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类型2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷.docx

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    2020 2021 学年 北京市 海淀区 期末 数学试卷 下载 _考试试卷_数学_高中
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    1、第 1 页(共 24 页) 2020-2021 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1 2 y D 1 4 y 2 (4 分)在复平面内,复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (4 分)在 5 (2)x 的展开式中, 4 x的

    2、系数为( ) A5 B5 C10 D10 4 (4 分)已知直线:20l xay,点( 1 , 1)A 和点(2,2)B,若/ /lAB,则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 5 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 6 (4 分)已知向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab,则(a b ) A1 B0 C1 D2 7 (4 分)已知,是两个不同的平面, “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面, C存在平面,m,n,且/ /mn 第 2 页(共 24 页) D存在直线l,l,l 8 (4 分)已

    3、知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ,则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df(1)f(2) 9 (4 分) 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann,*nN, 前n项和为. n S给出下列三个结论: 存在正整数m,()n mn,使得 mn SS; 存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a; 记 12 (1 nn Ta aa n,2,3,)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 10 (4 分)如图所示,在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相

    4、切(即与圆锥的每条 母线相切) ,切点圆(图中粗线所示)分别为 1 C, 2. C这两个球都与平面a相切,切点分 别为 1 F, 2 F, 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆,1F, 2 F为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30, 1 C, 2 C的半径分别为 1,4,点M为 2 C上的一个定点,点P为椭圆上的一个动 点,则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) 第 3 页(共 24 页) A6 B8 C3 3 D4 3 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,

    5、每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)在“互联网”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合, 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,在抽取样本中,高一学生有 16 人,则该样本 中的高三学生人数为 12 (5 分)设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列,则数列 n a的公 比为 13 (5 分)已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点( 3,4)M ,则双曲线的 渐近线方程为 ; 12 |MFMF 第 4

    6、页(共 24 页) 14(5 分) 已知函数( )f x是定义域R的奇函数, 且0 x时,( )1 x f xae, 则a ,( )f x 的值域是 15 (5 分)已知圆 22 :(5)(2)2Pxy,直线: l yax,点(5,22)M,点( , )A s t给 出下列 4 个结论: 当0a ,直线l与圆P相离; 若直线l圆P的一条对称轴,则 2 5 a ; 若直线l上存在点A,圆P上存在点N,使得90MAN,则a的最大值为 20 21 ; N为圆P上的一动点,若90MAN,则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分。解

    7、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 (15 分)在三棱柱 111 ABCABC中,侧面 11 BCC B为矩形,AC 平面 11 BCC B,D,E分 别是棱 1 AA, 1 BB的中点 ()求证:/ /AE平面 11 BC D; ()求证: 1 CC 平面ABC; ()若 1 2ACBCAA,求直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值 17 (14 分)若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个,请选择一 组这样的三个条件并解答下列问题: ()求A的大小; ()求cosB和a的值 第 5 页(共 24 页) 条件: 3 3 s

    8、in 14 C ; 条件: 7 3 ac; 条件:1ba; 条件: 5 cos 2 bA 18 (14 分)某公司在2013 2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数(单位:万台) 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数(单位:台) 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润(单位:百万元) 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注:年返修率 年返修台数 年生产台数 () 从2013 2020年中随机抽取

    9、一年, 求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的 概率; ()公司规定:若年返修率不超过千分之一,则该公司生产部门当年考核优秀现从 2013 2020年中随机选出 3 年,记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数求的 分布列和数学期望; ()记公司在2013 2015年,2016 2018年,2019 2021年的年生产台数的方差分别为 2 1 s, 2 2 s, 2 3 s若 22 31 smax s, 2 2 s,其中 2 1 max s, 2 2 s表示 2 1 s, 2 2 s,这两个数中最大的数请 写出a的最大值和最小值 (只需写出结论) (注 2222 12 1 :(

