2020-2021学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 A1，2，3，5，B2，3，那么 AB（ ） A2，3 B1，5 C1，2，3，5 D3 2 （4 分）复数 2 1: =（ ） A1+i B1i Ci D2 3 （4 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Aysinx Byx3 Cy

2、2 x Dyln|x| 4 （4 分） （2+）4的展开式中常数项是（ ） A8 B16 C24 D32 5（4 分） 已知抛物线 y24x 上一点 P到焦点 F 的距离为 5， 那么点P 到 y 轴的距离是 （ ） A2 B3 C4 D5 6 （4 分）函数 f（x）ln（x+1） 1 的一个零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ） A4 B5 C42 D41 8 （4 分）已知 aR，则“a1”是“函数 f（x）cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”的 （ ） A充

3、分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）已知直线 ykx+1 与圆 x24x+y20 相交于 M，N 两点，且| 23，那么 第 2 页（共 17 页） 实数 k 的取值范围是（ ） A4 1 3 B0 4 3 Ck0 或 4 3 D 4 3 0 10 （4 分）斐波那契数列又称“黄金分割数列” ，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为 例子而引入，故又称为“兔子数列” 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有 着广泛的应用斐波那契数列an可以用如下方法定义：anan1+an2（n3，nN*） ， a1a21若此数列各项除以 4 的余数依次构成一

4、个新数列bn，则 b2021（ ） A1 B2 C3 D5 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）已知an是等差数列，若 a11，a713，则 a4 12 （5 分）已知向量 =（2，m） ， =（1，2） ，且 ，则实数 m 13（5 分） 已知双曲线 2 2 2 9 = 1(0)的离心率是5 4， 则双曲线的右焦点坐标为 14（5 分） 已知函数() = (2 + )(| 2 |)， 那么函数 f （x） 的最小正周期是 ： 若函数 f（x）在 2 ， 5 6 上具有单调性，且( 2) = ( 5 6 )，则 15 （5 分）

5、高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人 兴趣、未来职业规划等要素，任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考已知某班 37 名学生关于选考科目的统计结果如表： 选考科目名 称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人 数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若 a19，则 b11； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少 的 其中所有正确结论的序号是 三

6、、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 第 3 页（共 17 页） 16 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD，ADCD，且 AD CDPD2AB2 （）求证：AB平面 PAD； （）求二面角 PBCA 的余弦值 17 （13 分）在ABC 中，b7，c5，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为 已知，求： （）B 的值； （）ABC 的面积 条件：sin2BsinB；条件：cos2BcosB 18 （14 分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应

7、用于日常体温检 测调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温 计测量体温可能会产生误差对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果 相同，我们认为智能体温计“测温准确” ；否则，我们认为智能体温计“测温失误” 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如表： 序号 智能体温计 测温（C） 水银体温计 测温（C） 序号 智能体温计 测温（C） 水银体银计 测温（C） 01 36.6 36.6 11 36.3 36.2 02 36.6 36.5 12 36.7 36.7 03 36.5 36.7 13 36.2 36.2 04 36.5 36.

8、5 14 35.4 35.4 05 36.5 36.4 15 35.2 35.3 06 36.4 36.4 16 35.6 35.6 第 4 页（共 17 页） 07 36.2 36.2 17 37.2 37.0 08 36.3 36.4 18 36.8 36.8 09 36.5 36.5 19 36.6 36.6 10 36.3 36.4 20 36.7 36.7 （）试估计用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率； （）从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温，设随机变量 X 为使用智能体温 计“测温准确”的人数，求 X 的分布列与数学期望； （）医学上通常认为，人的体温在不

9、低于 37.3C 且不高于 38C 时处于“低热”状 态该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有 3 人的体温都是 37.3C，能否由上 表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由 19 （15 分）已知函数 f（x）alnx+ 1 2 2（a+1）x+1 （）当 a0 时，求曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）在 x1 处取得极小值，求实数 a 的取值范围 20 （15 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的长轴长为 4，且离心率为1 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F（1，0）且斜率为 k 的直线 l

