2020-2021学年江苏省连云港市高三（上）适应性数学试卷（1月份）.docx

1、第 1 页（共 25 页） 2020-2021 学年江苏省连云港市高三（上）适应性数学试卷（学年江苏省连云港市高三（上）适应性数学试卷（1 月份）月份） 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 个小题， 每小题个小题， 每小题 5 分， 共分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Ax xx ， |10Bx x ，则(AB ) A(，3 B(，2 C(,1) D 2，1) 2 （5 分）复数 2 (1) ( 1 i i ) A1i B1i C1

2、i D1i 3 （5 分）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚） ，已知 水的高度是4cm， 现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠， 该珍珠放入水中后直接沉入杯底， 且体积不变如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( ) A98 颗 B106 颗 C120 颗 D126 颗 4 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名

3、摄影师负责“云采访”区域的采访，另外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和 摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 5（5 分） 平行四边形ABCD中，M为CD的中点， 点N满足2BNNC， 若A BA MA N， 则的值是( ) 第 2 页（共 25 页） A4 B2 C 1 4 D 1 2 6 （5 分）国防部新闻发言人在 2020 年 9 月 24 日举行的例行记者会上指出： “台湾是中国 不可分割的一部分， 解放军在

4、台海地区组织实兵演练， 展现的是捍卫国家主权和领土完整的 决心和能力” ，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg， 大气压强p（单位：)mmHg和高度h（单位：)m之间的关系为760( h pee k 是自然对数的 底数，k是常数） ，根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我战机在1000m高 空处的大气压强约是（结果保留整数）( ) A645mmHg B646mmHg C647mmHg D648mmHg 7（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F， 两渐近线分别为 1: b lyx a ， 2: b

5、lyx a ， 过F作 1 l的垂线， 垂足为M， 该垂线交 2 l于点N，O为坐标原点， 若| |OFFN， 则双曲线C的离心率是( ) A2 B 3 2 2 C3 D 2 3 3 8 （5 分）已知( )|f xx x，对任意的xR， 2 ()4 (3) 0f axfx恒成立，则实数a的最 小值是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 8 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有分，在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求全选对的得多项是符合题目要求全选对的得 5 分，部分选对的

6、得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的收入与支出数 据的折线图如图： 第 3 页（共 25 页） 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月

7、利润最大 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若 22 acbc，则ab B若ab，则 1 2 2 a b C若0a ，0b ，则 2ab ab ab D若0ab，则1 lga lgb 11 （5 分） 设等比数列 n a的公比为q， 前n项和为 n S， 前几项积为 n T， 并满足条件 1 1a ， 20202021 1aa， 20202021 (1) (1)0aa，则下列结论中正确的有( ) A1q B 20212020 SS C 20202022 1aa D 2020 T是数列 n T中的最大值 12 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 1

8、1 B D上有两个动点E，F，且 1EF ，则下列说法中正确的是( ) A存在点E，F使得/ /AEBF 第 4 页（共 25 页） B异面直线EF与 1 C D所成的角为60 C三棱锥BAEF的体积为定值 2 12 D 1 A到平面AEF的距离为 3 3 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的交点为F，过F作斜率为3的直线l交抛物线 C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是 14 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则tan2 15

9、 （5 分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它 是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统， 能够标示地球上的任何一 个位置，经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的 经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角纬度是个线面角，某一点的纬 度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角 城市A位置东经120， 北纬48， 城市B位置为东经120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B两点和地心的平面截 球所得的截面圆的劣弧AB的长是 16 （5 分）已知0a ，若alnx xlna恒成立，则a的值是 四

10、、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在 222 2bacac，cossinaBbA，sincos2BB这三个条件 中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_， 3 A ，2b ， （1）求角B； （2）求ABC的面积 18 （12 分）已知数列 n a满足 1* 123 23(1) 22() n n aaanannN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若log2 n na b ，则在数列 n