    10、)()() n sxxxxxx n ,其中x为数据 1 x, 2 x, n x的平均数) 19 (14 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 的离心率为 3 2 ,且经过点(2, 3)C ()求椭圆W的方程及其长轴长; ()A,B分别为椭圆W的左、右顶点,点D在椭圆W上,且位于x轴下方,直线CD交 x轴于点Q若ACQ的面积比BDQ的面积大2 3,求点D的坐标 20 (14 分)已知函数( ) lnx f x x ()求函数( )f x的单调区间; ()设( )( )g xf xx,求证:( )1g x; 第 6 页(共 24 页) ()设 22 ( )( )241h xf

    11、xxaxa若存在 0 x使得 0 () 0h x ,求a的最大值 21(14 分) 设A是由(2)nn n个实数组成的n行n列的数表, 满足: 每个数的绝对值是 1, 且所有数的和是非负数,则称数表A是“n阶非负数表” ()判断如下数表 1 A, 2 A是否是“4 阶非负数表” ; 数表 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数表 2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ()对于任意“5 阶非负数表” A,记( )R s为A的第s行各数之和(15)s剟,证明:存在 i,j,1k,2,3,4,5,使得( )( )( ) 3R iR

    12、 jRk ?; ()当 * 2 ()nNk k时,证明:对与任意“n阶非负数表” A,均存在k行k列,使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k 第 7 页(共 24 页) 2020-2021 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1

    13、2 y D 1 4 y 【解答】解:抛物线 2 yx的焦点在x轴上,且开口向右,21p , 1 24 p , 抛物线 2 yx的准线方程为 1 4 x 故选:B 2 (4 分)在复平面内,复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解: (1)11 1(1)(1)22 iii i iii , 复数 1 i i 对应的点的坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ,位于第一象限 故选:A 3 (4 分)在 5 (2)x 的展开式中, 4 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 【解答】解: 5 (2)x 的展开式的通项为 5 15 2 rr r

    14、TC x r , 所以 4 x的系数为 1 5 210C 故选:D 4 (4 分)已知直线:20l xay,点( 1 , 1)A 和点(2,2)B,若/ /lAB,则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解:直线:20l xay,点( 1, 1)A 和点(2,2)B, 直线AB的斜率为 21 1 21 , 第 8 页(共 24 页) 若/ /lAB,则 1 1 a ,求得1a , 故选:B 5 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 【解答】解:由三视图可知,该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点,另外两个顶点是正方体 棱的中点, 其直观图

    15、如图所示: 故该三棱锥的体积为: 11 3222 32 故选:A 6 (4 分)已知向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab,则(a b ) A1 B0 C1 D2 【解答】解:向量a,b满足| 1a ,( 2,1)b ,且| 2ab, 22 24aa bb, 即1254a b, 则1a b 故选:C 第 9 页(共 24 页) 7 (4 分)已知,是两个不同的平面, “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面, C存在平面,m,n,且/ /mn D存在直线l,l,l 【解答】解:由内有无数直线平行于,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故A错误;

    16、 若存在平面,使,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故B错误; 存在平面,m,n,且/ /mn,不一定得到/ /,与也可能相交, 如图: 故C错误; 存在直线l,l,l,由直线与平面垂直的性质,可得/ /,故D正确 故选:D 8 (4 分)已知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ,则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df(1)f(2) 第 10 页(共 24 页) 【解答】解: 2 ( )12sin ()cos2()cos(2)sin2 442 f xxxxx , 则函数( )f x为奇函数,函数的周

    17、期 2 2 T , 当 4 x 时,( )sin2()sin()1 42 f x 为最大值,则 4 x 是对称轴, f(1)sin2 ,f(2)sin4 ,则f(1)f(2) , 故正确的是C, 故选:C 9 (4 分) 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann,*nN, 前n项和为. n S给出下列三个结论: 存在正整数m,()n mn,使得 mn SS; 存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a; 记 12 (1 nn Ta aa n,2,3,)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解:若存在正整数m,()n mn,使得 mn

    18、SS,则0 mn SS, 即 12 0 mmn aaa , 令0 n a ,解得0n (舍)或3n ,即 3 0a , 所以存在2m ,3n ,使得 mn SS, 故选项正确; 因为2 mnmn aaa a,即 2 ()0 mn aa, 即 mn aa,且0 m a ,0 n a , 记 2 3ynn,对称轴为 3 2 n , 而1n ,2,3,故只有 1 1n , 2 2n 时,有 12 nn aa, 但此时 12 1320aa 不成立, 故不存在正整数m,()n mn,使得2 mnmn aaa a,故选项错误; 因为 12 (1 nn Ta aa n,2,3,), 第 11 页(共 24

