个对应的法则是公式、 图象、 表格还是其它形式 已知函数( )f x 由如表给出，则( ( 2)1)f f 的值为( ) x 0 x 02x 2x y 1 2 3 A1 B2 C3 D4 【解答】解：根据题意， 1,0 ( )2,02 3,2 x f xx x ， 则( 2)1f ，( ( 2)1)f ff（2）3， 第 7 页（共 22 页） 故选：C 4 （5 分）某校的辩论社由 4 名男生和 5 名女生组成，现从中选出 5 人组成代表队参加某项 辩论比赛要求代表队中至少一名男生，并且女生人数

15、要比男多，那么组队的方法数为( ) A80 B81 C120 D125 【解答】解：根据题意，要求 5 人的代表队中至少一名男生，且女生人数要比男多， 分 2 种情况讨论： 5 人的代表队中有 2 男 3 女，有 23 45 60C C 种选法， 5 人的代表队中有 1 男 4 女，有 14 45 20C C 种选法， 则一共有602080种选法， 故选：A 5 （5 分）已知实数x，y满足 1 0 3 0 3 xy xy x ，则2xy的最大值为( ) A5 B6 C7 D8 【解答】解：由约束条件 1 0 3 0 3 xy xy x 作出可行域如图， 令2zxy，化为2yxz ， 联立 3

16、 10 x xy ，解得(3,2)A， 由图可知，当直线2yxz 过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为 8 故选：D 第 8 页（共 22 页） 6 （5 分）若12a，则( ) | a f xx x 的图象可能是( ) A B C D 【解答】解：根据题意，( ) | a f xx x ，且12a， 当0 x 时，( ) a f xx x ，有0 a x ，则( )0f x ，函数图象在x轴的下方，排除A、B， 当0 x 时， 2 ( ) axa f xx xx ，此时()0fa ，而1a，函数与x轴的交点在(1,0)的 右侧，排除C， 故选：D 7 （5 分）设非零向量a，b的夹角

17、为若| 2|ba，且(2 )(3)abab，则等于( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解：非零向量a，b的夹角为，若| 2|ba，且(2 )(3)abab， 2222 (2 ) (3)35235| |2 |cos80ababaa bbaaaa， 第 9 页（共 22 页） 1 cos 2 ，60， 故选：B 8 （5 分）已知( )2sin()(0)f xx 在区间 1 3 ( , ) 2 2 是单调函数，若 1 ( )2 2 f，且 3 (0)( )0 2 ff将曲线( )yf x向右平移 1 个单位长度，得到曲线( )yg x，则函数 ( )2yxg x在区间 4，4上的零

18、点个数为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：因为( )2sin()f xx， 又 1 ( )2 2 f， 所以( )2 max f x，故 1 ( )( ) 2 max ff x， 所以 1 2 为波峰（也是对称点） ， 又( )2sin()(0)f xx 在区间 1 3 ( , ) 2 2 是单调函数， 所以 2 2T 且 1 (0, ) 2 上也一定单调， 所以(0)ff（1） ，则 3 (1)( )0 2 ff， 故 3 1 5 2 ()( )0 24 ff ， 作出简图如图所示， 由图易知 2 ( )2sin() 36 f xx ， 因为将曲线( )yf x向右平移 1 个单位

19、长度，得到曲线( )yg x， 则 2 ( )2cos() 3 g xx ， 所以函数( )2yxg x的零点个数， 即函数( )yg x的图象与 2 y x 的交点的个数， 即函数 2 cos() 3 yx 的图象与 1 y x 图象的交点个数， 作出简图， 第 10 页（共 22 页） 故函数 2 cos() 3 yx 的图象与 1 y x 图象的交点个数为 5 个， 所以函数( )2yxg x在区间 4，4上的零点个数为 5 个 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多个选在每小题给出的四个