11、 b中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原 来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由 19（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26 第 5 页（共 25 页） 万公里，规模居世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析， 由图可知， 超速驾驶已经成为交通事故的一个主 要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：/km h； 1 d， 2 d分

12、别表示反应距离和 制动距离，单位：)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究，求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 2 d与v的平方成正比，且当行车速度为100/km h时，制动距离为65m ( ) i由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估 计车速为110/km h时的停车距离；

13、( )ii我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以 上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据： 10 1 1004 i i v ， 10 1 1 ()210 i i d ， 10 1 1 ()22187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 参考公式：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 第 6

14、 页（共 25 页） 20 （12 分） 如图， 已知四棱锥SABCD的底面为直角梯形， 且满足/ /ABCD，BCAB， 9AB ，6BCCDSD，12SB ，平面SCD 平面SBCM为线段SC的中点，N为 线段上的动点 （1）求证：平面SCD 平面ABCD； （2）设(0)ANNB，当二面角CDMN的大小为60时，求的值 21 （12 分）已知函数( )1f xlnxax （1）讨论( )f x的单调性； （2）对任意0 x ， 2 ( ) x xef x恒成立，求实数a的最大值 22（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ， 点( 3，2)

15、在椭圆C上A、 B分别为椭圆C的上、 下顶点， 动直线l交椭圆C于P、Q两点， 满足APAQ，AHPQ， 垂足为H （1）求椭圆C的标准方程； （2）求ABH面积的最大值 第 7 页（共 25 页） 2020-2021 学年江苏省连云港市高三（上）适应性数学试卷（学年江苏省连云港市高三（上）适应性数学试卷（1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 个小题， 每小题个小题， 每小题 5 分， 共分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要

16、求的） 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Ax xx ， |10Bx x ，则(AB ) A(，3 B(，2 C(,1) D 2，1) 【解答】解：集合 2 |6 0 | 23Ax xxxx剟?， |10 |1Bx xx x ， |3(ABx x ，3 故选：A 2 （5 分）复数 2 (1) ( 1 i i ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：复数 22 (1)1222 (1) 111(1)(1) iiiiii iiiii 2 2 22 1 1 ii i i 故选：C 3 （5 分）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚） ，已知 水的高度是4cm，

17、 现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠， 该珍珠放入水中后直接沉入杯底， 且体积不变如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( ) A98 颗 B106 颗 C120 颗 D126 颗 【解答】解：作出轴截面如图，由题意， 第 8 页（共 25 页） 8OP ， 1 4O P ，3OA ，设 11 O Ax，则 4 83 x ，即 3 2 x 则放入珍珠的最大体积 22 113 38( )421 332 V 一颗珍珠的体积是 3 41 ( ) 326 由 21 126 6 ，得最多可以放入珍珠 126 颗， 故选：D 4 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进

18、博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和 摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 在 4 名记者中任选 2 人， 在 3 名摄影师中选

19、出 1 人， 安排到 “云采访” 区域采访， 有 21 43 18C C 种情况， 在剩下的外 2 名记者中选出 1 人，在 2 名摄影师中选出 1 人，安排到“汽车展区”采访， 有 11 22 4C C 种情况， 将最后的 1 名记者和 1 名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有 1 种情况， 则有18472种不同的安排方案， 故选：C 5（5 分） 平行四边形ABCD中，M为CD的中点， 点N满足2BNNC， 若A BA MA N， 第 9 页（共 25 页） 则的值是( ) A4 B2 C 1 4 D 1 2 【解答】解：根据题意可得， 12 , 23 DMDC BNBC， 因为ABA

20、MAN， 所以()()ABADDMABBN 12 ()() 23 ADDCABBC 2 23 ADDCABBC 2 23 ADABABAD ， 故 2 (1)() 23 ABAD ， 由平面向量基本定理可得 10 2 2 0 3 ， 解得 1 3 2 ， 所以 1 2 故选：D 6 （5 分）国防部新闻发言人在 2020 年 9 月 24 日举行的例行记者会上指出： “台湾是中国 不可分割的一部分， 解放军在台海地区组织实兵演练， 展现的是捍卫国家主权和领土完整的 决心和能力” ，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg， 大气压强p（单位：)mmHg和高度h（单