    19、页) 则 1 2a , 2 2a , 3 0a ,且当2n时, n a单调递增, 所以当3n 时,0 n a ,而 3 0T , 故当3n 时,0 n T ,又 2 4T , 1 2T , 所以数列 n T有最小项 1 2T ,故选项正确 故选:C 10 (4 分)如图所示,在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条 母线相切) ,切点圆(图中粗线所示)分别为 1 C, 2. C这两个球都与平面a相切,切点分 别为 1 F, 2 F, 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆,1F, 2 F为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dan

    20、delin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30, 1 C, 2 C的半径分别为 1,4,点M为 2 C上的一个定点,点P为椭圆上的一个动 点,则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) A6 B8 C3 3 D4 3 【解答】解:如图所示,在椭圆上任取一点P,连接VP交 1 C于Q,交 2 C于点R, 第 12 页(共 24 页) 连接 1 OQ, 11 O F, 1 PO, 1 PF, 2 O R, 在 1 O PF与 1 O PQ中, 111 OQO Fr,其中 1 r为半径, 11 90OQPO FP , 1 O P为公共边, 所以 1 O PF 1 O

    21、 PQ,所以 1 PFPQ, 设P沿圆锥表面到达M的路径长为d, 则 1 PFdPQdPQPRQR, 当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号, 2121 862 tan30sin303 2 ORORrr QRVRVQ , 故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是 6 故选:A 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)在“互联网”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合, 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,

    22、在抽取样本中,高一学生有 16 人,则该样本 第 13 页(共 24 页) 中的高三学生人数为 12 【解答】解:根据直方图知,抽样比例为 161 80050 , 所以应该抽取高三人数为 1 60012 50 (人) 故答案为:12 12 (5 分)设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列,则数列 n a的公 比为 3 或1 【解答】解: 1 S, 2 S, 3 a成等差数列, 213 2SSa ,又数列 n a为等比数列, 2 1111 2()aa qaa q , 整理得: 2 111 230a qa qa, 又 1 0a , 2 230qq, 解得:

    23、3q 或1 故答案为:3 或1 13 (5 分)已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点( 3,4)M ,则双曲线的 渐近线方程为 2yx ; 12 |MFMF 【解答】解:双曲线 2 2 1 2 y x 的渐近线方程为:2yx , 双曲线的焦点坐标(3,0), M在双曲线上, 所以 12 |22MFMFa , 第 14 页(共 24 页) 故答案为:2yx ;2 14 (5 分)已知函数( )f x是定义域R的奇函数,且0 x时,( )1 x f xae,则a 1 , ( )f x的值域是 【解答】解:根据题意,函数( )f x是定义域R的奇函数,则(0)

    24、0f, 又由0 x时,( )1 x f xae,则(0)10fa ,解可得1a , 在区间(,0上,( )1 x f xe,有1( ) 0f x , 又由( )f x为奇函数,则有1( )1f x ,即函数的值域为( 1,1), 故答案为:1,( 1,1) 15 (5 分)已知圆 22 :(5)(2)2Pxy,直线: l yax,点(5,22)M,点( , )A s t给 出下列 4 个结论: 当0a ,直线l与圆P相离; 若直线l圆P的一条对称轴,则 2 5 a ; 若直线l上存在点A,圆P上存在点N,使得90MAN,则a的最大值为 20 21 ; N为圆P上的一动点,若90MAN,则t的最

    25、大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 【解答】解:当0a 时,直线:0l y , 故圆的半径2r 小于点P到直线的距离, 所以当0a ,直线l与圆P相离,故选项正确; 因为圆的对称轴过圆心,故直线l过点(5,2), 又直线: l yax,所以 2 5 a ,故选项正确; 考虑极限情况:M,N为切点时比M,N为割点时的MAN更大, 故直线l的斜率最大时,点M,N均应为切点,过M作圆的切线, 则52,22 AA xy, 所以 227 21211 232052 a ,故选项错误; 设(52cos ,22sin )N,(5,22)M, 第 15 页(共 24 页) 则MN的中点 2 (5co