20、选项中，有多个选 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）设m，n是两条直线，是两个平面，以下判断正确是( ) A若/ /m，/ /，则/ /m B若/ /m，/ /m，则/ / C若m，n，则/ /mn D若m，/ /，则m 【解答】解：若/ /m，/ /，则/ /m或m，故选项A错误； 若/ /m，/ /m，则/ /或与相交，故选项B错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项C正确； 垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故选项D正确 故选：CD 10 （5 分）20

21、20 年 11 月 23 日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、 威宁县等 9 个县退出贫困县序列，至此，贵州全省 66 个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着 全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽某研究性学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对 他们过去 7 年(2013年至 2019 年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人 均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如图： 第 11 页（共 22 页） 根据如图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲” 、 “乙” )情况 的判断，正确的是( ) A过去 7 年， “甲”的极差小于“乙”的极差 B过去

22、 7 年， “甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去 7 年， “甲”的中位数小于“乙”的中位数 D过去 7 年， “甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率 【解答】解：极差是一组数据中最大的数减去最小的数，甲的极差为：4.23.60.6，乙的 极差为：4.13.40.7；故A正确； 甲 的 平 均 值 为 ： 3 . 63 . 73 . 63 . 73 . 84 . 04 . 22 6 . 6 77 ； 乙 的 平 均 数 为 ： 3 . 43 . 63 . 83 . 63 . 94 . 04 . 12 6 . 4 77 ；故B错误； 甲的中位数为：3.7；乙的中位数为：3.8， ；故C

23、正确； 过去 7 年甲的平均增长率为： 4.2 71 3.6 ；乙的平均增长率为： 4.1 71 3.4 ；故D正确； 故选：ACD 11（5 分） 设F是抛物线 2 4yx的焦点， 过F且斜为3的直线与抛物线的一个交点为A 半 径为|FA的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为 D以下结论正确的是( ) A线段CD的长为 8 BA，C，F三点共线 CCDF为等边三角形 D四边形ABCD为矩形 【解答】解：由抛物线的方程可得：(1,0)F，准线方程为：1x ， 第 12 页（共 22 页） 过F且斜为3的直线的方程为：3(1)yx，代入抛物线方程可得： 2 310

24、30 xx，解得3x 或 1 3 ， 令A的坐标为(3，2 3)，则| 3 14FA ， 所以圆F的方程为： 22 (1)16xy， 令1x ，则( 1B ，2 3)，( 1, 2 3)C ， 设B关于点F的对称点为( , )D m n， 所以 1 1 2 m ， 2 3 0 2 n ，得(3, 2 3)D， 选项:| 3( 1)4A CD ，A错误， 选项:(2,2 3),( 2, 2 3)B FAFC ，所以FAFC ，所以A，F，C三点共线，B正 确， 选项C：因为4FCFDr，且4CD ，所以三角形CDF为等边三角形，C正确， 选项D：由A，B，C，D的坐标可得：ABCD，ABBC，/

25、 /ABCD， 所以四边形ABCD为矩形，D正确， 故选：BCD 12 （5 分）设 sincos ( ) xx f xee，其中 x表示不超过x的最大整数如2.62， 3.24 以下结论正确的是( ) A( )f x是偶函数 B( )f x是周期函数 C( )f x的最小值是 2 e D( )f x的最大值是2e 【解答】解：根据题意， 01 00 10 sin cos 011 11 101 1,2 2,22 2 1,2 2 ( ) 1,22 2 23 ,22 2 3 1,222 2 xx eee x eex eee x f xee eeex eex e eeex k kk k k刱 kk

26、k刱 依次分析选项： 第 13 页（共 22 页） 对于A，( )()f xfx不恒成立，( )f x不是偶函数，A错误， 对于B， sin(2 )cos(2 )sin cos (2 )( ) xxxx f xeeeef x ，则( )f x是周期为2的周期 函数，B正确， 对于C，当 3 22 2 x kk时， 2 ( )f x e ，取得最小值，C正确， 对于D，( )f x的最大值是1e，D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 20 分分. 13已知曲线 3 1 3 yxx在2x 处的切线与直线2yxk垂直，则实数k 1