21、位：)m之间的关系为760( h pee k 是自然对数的 底数，k是常数） ，根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我战机在1000m高 空处的大气压强约是（结果保留整数）( ) 第 10 页（共 25 页） A645mmHg B646mmHg C647mmHg D648mmHg 【解答】解：500m高空处的大气压强是700mmHg， 500 700760e k ，即 500 70 76 e k ， 当1000hm时，有 100050022 70 760760 ()760()645 76 pee kk 故选：A 7（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Ca

22、b ab 的右焦点为F， 两渐近线分别为 1: b lyx a ， 2: b lyx a ， 过F作 1 l的垂线， 垂足为M， 该垂线交 2 l于点N，O为坐标原点， 若| |OFFN， 则双曲线C的离心率是( ) A2 B 3 2 2 C3 D 2 3 3 【解答】解：由题意，( ,0)F c， 1 FMl， FM a b k，则直线FM的方程为() a yxc b ， 联立 () b yx a a yxc b ，解得 2 22 22 a c x ab abc y ab ，得 2 22 ( a c N ab ， 22) abc ab ， 222 bca， 2224 22 2222222 (

23、) |()() (2) a cabcca c FNc ababac ， | |OFFN， 224 222 () (2) ca c c ac ，整理得 22 43ac， 即 2 3 3 c e a ， 故选：D 8 （5 分）已知( )|f xx x，对任意的xR， 2 ()4 (3) 0f axfx恒成立，则实数a的最 小值是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 8 【解答】解：( )|f xx x，定义域为R，且()|( )fxxxx xf x ， 所以( )f x为奇函数， 当0 x时， 2 ( )f xx为增函数，所以当0 x 时，( )f x为增函数， 第 11 页（共

24、25 页） 所以( )|f xx x是R上的增函数，且 2 ()( )fxf xkk， 因为 2 ()4 (3) 0f axfx，所以 2 ()4 (3)4 (3)(26)f axfxf xfx， 所以 2 26axx ，即 2 26 0axx 恒成立， 所以0a 且4240a，故 1 6 a， 即a的最小值是 1 6 故选：C 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有分，在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求全选对的得多项是符合题目要求全选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分

25、，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的收入与支出数 据的折线图如图： 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 【解答】解：由企业 2019 年 12 个月

26、的收入与支出数据的折线图，得： 在A中，该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润约为： 1 (304035305060)(202510202230)118x ， 第 12 页（共 25 页） 该企业 2019 年 7 月至 12 月的总利润约为： (807575809080)(282230404550)265， 该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润，故A正确； 在B中，该企业 2019 年第一季度的利润约约是： (304035)(202510)50万元，故B错误； 在C中，该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润分别为（单位：

27、万元）:10，28，30，52， 该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长，故C正确； 在D中，该企业 2019 年 7 月和 8 月的月利润比 11 月份的月利润大，故D错误 故选：AC 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若 22 acbc，则ab B若ab，则 1 2 2 a b C若0a ，0b ，则 2ab ab ab D若0ab，则1 lga lgb 【解答】解：对于A：若 22 acbc，则ab，故A正确； 对于B：当0ab时，所以 01 1 222 2 a b ，故B正确； 对于C：若0a ，0b ，根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则 2ab

28、ab ab 成 立，故C正确； 对于D：由于1ab，所以lgalgb，整理得1 lga lgb ，故D错误 故选：ABC 11 （5 分） 设等比数列 n a的公比为q， 前n项和为 n S， 前几项积为 n T， 并满足条件 1 1a ， 20202021 1aa， 20202021 (1) (1)0aa，则下列结论中正确的有( ) A1q B 20212020 SS C 20202022 1aa D 2020 T是数列 n T中的最大值 【解答】 解： 根据题意， 等比数列 n a满足条件 1 1a ，2020 2021 1aa， 20202021 (1) (1)0aa， 若1q，则 20