    26、s 2 Q, 22 2sin ) 22 , 而90MAN,则点A为以MN为直径的圆上, 设半径为r, 2 44sinMN,则1sinr, 所以t最大时应该是点Q的纵坐标加半径,即 22 2sin1sin 22 t, 令 22 ( )21 22 g xxx, 1x ,1, 令10, 2x,得 2 22 ( )2(1) 22 f,0, 2, 2 2 ( )22 2 f , 当 2 2 时, 2225 28 ( )()22 2424 max ff , 所以t的最大值为 5 28 4 ,故选项正确; 故答案为: 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证

    27、明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 (15 分)在三棱柱 111 ABCABC中,侧面 11 BCC B为矩形,AC 平面 11 BCC B,D,E分 别是棱 1 AA, 1 BB的中点 ()求证:/ /AE平面 11 BC D; ()求证: 1 CC 平面ABC; ()若 1 2ACBCAA,求直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值 【解答】解: ()证明:在三棱柱ABC 中, 11 / /AABB,且 11 AABB 因为点D,E分别时棱 1 AA, 1 BB的中点, 所以 1 / /ADB E,且 1 ADB E 第 16 页(共 24 页) 所以四边形 1

    28、 AEB D是平行四边形 所以 1 / /AEDB 又因为AE 平面 11 BC D, 1 DB 平面 11 BC D, 所以/ /AE平面 11 BC D ()证明:因为AC 平面 11 BCC B, 1 CC 平面 11 BCC B, 所以 1 ACCC 因为侧面 11 BCC B为矩形, 所以 1 CCBC 又因为ACBCC,AC 平面ABC,BC 平面ABC, 所以 1 CC 平面ABC ()解:分别以CA,CB, 1 CC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角 坐标系Cxyz, 由题意得(2A,0,0) (2B,0,0), 1(0 B,2,2), 1(0 C,0,2),(

    29、2D,0,1) 所以 111 ( 2,2,2),(0,2,0),(2,0, 1)ABC BC D 设平面 11 BC D的法向量为(nx,y,) z,则 11 1 0, 0, n C B n C D 即 20, 20 y xz 令1x ,则0y ,2z 于是(1n ,0,2) 所以 210 cos, 10|52 2 n AB n AB nAB 所以直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值为 10 10 第 17 页(共 24 页) 17 (14 分)若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个,请选择一 组这样的三个条件并解答下列问题: ()求A的大小; ()求cosB和a的值 条件

    30、: 3 3 sin 14 C ; 条件: 7 3 ac; 条件:1ba; 条件: 5 cos 2 bA 【解答】解:若选择, ()因为 7 3 ac, 3 3 sin 14 C ,由正弦定理可得 sin3 sin 2 aC A c , 因为1ba,所以ab,可得0 2 A ,可得 3 A ()在ABC中, 7 3 ac,所以ac,所以0 2 C , 因为 3 3 sin 14 C ,可得 2 13 cos1 14 Csin C, 所以 33 31131 coscos()cos()sinsincoscos 2142147 BACACACAC , 所以 2 4 3 sin1 7 Bcos B, 第

    31、 18 页(共 24 页) 由正弦定理可得 4 33 72 ba ,可得78ba, 因为1ba,所以7a 若选择, ()因为 7 3 ac, 3 3 sin 14 C ,由正弦定理可得 sin3 sin 2 aC A c , 在ABC中, 5 cos 2 bA , 所以 2 A , 可得 2 3 A ()在ABC中, 7 3 ac, 所以ac, 所以0 2 C , 因为 3 3 sin 14 C ,可得 2 13 cos1 14 Csin C, 所以 33 311311 coscos()cos()sinsincoscos 21421414 BACACACAC , 所以 2 5 3 sin1 1

    32、4 Bcos B, 因为 5 cos 2 bA , 所以 5 2 5 1 2 b , 由正弦定理可得 3 5 sin 2 7 sin5 3 14 bA a B 18 (14 分)某公司在2013 2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数(单位:万台) 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数(单位:台) 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润(单位:百万元) 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 第 1