10、 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直 平分线交 x 轴于点 D，判断| |是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定 值，请说明理由 21 （15 分）已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项（i1i2im） ， 若12，则称新数列1，2，为an的长度为 m 的递增子列规 定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列 （）写出数列 9，2，6，7，3，5，8 的一个长度为 4 的递增子列； （）设数列an，ann，1n14若数列an的长度为 p 的递增子列中，任意三项 均不构成等差数列，求 p 的最大值； （）设数列an为等比数列，公比为 q，项

11、数为 N（N3） 判定数列an是否存在长 度为 3 的递增子列：1，16，81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 A1，2，3，5，B2，3，那么 AB（ ） A2，3 B1，5 C1，2，3，5 D3 【解答】

12、解：集合 A1，2，3，5，B2，3， AB1，2，3，5 故选：C 2 （4 分）复数 2 1: =（ ） A1+i B1i Ci D2 【解答】解：复数 2 1: = 2(1;) (1:)(1;) = 2:2 1:1 =1+i 故选：A 3 （4 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Aysinx Byx3 Cy2 x Dyln|x| 【解答】解：对于 A，ysinx 是奇函数，但在区间（0，+）上不单调，不符合题意； 对于 B，yx3是奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，符合题意； 对于 C，y2 x（1 2） x 为非奇非偶函数，不符合题意； 对于 D，y

13、ln|x|为偶函数，不符合题意 故选：B 4 （4 分） （2+）4的展开式中常数项是（ ） A8 B16 C24 D32 【解答】解： （2+）4的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 24r()， 当 r0 时，可得展开式中的常数项为4 02416 故选：B 5（4 分） 已知抛物线 y24x 上一点 P到焦点 F 的距离为 5， 那么点P 到 y 轴的距离是 （ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：由抛物线的方程可得：p2， 第 6 页（共 17 页） 又由抛物线的定义可知点 P 到 F 的距离等于点 P 到抛物线的准线的距离， 则点 P 到 y 轴的距离为|PF| 2 =514， 故

14、选：C 6 （4 分）函数 f（x）ln（x+1） 1 的一个零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【解答】解：题中所给的函数具有连续性， 且：(1) = 2 1 = 2 0，(2) = 3 1 2 = 3 0， 由函数零点存在定理可得函数的一个零点所在的区间是（1，2） 故选：B 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ） A4 B5 C42 D41 【解答】解：作出三棱锥的直观图如图所示： 三棱锥是长方体的一个角， 且 AC4，BA3，AD4， DC42，BC5，BD5 该三棱锥的最长棱的棱长为 42 故选：C

15、 第 7 页（共 17 页） 8 （4 分）已知 aR，则“a1”是“函数 f（x）cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当 a1 时，函数 f（x）cos2xsin2xcos2x，所以函数的最小正周期为 T= 2 2 = ， 当函数 f（x）cos2axsin2ax 的最小正周期为 时，则 a1 则“a1”是“函数 f（x）cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”的充分不必要条件 故选：A 9 （4 分）已知直线 ykx+1 与圆 x24x+y20 相交于 M，N 两点，且| 23，

16、那么 实数 k 的取值范围是（ ） A4 1 3 B0 4 3 Ck0 或 4 3 D 4 3 0 【解答】解：当弦长|MN|23时，弦心距 d1 若|MN|23，则 d1， 即圆心（2，0）到直线 kxy+20 的距离 d= |2+1| 1+2 1， 求得 k 4 3，0， 故选：D 10 （4 分）斐波那契数列又称“黄金分割数列” ，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为 例子而引入，故又称为“兔子数列” 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有 着广泛的应用斐波那契数列an可以用如下方法定义：anan1+an2（n3，nN*） ， a1a21若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新数

17、列bn，则 b2021（ ） A1 B2 C3 D5 【解答】解：由题设可得数列an：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 第 8 页（共 17 页） 数列bn：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0， 数列bn是周期为 6 的周期数列， b2021b3366+5b51， 故选：A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）已知an是等差数列，若 a11，a713，则 a4 7 【解答】解：an是等差数列，a11，a713， a71+6d13， 解得 d2， a41+327 故答案为：7 12 （5

