2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷.docx
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1、第 1 页(共 24 页) 2020-2021 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1 2 y D 1 4 y 2 (4 分)在复平面内,复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (4 分)在 5 (2)x 的展开式中, 4 x的
2、系数为( ) A5 B5 C10 D10 4 (4 分)已知直线:20l xay,点( 1 , 1)A 和点(2,2)B,若/ /lAB,则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 5 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 6 (4 分)已知向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab,则(a b ) A1 B0 C1 D2 7 (4 分)已知,是两个不同的平面, “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面, C存在平面,m,n,且/ /mn 第 2 页(共 24 页) D存在直线l,l,l 8 (4 分)已
3、知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ,则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df(1)f(2) 9 (4 分) 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann,*nN, 前n项和为. n S给出下列三个结论: 存在正整数m,()n mn,使得 mn SS; 存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a; 记 12 (1 nn Ta aa n,2,3,)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 10 (4 分)如图所示,在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相
4、切(即与圆锥的每条 母线相切) ,切点圆(图中粗线所示)分别为 1 C, 2. C这两个球都与平面a相切,切点分 别为 1 F, 2 F, 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆,1F, 2 F为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30, 1 C, 2 C的半径分别为 1,4,点M为 2 C上的一个定点,点P为椭圆上的一个动 点,则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) 第 3 页(共 24 页) A6 B8 C3 3 D4 3 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,
5、每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)在“互联网”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合, 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,在抽取样本中,高一学生有 16 人,则该样本 中的高三学生人数为 12 (5 分)设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列,则数列 n a的公 比为 13 (5 分)已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点( 3,4)M ,则双曲线的 渐近线方程为 ; 12 |MFMF 第 4
6、页(共 24 页) 14(5 分) 已知函数( )f x是定义域R的奇函数, 且0 x时,( )1 x f xae, 则a ,( )f x 的值域是 15 (5 分)已知圆 22 :(5)(2)2Pxy,直线: l yax,点(5,22)M,点( , )A s t给 出下列 4 个结论: 当0a ,直线l与圆P相离; 若直线l圆P的一条对称轴,则 2 5 a ; 若直线l上存在点A,圆P上存在点N,使得90MAN,则a的最大值为 20 21 ; N为圆P上的一动点,若90MAN,则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分。解
7、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 (15 分)在三棱柱 111 ABCABC中,侧面 11 BCC B为矩形,AC 平面 11 BCC B,D,E分 别是棱 1 AA, 1 BB的中点 ()求证:/ /AE平面 11 BC D; ()求证: 1 CC 平面ABC; ()若 1 2ACBCAA,求直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值 17 (14 分)若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个,请选择一 组这样的三个条件并解答下列问题: ()求A的大小; ()求cosB和a的值 第 5 页(共 24 页) 条件: 3 3 s
8、in 14 C ; 条件: 7 3 ac; 条件:1ba; 条件: 5 cos 2 bA 18 (14 分)某公司在2013 2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数(单位:万台) 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数(单位:台) 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润(单位:百万元) 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注:年返修率 年返修台数 年生产台数 () 从2013 2020年中随机抽取
9、一年, 求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的 概率; ()公司规定:若年返修率不超过千分之一,则该公司生产部门当年考核优秀现从 2013 2020年中随机选出 3 年,记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数求的 分布列和数学期望; ()记公司在2013 2015年,2016 2018年,2019 2021年的年生产台数的方差分别为 2 1 s, 2 2 s, 2 3 s若 22 31 smax s, 2 2 s,其中 2 1 max s, 2 2 s表示 2 1 s, 2 2 s,这两个数中最大的数请 写出a的最大值和最小值 (只需写出结论) (注 2222 12 1 :(
10、)()() n sxxxxxx n ,其中x为数据 1 x, 2 x, n x的平均数) 19 (14 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 的离心率为 3 2 ,且经过点(2, 3)C ()求椭圆W的方程及其长轴长; ()A,B分别为椭圆W的左、右顶点,点D在椭圆W上,且位于x轴下方,直线CD交 x轴于点Q若ACQ的面积比BDQ的面积大2 3,求点D的坐标 20 (14 分)已知函数( ) lnx f x x ()求函数( )f x的单调区间; ()设( )( )g xf xx,求证:( )1g x; 第 6 页(共 24 页) ()设 22 ( )( )241h xf
11、xxaxa若存在 0 x使得 0 () 0h x ,求a的最大值 21(14 分) 设A是由(2)nn n个实数组成的n行n列的数表, 满足: 每个数的绝对值是 1, 且所有数的和是非负数,则称数表A是“n阶非负数表” ()判断如下数表 1 A, 2 A是否是“4 阶非负数表” ; 数表 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数表 2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ()对于任意“5 阶非负数表” A,记( )R s为A的第s行各数之和(15)s剟,证明:存在 i,j,1k,2,3,4,5,使得( )( )( ) 3R iR