29、192020 2020120211 1,1aaqaaq， 则 2020 10a ， 2021 11a ，则 20202021 (1)(1)0aa， 这与已知条件矛盾， 第 13 页（共 25 页） 所以1q不符合题意，过选项A错误； 因为 1 1a ， 20202021 1aa， 20202021 (1) (1)0aa， 所以 2020 1a， 2022 1a， 则01q，0 n a ， 则 20212020 SS，故选项B正确； 由等比数列的性质， 2 202020222021 1aaa ，故选项C正确； 数列前 2020 项都大于 1，从第 2021 项开始都小于 1， 因此 2020 T

30、是数列 n T中的最大值，故选项D正确 故选：BCD 12 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点E，F，且 1EF ，则下列说法中正确的是( ) A存在点E，F使得/ /AEBF B异面直线EF与 1 C D所成的角为60 C三棱锥BAEF的体积为定值 2 12 D 1 A到平面AEF的距离为 3 3 【解答】解：如图所示： 对于:A EF与AB异面，故A错误； 对于 1 :BBDC是等边三角形，而/ /EFBD， 故 1 BDC就是异面直线EF与 1 C D所成的角，确实是60，故B正确； 对 于C： 可 以 根 据 等 积 法 求

31、 得B到 平 面 11 AB D的 距 离 为 3 3 ， 故 11632 1 32231 2 BAEF V ，故C正确； 第 14 页（共 25 页） 对于D：可以利用等积法求得点 1 A到平面 11 AB D的距离为 3 3 ，即 1 A到平面AEF的距离为 3 3 ，故D正确 故选：BCD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的交点为F，过F作斜率为3的直线l交抛物线 C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是 2 6yx 【解答】解：由抛

32、物线的方程可得( 2 p F，0)， 由题意可设直线l的方程为： 3 32 p xy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立直线与抛物线的方程： 2 3 32 2 p xy ypx ，整理可得： 22 32 330ypyp， 可得： 12 2 3 3 yyp，所以AB中点的纵坐标为 3 3 p， 由题意可得 3 3 3 p ，解得3p ， 所以抛物线的方程为 2 6yx； 故答案为： 2 6yx 14 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则tan2 4 3 【解答】解：由于sin()3cos() 36 ， 所以： 133 33 sincoscossin 2

33、222 ， 整理得：3cos2sin ， 第 15 页（共 25 页） 所以： 3 tan 2 ， 则： 2 2tan tan24 3 1tan ， 故答案为：4 3 15 （5 分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它 是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统， 能够标示地球上的任何一 个位置，经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的 经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角纬度是个线面角，某一点的纬 度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角 城市A位置东经120， 北纬48， 城市B位置为

34、东经120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B两点和地心的平面截 球所得的截面圆的劣弧AB的长是 6 R 【解答】 解： 设球心为O， 由题意和劣弧所对的圆心角481830AOB ， 即 6 A O B ， 所以过A，B两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧AB的长 6 R L 故答案为： 6 R 16 （5 分）已知0a ，若alnx xlna恒成立，则a的值是 e 【解答】解：因为0a ，若alnx xlna恒成立， 所以 lnxlna xa ， ( ) lnx f x x ，0a ， 问题转化为( )max lna f x a 22 1 1 1 ( ) xlnx lnx x fx x

35、x ， 当(0, )xe时，( )0fx，( )f x单调递增， 当( ,)xe时，( )0fx，( )f x单调递减， 所以当xe时， 1 ( )maxf x e ， 所以 1lna ea ，即0elnaa ， 令h（a）elnaa，所以问题转化为h（a）0 min ， 第 16 页（共 25 页） h（a）1 eea aa ， 当(0, )ae时，h（a）0，h（a）单调递增， 当( ,)ae时，h（a）0，h（a）单调递减， 所以当ae时，h（a）h（e）0， 故答案为：e 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