27、 3 【解答】解：由 3 1 3 yxx，得 2 1yx ， 则 2 2 |213 x y ， 曲线 3 1 3 yxx在2x 处的切线与直线2yxk垂直， 31 k，即 1 3 k 故答案为： 1 3 14已知0a ，0b ，且1ab，则 12 ab 的最小为 32 2 【解答】解：0a ，0b ，且1ab， 122()2 332 2 ababba ababab ， 当且仅当 2ba ab ， 即2 1 ,22ab时 取等号， 12 ab 的最小值为：32 2 故答案为：32 2 15双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线的方程为2yx，则该双曲线的离心率 为

28、3 ，若E上的点A满足 212 AFF F，其中 1 F、 2 F分别是E的左，右焦点，则 12 sinAFF 【解答】解：双曲线E的渐近线方程为 b yx a ， 2 b a ， 第 14 页（共 22 页） 2222 23cabaaa ， 离心率3 c e a 不妨取点A在第一象限， 2( ,0) F c，且 212 AFFF， 2 ( ,) b A c a ， 22 2 12 12 2 |1 tan |2233 ba AF aa AFF FFca ， 12 1 sin 2 AFF 故答案为：3； 1 2 16已知直三棱柱 111 ABCA BC的侧棱长为2 3，底面为等边三角形若球O与该

29、三棱柱 的各条棱都相切，则球O的体积为 32 3 【解答】解：由已知可得，三棱柱 111 ABCABC为正三棱柱，如图， 设上下底面的中心发布为H，G，由对称性可知，球O的球心为HG的中点， 取 1 AA的中点E，连接OE，连接AG并延长，交BC于F，连接OF， 则OEOF，设三角形ABC的边长为2a，则 2 3 3 OEAGa， 222 3 ()( 3) 3 OFa， 22 2 33 ()()3 33 aa，解得3a ， 球O的半径为 2 3 32 3 OE ， 则球O的体积为 3 432 2 33 第 15 页（共 22 页） 故答案为： 32 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6

30、 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 cos1 3sin aA bB ，()sinsin()sinbcBcABaA，2 sintanaBbA这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题 问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 _，且 31 2 cb ， 求B的大小 【解答】解：若选择：在ABC中，根据正弦定理， sinsin ab AB ，即 sin sin aA bB 所以由 cos1 3sin aA bB ，得 sincos1 sin3sin AA BB ， 因为

31、0B，则sin0B ， 所以3sincos1AA 则 31 2(sincos)1 22 AA，即 1 sin() 62 A 又因为0A，即 5 666 A 所以 66 A ，则 3 A 若选择：在ABC中，因为ABC，则ABC， 所以sin()sin()sinABCC 所以由()sinsin()sinbcBcABaA， 得()sinsinsinbcBcCaA 根据正弦定理， sinsinsin abc ABC ， 所以 22 ()bc bca， 即 222 bcabc 根据余弦定理， 222 1 cos 22 bca A bc ， 又因为0A，所以 3 A 若选择：由2 sintanaBbA，

32、得 sin 2 sin cos A aBb A ， 即2 sincossinaBAbA， 第 16 页（共 22 页） 在ABC中，根据正弦定理， sinsin ab AB ， 所以2sinsincossinsinABABA， 因为A，(0, )B，sin0A ，sin0B ， 所以2cos1A ，即 1 cos 2 A 所以 3 A 不妨设2b ，由 31 2 cb ，得31c 由 222 bcabc，得 222 2( 31)2( 31)a 解得6a 所以 sin2 sin 2 bA B a 因为ba，所以0 3 B ，所以 4 B 18 （12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知

33、 1 2a ， 1 20 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，设数列 2 1 nn b b 的前n项和为 n T，证明： 3 4 n T 【解答】解： （1）由 1 20 nn Sa ，得 1 2 nn Sa 则当2n时， 1 2 nn Sa 得 11nnnn SSaa 所以 1nnn aaa ，即 1 2 nn aa 又因为 1 2a ，且 212 242aaa， 所以 n a是公比为 2 的等比数列 所以2n n a 证明： （2）由知 2 log 2n n bn， 则 2 111 11 () (2)22 nn b bn nnn 第 17 页（共 2