18、分）已知向量 =（2，m） ， =（1，2） ，且 ，则实数 m 1 【解答】解：向量 =（2，m） ， =（1，2） ，且 ， =21+m20，实数 m1， 故答案为：1 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 9 = 1(0)的离心率是5 4，则双曲线的右焦点坐标为 （5， 0） 【解答】解：双曲线 2 2 2 9 = 1(0)的离心率是5 4， 可得 2:9 = 5 4，解得 a4，则 c= 16 + 9 =5， 所以双曲线的右焦点坐标为（5，0） 故答案为： （5，0） 14 （5 分）已知函数() = (2 + )(| 2 |)，那么函数 f（x）的最小正周期是 ： 若函数 f（x）

19、在 2 ， 5 6 上具有单调性，且( 2) = ( 5 6 )，则 3 【解答】解：因为函数() = (2 + )(| 2)， 所以 = 2 2 = ， 故函数 f（x）的最小正周期是 ； 第 9 页（共 17 页） 因为( 2) = ( 5 6 )， 则函数 f（x）的一个对称中心为( 2+ 5 6 2 ，0)，即关于点(2 3 ，0)对称， 令 2 2 3 +k，解得 = 4 3 + ， ， 又因为| 2， 故 = 3， 当 = 3时，() = (2 + 3)， 当 x 2 ， 5 6 时，2 + 3 4 3 ，2， 又函数 ysinx 在4 3 ，2上不是单调函数， 故函数 f（x）在

20、 2 ， 5 6 上不具有单调性，不符合题意； 故 = 3 15 （5 分）高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人 兴趣、未来职业规划等要素，任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考已知某班 37 名学生关于选考科目的统计结果如表： 选考科目名 称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人 数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若 a19，则 b11； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“生物+历史+地理”

21、的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少 的 其中所有正确结论的序号是 【解答】 解： 因为全班有 37 个人， 一共有 373 种选法， 若 a19， 则有 24+28+14+15+19+b 373，解得 b11，故选项正确； 第 10 页（共 17 页） 一共有 37 个人，其中有 28 个人选化学，则共有 9 人未选化学，所以选考科目组合为“历 史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人，故选项正确； 选考化学的所有学生中，还可以再选两科，即 5 科中选 2 科，一共有5 2 = 54 21 = 10种选 法，故选项正确； 因为在所给的已知条件中，a 和 b 的值都是未知的， 故选考科目

22、组合为“生物+历史+地理”的学生人数和选考科目组合为“生物+历史+政” 的学生人数不确定谁多谁少，故选项错误 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD，ADCD，且 AD CDPD2AB2 （）求证：AB平面 PAD； （）求二面角 PBCA 的余弦值 【解答】 （）证明：因为 PD平面 ABCD，AB平面 ABCD， 所以 PDAB （2 分） 因为 ABCD，ADCD， 所以 ADAB （4 分） 因为 P

23、DADD， （5 分） 所以 AB平面 PAD （6 分） （）解：因为 PD平面 ABCD，ADCD， （7 分） 所以以 D 为原点，分别以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz 则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ， （8 分） 第 11 页（共 17 页） 所以 = (2，1， 2)， = (2，1，0) 设平面 PBC 的法向量为 = (，)， = 2 + 2 = 0 = 2 + = 0 ， 令 x1，于是 = (1，2，2) （10 分） 因为 PD平面 ABCD， 所以平面 ABC 的法

24、向量为 = (0，0，1)， （11 分） 所以 ， = | |= 2 3 （12 分） 由题知二面角 PBCA 为锐角，所以其余弦值是2 3 （13 分） 17 （13 分）在ABC 中，b7，c5，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为 已知，求： （）B 的值； （）ABC 的面积 条件：sin2BsinB；条件：cos2BcosB 【解答】解：选择条件： （）因为 sin2BsinB， 所以 sinB（2cosB1）0， 因为 0B，所以 sinB0， 所以 = 1 2， 所以 = 3 第 12 页（共 17 页） （）由余弦定理 b2a2+c22accosB， 得72= 2+ 52