    33、9 页(共 24 页) 注:年返修率 年返修台数 年生产台数 () 从2013 2020年中随机抽取一年, 求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的 概率; ()公司规定:若年返修率不超过千分之一,则该公司生产部门当年考核优秀现从 2013 2020年中随机选出 3 年,记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数求的 分布列和数学期望; ()记公司在2013 2015年,2016 2018年,2019 2021年的年生产台数的方差分别为 2 1 s, 2 2 s, 2 3 s若 22 31 smax s, 2 2 s,其中 2 1 max s, 2 2 s表示 2 1 s, 2 2

    34、 s,这两个数中最大的数请 写出a的最大值和最小值 (只需写出结论) (注 2222 12 1 :()()() n sxxxxxx n ,其中x为数据 1 x, 2 x, n x的平均数) 【解答】解: ()由图表知,2013 年 2020年中,产品的平均利润小于 100 元/台的看人 发只有 2015 年,2016 年, 从 2013 年 2020年中随机抽取一年,该年生产的平均利润不小于 100 元/台的概率为 6 0.75 8 P ()由图表得,2013 2020年中,返修率超过千分之一的年份只有 2013 年和 2015 年, 的所有可能取值为 1,2,3, 12 62 3 8 3 (

    35、1) 28 C C P C , 21 62 3 8 15 (2) 28 C C P C , 30 62 3 8 5 (3) 14 C C P C , 的分布列为: 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 31559 ( )123 2828144 E ()a的最大值为 13,最小值为 7 第 20 页(共 24 页) 19 (14 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 的离心率为 3 2 ,且经过点(2, 3)C ()求椭圆W的方程及其长轴长; ()A,B分别为椭圆W的左、右顶点,点D在椭圆W上,且位于x轴下方,直线CD交 x轴于点Q若ACQ的面积比BDQ的面积大2

    36、3,求点D的坐标 【解答】解: ()由已知可得: 22 222 3 2 43 1 c a ab abc , 解得4a ,2b ,2 3c , 故椭圆的方程为: 22 1 164 xy ,且长轴长为28a ; ()因为点D在x轴下方,所以点Q在线段AB(不包括端点)上, 由()可知( 4,0)A ,(4,0)B, 所以AOC的面积为 1 432 3 2 , 因为ACQ的面积比BDQ的面积大2 3, 所以点Q在线段OB(不包括端点)上,且OCQ的面积等于BDQ的面积, 所以OCB的面积等于BCD的面积, 所以/ /ODBC, 设( , )D m n,0n , 则 033 422 n m , 因为点

    37、D在椭圆W上,所以 22 1 164 mn , 解得2m ,3n , 所以点D的坐标为(2,3) 20 (14 分)已知函数( ) lnx f x x ()求函数( )f x的单调区间; ()设( )( )g xf xx,求证:( )1g x; ()设 22 ( )( )241h xf xxaxa若存在 0 x使得 0 () 0h x ,求a的最大值 第 21 页(共 24 页) 【解答】解: ()( ) lnx f x x , 2 1 ( ) lnx fx x , 令( )0fx,解得:xe, x,( )fx,( )f x的变化如下: x (0, ) e e ( ,)e ( )fx 0 (

    38、)f x 递增 极大值 递减 故( )f x在(0, ) e递增,在( ,)e ; ()证明:( ) lnx f x x ,( ) lnx g xx x , 2 22 11 ( )1 lnxlnxx g x xx , 当(0,1)x时, 2 10 x,0lnx,故( )0g x, 当(1,)x时, 2 10 x,0lnx,故( )0g x, 故( )g x在(0,1)递增,在(1,)递减, 故( )g xg(1)1 ; ()( ) lnx f x x , 22 ( )241 lnx h xxaxa x , 当 1 0 2 a剟时,h(1) 2 242 (12 ) 0aaaa,即存在 1,使得h