34、2 页） 所以 11111111111131113 (1)()()()(1)() 2324352221242124 n T nnnnnn 19 （12 分）某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相 同的 4 个白球和 4 个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀， 每次从箱子中随机摸出 3 个球， 记 下这 3 个球的颜色后放回箱子再次授拌均匀如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多， 则该次游戏得 3 分，否则得 1 分假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等解决 以下问题： （1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为，求的分布列及其数学期望； （2）如果顾客当天在该商场

35、的逍费满一定金额可选择参与 4 次或 5 次游戏，当完成所选择 次数后的游戏的平均得分不小于 2 时即可获得一份奖品 若某顾客当天的消费金额满足条件， 他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由 【解答】解： （1）依题意，的取值为 0，1，2，3 因为 03 44 3 8 1 (0) 14 C C P C ， 12 44 3 8 3 (1) 7 C C P C 21 44 3 8 3 (2) 7 C C P C ， 30 44 3 8 1 (3) 14 C C P C 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 13313 ( )0123 1477142

36、 E （2）依题意，在一次游戏中，得 3 分的概率为： 1 ( )(2)(3) 2 P APP 第 18 页（共 22 页） 设n次游戏中，得 3 分的次数为X，则 1 ( , ) 2 XB n 所以 11 ()( ) (1) 222 nn n n C P XC k kkk k 若该顾客选择完成 4 次游戏，由3(4) 8XX，得2X， 其获奖的概率为 234 444 4 111 (2)(3)(4)() 216 P XP XP XCCC， 若该顾客选择完成 5 次游戏，由3(5) 10XX，得 5 2 X， 其获奖的概率为 345 555 5 11 (3)(4)(5)() 22 P XP XP

37、 XCCC 因为 111 162 ，所以该顾客应选择完成 4 次游戏，会有更大的获奖概率 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，1ADBDBC，2ABCD，PAPB， 平面PBD 平面ABCD （1）求证：PDAB； （2）已知二面角PACD的余弦值为 6 6 线段PC上是否存在点M，使得BM与平面 PAC所成的角为30？证明你的结论 【解答】 （1）证明：因为1ADBDBC，2ABCD， 所以四边形ABCD是平行四边形，且ADBD， 因为平面PBD 平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，AD 平面ABCD， 所以AD 平面PBD，所以ADPD， 因为PAPB，所以PADPBD ，

38、 所以90PDBPDA ，即BDPD， 又因为ADBDD，所以PD 平面ABCD， 因为AB 平面ABCD，所以PDAB 第 19 页（共 22 页） （2）解：设(0)PDt t， 以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则(1A，0，0)，(0B，1，0)，( 1C ，1，0)，(0D，0，0)，(0P，0，) t， 所以(1,0,0)DA，( 2,1,0)AC ，( 1,0, )APt ， 设平面PAC的一个法向量为 000 (,)mxyz， 由 00 00 20 0 m ACxy m APxtz ， 取 0 1z ，得 0 xt， 0 2yt，即(

39、 ,2 ,1)mtt， 取(0,0,1)n 为平面ACD的一个法向量， 则 2 1 cos, | | 51 m n m n mn t ， 因为二面角PACD的余弦值为 6 6 ， 所以 2 16 6 51t ，解得1t ，所以(0P，0，1)， 假设这样的点M存在，设PMPC，其中01剟， 由( 1,1, 1)PC ，得(, ,)PM ， 则(, 1,1)BMBPPM ， 第 20 页（共 22 页） 设BM与平面PAC所成的角为， 则 2 |1 sin|cos,| | | 6342 BM m BM m BMm ， 因为30，所以 2 11 2 6342 ，解得 2 3 ， 所以，存在这样的点