25、2 5 3， 所以 a25a240， 解得 a8 或 a3， 所以 a8， 所以ABC 的面积 = 1 2 = 103 选择条件： （）因为 cos2BcosB， 所以 2cos2BcosB10， 解得 cosB1 或 = 1 2， 因为 0B， 所以 = 1 2， 所以 = 2 3 （）由余弦定理 b2a2+c22accosB，得72= 2+ 52 2 5 2 3 ， 所以 a2+5a240， 解得 a3 或 a8（舍负） ， 所以 a3， 所以ABC 的面积 = 1 2 = 15 4 3 18 （14 分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检 测调查发现，使

26、用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温 计测量体温可能会产生误差对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果 相同，我们认为智能体温计“测温准确” ；否则，我们认为智能体温计“测温失误” 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如表： 序号 智能体温计 测温（C） 水银体温计 测温（C） 序号 智能体温计 测温（C） 水银体银计 测温（C） 01 36.6 36.6 11 36.3 36.2 02 36.6 36.5 12 36.7 36.7 第 13 页（共 17 页） 03 36.5 36.7 13 36.2 36.2 04 36.5 36.

27、5 14 35.4 35.4 05 36.5 36.4 15 35.2 35.3 06 36.4 36.4 16 35.6 35.6 07 36.2 36.2 17 37.2 37.0 08 36.3 36.4 18 36.8 36.8 09 36.5 36.5 19 36.6 36.6 10 36.3 36.4 20 36.7 36.7 （）试估计用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率； （）从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温，设随机变量 X 为使用智能体温 计“测温准确”的人数，求 X 的分布列与数学期望； （）医学上通常认为，人的体温在不低于 37.3C 且不高于

28、38C 时处于“低热”状 态该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有 3 人的体温都是 37.3C，能否由上 表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由 【解答】解： （）表中 20 人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同 的序号是 01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有 12 种情况； 由此估计所求的概率为12 20 = 3 5 （）随机变量 X 的所有可能取值为 X0，1，2，3； 由（）可知，用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率为3 5 所以( = 0) = 3 0(3 5) 0(1 3 5)

29、3 = 8 125； ( = 1) = 3 1(3 5) 1(1 3 5) 2 = 36 125； ( = 2) = 3 2(3 5) 2(1 3 5) 1 = 54 125； ( = 3) = 3 3(3 5) 3(1 3 5) 0 = 27 125； 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 第 14 页（共 17 页） P 8 125 36 125 54 125 27 125 计算 X 的数学期望为() = 0 8 125 + 1 36 125 + 2 54 125 + 3 27 125 = 225 125 = 9 5 （）设这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态为事件 N， 表中

30、20 人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为 02，05， 11，17，共计 4 种情况，由此估计从社区任意抽査 1 人，用智能体温计的测温结果高于 其真实体温的概率为1 5由此估计，这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态的概率为 () = 1 (1 5 1 5 1 5) = 124 125 结论 1：因为() = 124 125，接近于 1，由此可以认定这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状 态 结论 2：因为() = 124 125 1，所以有可能这 3 人都不处于“低热”状态 19 （15 分）已知函数 f（x）alnx+ 1 2 2（a+1）x+1 （）当

31、 a0 时，求曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）在 x1 处取得极小值，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （I）当 a0 时，() = 1 2 2 + 1， （1 分） 所以 f（x）x1， （3 分） 所以 kf（2）1， （4 分） 因为(2) = 1 2 22 2 + 1 = 1 （5 分） 所以切线方程为 yx1 （6 分） （）函数 f（x）的定义域为（0，+） 因为() = + 1 2 2 ( + 1) + 1（7 分） 所以() = + 1 = 2(+1)+ （9 分） 令 f（x）0，即 x2（a+1）x+a0，解得 x1 或 xa