12、 jRk ?; ()当 * 2 ()nNk k时,证明:对与任意“n阶非负数表” A,均存在k行k列,使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k 第 7 页(共 24 页) 2020-2021 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1
13、2 y D 1 4 y 【解答】解:抛物线 2 yx的焦点在x轴上,且开口向右,21p , 1 24 p , 抛物线 2 yx的准线方程为 1 4 x 故选:B 2 (4 分)在复平面内,复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解: (1)11 1(1)(1)22 iii i iii , 复数 1 i i 对应的点的坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ,位于第一象限 故选:A 3 (4 分)在 5 (2)x 的展开式中, 4 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 【解答】解: 5 (2)x 的展开式的通项为 5 15 2 rr r
14、TC x r , 所以 4 x的系数为 1 5 210C 故选:D 4 (4 分)已知直线:20l xay,点( 1 , 1)A 和点(2,2)B,若/ /lAB,则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解:直线:20l xay,点( 1, 1)A 和点(2,2)B, 直线AB的斜率为 21 1 21 , 第 8 页(共 24 页) 若/ /lAB,则 1 1 a ,求得1a , 故选:B 5 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 【解答】解:由三视图可知,该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点,另外两个顶点是正方体 棱的中点, 其直观图
15、如图所示: 故该三棱锥的体积为: 11 3222 32 故选:A 6 (4 分)已知向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab,则(a b ) A1 B0 C1 D2 【解答】解:向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab, 22 24aa bb, 即1254a b, 则1a b 故选:C 第 9 页(共 24 页) 7 (4 分)已知,是两个不同的平面, “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面, C存在平面,m,n,且/ /mn D存在直线l,l,l 【解答】解:由内有无数直线平行于,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故A错误;
16、 若存在平面,使,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故B错误; 存在平面,m,n,且/ /mn,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故C错误; 存在直线l,l,l,由直线与平面垂直的性质,可得/ /,故D正确 故选:D 8 (4 分)已知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ,则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df(1)f(2) 第 10 页(共 24 页) 【解答】解: 2 ( )12sin ()cos2()cos(2)sin2 442 f xxxxx , 则函数( )f x为奇函数,函数的周
17、期 2 2 T , 当 4 x 时,( )sin2()sin()1 42 f x 为最大值,则 4 x 是对称轴, f(1)sin2 ,f(2)sin4 ,则f(1)f(2) , 故正确的是C, 故选:C 9 (4 分) 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann,*nN, 前n项和为. n S给出下列三个结论: 存在正整数m,()n mn,使得 mn SS; 存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a; 记 12 (1 nn Ta aa n,2,3,)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解:若存在正整数m,()n mn,使得 mn
18、SS,则0 mn SS, 即 12 0 mmn aaa , 令0 n a ,解得0n (舍)或3n ,即 3 0a , 所以存在2m ,3n ,使得 mn SS, 故选项正确; 因为2 mnmn aaa a,即 2 ()0 mn aa, 即 mn aa,且0 m a ,0 n a , 记 2 3ynn,对称轴为 3 2 n , 而1n ,2,3,故只有 1 1n , 2 2n 时,有 12 nn aa, 但此时 12 1320aa 不成立, 故不存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a,故选项错误; 因为 12 (1 nn Ta aa n,2,3,), 第 11 页(共 24
19、页) 则 1 2a , 2 2a , 3 0a ,且当2n时, n a单调递增, 所以当3n 时,0 n a ,而 3 0T , 故当3n 时,0 n T ,又 2 4T , 1 2T , 所以数列 n T有最小项 1 2T ,故选项正确 故选:C 10 (4 分)如图所示,在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条 母线相切) ,切点圆(图中粗线所示)分别为 1 C, 2. C这两个球都与平面a相切,切点分 别为 1 F, 2 F, 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆,1F, 2 F为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dan
20、delin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30, 1 C, 2 C的半径分别为 1,4,点M为 2 C上的一个定点,点P为椭圆上的一个动 点,则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) A6 B8 C3 3 D4 3 【解答】解:如图所示,在椭圆上任取一点P,连接VP交 1 C于Q,交 2 C于点R, 第 12 页(共 24 页) 连接 1 OQ, 11 O F, 1 PO, 1 PF, 2 O R, 在 1 O PF与 1 O PQ中, 111 OQO Fr,其中 1 r为半径, 11 90OQPO FP , 1 O P为公共边, 所以 1 O PF 1 O
21、 PQ,所以 1 PFPQ, 设P沿圆锥表面到达M的路径长为d, 则 1 PFdPQdPQPRQR, 当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号, 2121 862 tan30sin303 2 ORORrr QRVRVQ , 故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是 6 故选:A 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)在“互联网”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合, 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,
22、在抽取样本中,高一学生有 16 人,则该样本 第 13 页(共 24 页) 中的高三学生人数为 12 【解答】解:根据直方图知,抽样比例为 161 80050 , 所以应该抽取高三人数为 1 60012 50 (人) 故答案为:12 12 (5 分)设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列,则数列 n a的公 比为 3 或1 【解答】解: 1 S, 2 S, 3 a成等差数列, 213 2SSa ,又数列 n a为等比数列, 2 1111 2()aa qaa q , 整理得: 2 111 230a qa qa, 又 1 0a , 2 230qq, 解得:
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