36、骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在 222 2bacac，cossinaBbA，sincos2BB这三个条件 中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_， 3 A ，2b ， （1）求角B； （2）求ABC的面积 【解答】解： （1）若选，由余弦定理得， 222 22 cos 222 acbac B acac ， 因为(0, )B，所以 4 B 若选，由正弦定理知，2 sinsinsin abc R ABC ， 因为cossinaBbA，所以sincossinsinABBA， 又(0, )A，所以sin

37、0A ，所以cossinBB， 又(0, )B，所以tan1B ，即 4 B 若选，由sincos2BB得，2sin()2 4 B ， 所以sin()1 4 B ， 又(0, )B，所以 5 (,) 444 B ， 所以 42 B ，解得 4 B （2）由正弦定理得， sinsin ab AB ， 又 3 A ，2b ， 4 B ， 第 17 页（共 25 页） 所以 3 2 sin 2 3 sin2 2 bA a B ， 5 12 CAB ， 所以 562 sinsinsin()sincoscossin 124646464 C ， 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC

38、18 （12 分）已知数列 n a满足 1* 123 23(1) 22() n n aaanannN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若log2 n na b ，则在数列 n b中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原 来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题意，得 1 123 23(1) 22 n n aaanan ， 当2n时， 1231 23(1)(2) 22 n n aaanan ， 两式相减，得 1 (1) 2(2) 2 nn n nann ， 即2n n a 当1n 时， 1 2a ，也满足上式， 所以数列

39、 n a的通项公式2n n a （2） 22 111 log2 loglog 2 n na n n b an ， 法一： 1 1b ， 2 1 2 b ，显然不适合； 2 1 2 b ， 3 1 3 b 适合， 即 2 1 2 b ， 3 1 3 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 6 的等差数列； 3 1 3 b ， 4 1 4 b 适合， 即 3 1 3 b ， 4 1 4 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 12 的等差数列； 当4n时，假设 n b， 1n b ，(2) n b k k?成等差数列， 则 1 2 nnn bbb k， 即 1 2 2111 2 2 1 2 1 n

40、nn n bbb nnnn n n k ， 第 18 页（共 25 页） 而当4n时， * 2 1 N n ， 所以 n b k不是数列 n b中的项， 所以当4n时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列 综上， 2 b， 3 b和 3 b， 4 b适合条件 法二： 1 1b ， 2 1 2 b 显然不适合； 当2n时，设 n b， 1n b ，(2) n b k k?成等差数列，则 1 2 nnn bbb k， 即 211 1nnn k ，解得 2 2 1n k 当2n 时，4k，则 2 1 2 b ， 3 1 3 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 6 的等差数列；

41、当3n 时，3k，则 3 1 3 b ， 4 1 4 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 12 的等差数列； 当4n时， * 2 1 N n ，则 * Nk，所以 n b k不是数列 n b中的项， 所以当4n时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列 综上， 2 b， 3 b和 3 b， 4 b适合条件 19（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26 万公里，规模居世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析， 由图可知， 超速驾驶已经成为交通事故

42、的一个主 要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：/km h； 1 d， 2 d分别表示反应距离和 制动距离，单位：)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究，求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 2 d与v的平方成正比，且当行车速度为100/

43、km h时，制动距离为65m ( ) i由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估 第 19 页（共 25 页） 计车速为110/km h时的停车距离； ( )ii我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以 上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据： 10 1 1004 i i v ， 10 1 1 ()210 i i d ， 10 1 1 ()22187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 参考公式：对于一组数据 1 (x， 1) y，

44、2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 【解答】解： （1）由题意知， 3 3 11 ( ) (1) 55 iii i PC ， 故所求的概率为 12 13 1448 ( ) 5 5125 PC； （2）由 2 d与v的平方成正比，设 2 2 dkv， 当行车速度为100/vkm h时，制动距离为 2 65dm； 即 2 10065k，解得0.0065k ， 所以 2 2 0.0065dv； ( ) i由 1 d与v之 间 具 有 线 性 相