32、（10 分） （1）当 a0 时，当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化状态如下表： x （0，1） 1 （1，+） f（x） 0 + 第 15 页（共 17 页） f（x） 极小值 所以当 x1 时，f（x）取得极小值 所以 a0 成立 （11 分） （2）当 0a1 时，当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化状态如下表： x （0，a） a （a，1） 1 （1，+） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 所以当 x1 时，f（x）取得极小值 所以 0a1 成立 （12 分） （3）当 a1 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立， 所以函数 f（x）在（0，+）上单调

33、递增，没有板小值，不成立 （13 分） （4）当 a1 时，当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化状态如下表： x （0，1） 1 （1，a） a （a，+） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 所以当 x1 时，f（x）取得极大值 所以 a1 不成立 （14 分） 综上所述，a1 （15 分） 20 （15 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的长轴长为 4，且离心率为1 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F（1，0）且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直 平分线交 x 轴于点 D，判断| |是否为定值？如果是定值

34、，请求出此定值；如果不是定 值，请说明理由 【解答】解： （）依题意 2a4，a2，离心率为1 2，c1，则 b 23， （4 分） 故椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 （5 分） （II）| |是定值 （6 分） 理由如下： 第 16 页（共 17 页） 由已知得直线 l：yk（x1） ， （7 分） 代入椭圆方程 2 4 + 2 3 = 1，消去 y 得（4k2+3）x28k2x+4k2120， （8 分） 所以（8k2）24（4k2+3） （4k212）144k2+1440， （9 分） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）则 x1+x2= 82 42+3，x1x2=

35、4212 42+3 ， （10 分） 所以|2= (2 1)2+ (2 1)2= (1 + 2)(1+ 2)2 412 = (1 + 2)( 82 42+3) 2 4(4212) 42+3 = (12(1+ 2) 42+3 )2， 所以| = 12(1+2) 42+3 （11 分） 因为1+ 2= (1+ 2 2) = ( 82 42+3 2) = 6 42+3， 所以线段 AB 的中点为( 42 42+3 ， 3 42+3)， （12 分） （1）当 k0 时， 所以| | = 4 （13 分） （2）当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 + 3 42+3 = 1 ( 42 42+3

36、)， 令 y0，得 = 2 42+3，即( 2 42+3 ，0)， 所以| = |1 2 42+3 | = 3(2+1) 42+3 ， （14 分） 所以| | = 12(1+2) 42+3 3(1+2) 42+3 = 4， 综上所述，| |为定值 4 （15 分） 21 （15 分）已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项（i1i2im） ， 若12，则称新数列1，2，为an的长度为 m 的递增子列规 定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列 （）写出数列 9，2，6，7，3，5，8 的一个长度为 4 的递增子列； （）设数列an，ann，1n14若数列an的长

37、度为 p 的递增子列中，任意三项 均不构成等差数列，求 p 的最大值； （）设数列an为等比数列，公比为 q，项数为 N（N3） 判定数列an是否存在长 度为 3 的递增子列：1，16，81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由 【解答】解： （）长度为 4 的一个递增子列为：2，6，7，8（或 2，3，5，8） ； 第 17 页（共 17 页） （）设数列an的长度为 P 的递增子列为：1，2，i1i2ip， 因为数列an：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数， 所以3 1 3， （若3 1= 2，则1，2，3成等差数列） ， 同理5 3

38、 3，且5 3 3 1， 所以5 1 7， 同理9 5 7， 又因为9 5 5 1， 所以9 1 15与已知条件矛盾， 所以 ip8， 构造数列an的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差 数列，所以 p 的最大值为 8 （）不存在理由如下： 由题意，假设数列an存在长度为 3 的递增子列：1，16，81， 则存在 1i1i2i3N，使1= 1，2= 16，3= 81， 所以2= 12;1，得2;1= 16， 同理3= 13;1，得3;1= 81， 所以3;1 2;1 = 281 216 = 23()， 下面证明 log23 为无理数： 假设23 = 为有理数，且 k，m 互质， 所以 2k3m， 因为 2k是偶数，3m是奇数， 所以 2k3m，与事实矛盾，故假设不成立，所以 log23 为无理数， 又因为 N 为有理数，所以（*）式不成立， 所以数列an不存在长度为 3 的递增子列：1，16，81