    39、(1)0; 当 1 2 a 时,由()可知:1 lnx x x ,即1 lnx x x , 故 22 ( )24h xxxaxa 2 22 21(21) ()4 24 aa xa 2 1 3 4 aa (21)(61) 0 4 aa , 综上,对任意0 x ,( )0h x , 即不存在 0 x使得 0 () 0h x , 综上,a的最大值是 1 2 21(14 分) 设A是由(2)nn n个实数组成的n行n列的数表, 满足: 每个数的绝对值是 1, 第 22 页(共 24 页) 且所有数的和是非负数,则称数表A是“n阶非负数表” ()判断如下数表 1 A, 2 A是否是“4 阶非负数表” ;

    40、 数表 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数表 2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ()对于任意“5 阶非负数表” A,记( )R s为A的第s行各数之和(15)s剟,证明:存在 i,j,1k,2,3,4,5,使得( )( )( ) 3R iR jRk ?; ()当 * 2 ()nNk k时,证明:对与任意“n阶非负数表” A,均存在k行k列,使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k 【解答】 ()解:记( , )a i j为数表A中第i行第j列的数, 11 ( , ) nn ij a i j 为数表A中所有数的

    41、和, 11 ( , ) ij a i j kk 为数表A中前k行k列交叉处各数之和 1 A是“4 阶非负数表” ; 2 A不是“4 阶非负数表” ; ()证明:由题意可知,( , )1a i j ,1,1i ,2,3,4,5,1j ,2,3,4,5,且 数表A是“5 阶非负数表” , 所以( )(1R s s ,2,3,4,5)为奇数,且R(1)R(2)R(3)R(4)R(5)0, 不妨设R(1)R(2)R(3)R(4)R(5) , 当R(3)0时,因为R(3)为奇数, 第 23 页(共 24 页) 所以R(3)1, 所以R(1)R(2)R(3)3R(3)3; 当R(3)0时,因为R(3)为奇

    42、数, 所以R(3)1, 所以R(4)R(5)2R(3)2, 所以R(1)R(2)R(3)R(4)R(5)2, 又因为R(1) ,R(2) ,R(3)均为奇数, 所以R(1)R(2)R(3)3 ()证明:先证明数表A中存在1n 行n列(2 )n k,其所有数的和大于等于 0, 设 1 ( )( , )(1,2, ) n j R ia i j in , 由题意可知 1 ( ) 0 n i R i , 不妨设R(1)R(2)R(3)( )R n厖, 由于 11 111 ( )(1)( )( )(1) ( ) nnn iii nR inR iR inR n 1 1 ( )( ) 0 n i R iR

    43、n , 所以 1 11 1 ( )( ) 0 nn ii n R iR i n 厖; 由及题意,不妨设数表A前1n 行n列(2 )n k,其所有数的和大于等于 0, 下面考虑前21k行,证明存在21k行k列,其所有数的和大于等于k, 设 21 1 ( )( , )(1,2,2 ) i T ja i jj k k, 则 221 11 ( )( ) 0 ji T jR i kk , 不妨设T(1)T(2)T(3)(2 )T厖k, 因为( )T j为21k个奇数的和, 所以( )T j为奇数(1j ,2,3,2 )k, 1当( ) 0T k ?时,因为( )T k为奇数, 所以( ) 1T k ?,

    44、 所以 1 ( )( ) j T jT k 卥k 卥; 第 24 页(共 24 页) 2当( )0Tk时,因为( )T k为奇数, 所以( )1Tk ?, 所以 2 1 ( )( ) j T jT k k 刱k 刱, 所以 2 11 ( )( ) jj T jT j kk k 厖k; 在所设数表A下,证明前21k行前k列中存在k行k列,其所有数的和大于等于k, 设 1 ( )( , )(1,2,21) j R ia i j i k k, 则 21 11 ( )( ) ij R iT j kk 卥, 不妨设 R (1) R (2) R (3)(21) R 厖k, 1当( ) 1R k ?时, 1 ( )( ) i R iR k 卥k 卥, 2当( ) 0R k ?时,(21)(22)( ) 0RRRk刱剟k ?, 所以 21 11 ( )( ) ii R iR i kk k 卥卥, 所以 111 ( , )( ) iji a i jR i kkk 卥, 综上所述,对于任意“n阶非负数表” A,均存在k行k列,使得这k行k列交叉处的 2 k个 数之和不小于k

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