45、 关 关 系 ， 且 10 1 11 1004100.4 1010 i i vv ， 10 11 1 11 ()21021 1010 i i dd ； 又 10 1 1 ()22187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ， 11033 0.21 52524 ， 第 20 页（共 25 页） 所以 10 1 11 102 222 11 ()10()() 22187.3 10 100.42111033 0.21 10605410 100.452524 ()( )10 n iiii iii n ii ii vdv dxxyy b xxvv ， 1 210.21 100

46、.40.084adbv ， 所以 1 d与v间的回归方程为 1 0.210.084dv； 110v 时， 1 0.21 1100.08423.016d 2 2 0.0065 11078.65d ， 所以估计车速为110/km h时的停车距离为23.01678.65101.666102( )dm； ( )100ii v 时， 1 0.21 1000.08420.916d 2 2 0.0065 10065d ， 车速为100/km h时的停车距离为20.9166585.91686( )dm； 车速超过100/km h时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持

47、在100m以上的距离 20 （12 分） 如图， 已知四棱锥SABCD的底面为直角梯形， 且满足/ /ABCD，BCAB， 9AB ，6BCCDSD，12SB ，平面SCD 平面SBCM为线段SC的中点，N为 线段上的动点 （1）求证：平面SCD 平面ABCD； （2）设(0)ANNB，当二面角CDMN的大小为60时，求的值 【解答】证明： （1）SDCDSDC为等腰三角形 又M为SC的中点，DMSC 又平面SCD 平面SBC，平面SCD平面SBCSC且DM 平面SCD， 由平面与平面垂直的性质定理可知，DM 平面SBC 又BC 平面SBC，由直线与平面垂直的性质可知DMBC， 第 21 页（

48、共 25 页） 又BCCD，DMDCD，DM 平面SCD，CD 平面SCD CD平面CDS， BC 平面SCD， 又BC 平面ABCD， 平面SCD 平面ABCD （2） （方法一）由（1）可知，BC 平面SDC，BCSC 在Rt SCB中， 2222 1261086 3SCSBBC 在SDC中，由余弦定理可知， 222222 66(6 3)1 cos 22662 SDDCSC SDC SD DC ， (0 ,180 )SDC，120SDC 过点N作NGCD于点G，G为垂足，则/ /NGBC， BC 平面SCD，NG平面SCD， DM 平面SCD，DMNG过点G作GKDM于点K，K为垂足，连接

49、 NK DMGK，DMNG，NGGKG，DM平面NGK 又NK 平面NGK，DMNK， GKN即为二面角CDMN的平面角， 在Rt NGK中60NKG， 6 tan60 NG GKGK ， 6 2 3 3 GK ， 在 2 3 ,60 ,sin60 KG Rt DKGKDG DGDG ， 2 3 4 3 2 DG ， 642GCCDDG， 2NBGC，927ANABNB， 7 2 AN NB （方法二）由（1）可知，BC 平面SDC，BCSC 第 22 页（共 25 页） 在Rt SCB中， 2222 1261086 3SCSBBC， 在SDC中，由余弦定理可知 222222 66(6 3)1 cos 22662 SDDCSC SDC SD DC ， 0 (0SDC，180 ) ，120SDC， 过S点作线段CD的延长线的垂线，垂足为O， 12060SDCSDO， 1 3 2 ODSD，9OC， 四边形ABCO为矩形 由平面SCD 平面ABCD可知，SO 平面ABCD 以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标 系 则 9 3 3 (0,3,0), (0,0,3 3),(0,9,0),(0,) 22 DSCM， 设(3)ANa a，则 3 3 3 (6, ,0),(6,3,0),(0,) 22 NaDNaDM， 设平面DMN的法向量