40、M，即当 2 3 PMPC时，BM与平面PAC所成的角为30 21 （12 分）已知A是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点， 1 F， 2 F分别是C的左，右 焦点， 12 AFF是面积为3的等边三角形 （1）求C的方程； （2）若过点(0,2)P的直线l交C于不同的两点M，N，求|PMPN的取值范围 【解答】解： （1）依题意，A是C短轴的端点， 因为 12 AFF是面积为3的等边三角形，所以 112 | | 2AFFF， 设 12 | 2FFc，则1c ，且 2222 11 |AFOAOFbca， 所以2a ， 所以 22 3bac， 即C的方程为 22 1 43

41、 xy （2）当l的斜率存在时，设其方程为2yxk， 联立方程 22 1 43 2 xy yx k ，消去y得： 22 (2) 1 43 xx k ， 整理得： 22 (43)1640 xxkk， 由0，即 22 (16 )44(43)0 kk，得 2 1 4 k， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12 2 16 43 xx k k ， 12 2 4 0 43 x x k ， 则 222 111 |(2)1|PMxyxk， 同理 2 2 |1|PNxk， 第 21 页（共 22 页） 则 22222 22 12 22222 16 1|(16 ) (1)16(4)

42、(44) |1|.(|) 43(43)(43) PMPNxxPMPN kkkkkk k kkk ， 令 2 43t k，则4t ，且 2 43t k， 2 441t k， 则 22 222 (4)(44)32 1 (43)tt kk k ， 由4t ，得 11 0 4t ， 因为 2 ( )321f xxx 在 1 (,) 3 单调递减，且(0)1f， 15 ( ) 416 f， 则 51 ( )1 16 f t ，所以 2 5(|)16PMPN， 所以5 | 4PMPN， 当l的斜率不存在时，M，N即为C短轴端点，且都在P的下方， 此时| (23)(23)4PMPN， 综上，|PMPN的取值

43、范围是( 5,4 22 （12 分）已知函数 2 ( )() 4 x a f xxaeaR （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2 ） 设 2 1 ( )( )(1) 2 x g xfxeax， 若( )g x有 两 个 不 同 的 极 值 点 1 x， 2 x， 且 1212 ()()()g xg xxx恒成立，求实数的取值范围 【解答】解： （1）因为 2 ( ) 4 x a f xxae，所以( )1 x fxae ， 当0a时，因为0 x e ，所以( )0fx， 此时( )f x的单调递增区间为(,) ， 第 22 页（共 22 页） 当0a 时，令( )0fx，得 1 xln

44、 a ， 当 1 xln a 时，( )0fx，当 1 xln a 时，( )0fx， 此时，( )f x的单调递增区间为 1 (,)ln a ，( )f x的单调递减区间为 1 (,)ln a ； （2）因为 2 2 1 ( ) 24 xx a g xeaeax，所以 2 ( ) xx g xeaea， 依题意， 2 0 40 a aa ，解得4a ， 因为 1 x， 2 x是( )g x的极值点，所以 1212 xxxx eeeea，则 12 xxlna， 1122 22 22 1212 11 ( )()()() 2424 xxxx aa g xg xeaeaxeaeax 1212 2 2

45、2 12 1 ()()() 22 xxxx a eea eea xx 121212 2 2 12 1 ()2)()() 22 xxxxxx a eee ea eea xx 2 22 1 (2 ) 22 a aaaalnaalnaa， 所以，由 1212 ()()()g xg xxx，可得alnaalna， 因为4a ，0lna 所以等价于 a a lna ， 令( ) x xx lnx ，则 2 22 1()1 ( )1 ()() lnxlnxlnx x lnxlnx ，(4,)x， 因为 22 13 ()1()0 24 lnxlnxlnx ，所以( )0 x， 所以( ) x在(0,)单调递增，且 2 (4)4 2ln ， 所以， 2 ( )(4,) 2 a aa lnaln ， 所以的取值范围是 2 (,4 2ln