2020-2021学年天津市六校高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年天津市六校高二（上）期末数学试卷学年天津市六校高二（上）期末数学试卷 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 9 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 45 分）分） 1 （5 分）抛物线 2 4xy的焦点到准线的距离为( ) A1 B2 C4 D8 2 （5 分）已知直线230 xy与直线210 xmy 平行，则它们之间的距离为( ) A 5 2 B10 C 3 5 2 D 3 10 2 3 （5 分）下列说法正确的有几个( ) 直线32()yaxaaR必过定点(3,2)； 直线32yx在y轴上的截距为2； 直线310 xy 的倾斜角为6

2、0 A0 B1 C2 D3 4 （5 分）设数列 n a前n项和为 n S，已知3 nn San，则 3 (a ) A 9 8 B15 8 C19 8 D 27 8 5 （5 分）在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100， 2)( 0)，若在 (85,115)内的概率 为 0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于 115 的概率为( ) A0.25 B0.1 C0.125 D0.5 6（5 分） 如图， 长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，1AD ，E，F，G分别是 1 DD， AB， 1 CC的中点，则异面直线 1 AE与GF所成角为( ) A30 B4

3、5 C60 D90 第 2 页（共 15 页） 7 （5 分）已知随机变量X，Y满足：(2, )XBp，21YX，且 5 (1 ) 9 P X，则( )(D Y ) A 4 9 B 7 3 C16 9 D17 9 8 （5 分）设双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的两条渐近线与圆 22 10 xy相交于A，B，C， D四点，若四边形ABCD的面积为 12，则双曲线的离心率是( ) A 10 3 B10 C10或 10 3 D2 10 9 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 :340lxy交椭圆E于A，B两点，若|

4、 4AFBF，点M到直线l的距离不小于 4 5 ， 则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A(0， 3 2 B(0， 3 4 C 3 2 ，1) D 3 4，1) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 10 （5 分）在 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 11 （5 分）已知圆C过点(0,1)，( 2,3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为 12 （5 分）某科技小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若X表示选 出女生的人数，则(2)P X 13（5 分） 一个医疗小队有 3 名男医

5、生， 4 名女医生， 从中抽出两个人参加一次医疗座谈会， 则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 14 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 0 (1,)Py是抛物线上一点，过点P向 抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若PDF为等边三角形，则p 15 （5 分）某大型联欢会准备从含甲、乙的 6 个节目中选取 4 个进行演出，要求甲、乙 2 个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演 出顺序的种数为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 75 分分.答题时，请写出必要的推理过程和演算步

6、骤）答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤） 16 （14 分） 已知直线:30l xy被圆 22 :()(2)4(0)Cxaya截得的弦长为2 2 （1）求a的值； （2）求过点(3,5)与圆相切的直线的方程 第 3 页（共 15 页） 17 （15 分）设 n a为等差数列， n S为数列 n a的前n项和，已知 4 1a ， 15 75S （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 n S n 的前n项和 n T 18 （15 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 现 安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立 （）求

7、至少有一种新产品研发成功的概率； （）若新产品A研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品B研发成功，预计企 业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 19（15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，24PDAD，PDDA，PDDC， 底面ABCD 为正方形，M，N分别为AD，PD的中点 （）求证：/ /PA平面MNC； （）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值； （）求平面PAB与平面MNC所成角的余弦值 20 （16 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为(0, 3)A，离心率为 2 2 ，右焦点 为F，其中O为原点 （）求椭圆的方程

8、； （）设点C满足mOFOC，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点） （）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求实数m的取值范 围； （）若 1 3 m ，点B在第四象限，且sin2sinAFBBFC，求直线AB的斜率 第 4 页（共 15 页） 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年天津市六校高二（上）期末数学试卷学年天津市六校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 9 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 45 分）分） 1 （5 分）抛物线 2 4xy的焦点到准线的距离为( ) A1 B2 C4

9、 D8 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为： 2 4xy， 其焦点坐标为(0,1)，准线方程1y ， 则其焦点到准线的距离为 2； 故选：B 2 （5 分）已知直线230 xy与直线210 xmy 平行，则它们之间的距离为( ) A 5 2 B10 C 3 5 2 D 3 10 2 【解答】解：直线230 xy与直线210 xmy 平行， 21 123 m ，求得4m ， 故两平行直线即 直线2460 xy与直线2410 xy ， 故它们之间的距离为 |61|5 2416 ， 故选：A 3 （5 分）下列说法正确的有几个( ) 直线32()yaxaaR必过定点(3,2)； 直线32yx在y轴

10、上的截距为2； 直线310 xy 的倾斜角为60 A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于，直线(3)2()ya xaR必过定点(3,2)，故正确； 对于，线32yx在y轴上的截距为2，故正确； 对于，直线直线310 xy 的斜率3，其倾斜角为150，故错误； 故选：C 4 （5 分）设数列 n a前n项和为 n S，已知3 nn San，则 3 (a ) 第 6 页（共 15 页） A 9 8 B15 8 C19 8 D 27 8 【解答】解：数列 n a前n项和为 n S，已知3 nn San， 则 11 31Sa， 可得 1 1 2 a ， 2122 32Saaa， 解得 2 5 4 a

11、 ， 31233 33Saaaa， 解得 3 19 8 a 故选：C 5 （5 分）在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100， 2)( 0)，若在 (85,115)内的概率 为 0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于 115 的概率为( ) A0.25 B0.1 C0.125 D0.5 【解答】解：由学生成绩服从正态分布(100， 2)( 0)，且(85115)0.75P， 得 1(85115)10.75 (115)0.125 22 P P 故选：C 6（5 分） 如图， 长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，1AD ，E，F，G分别是 1 DD， AB，

12、 1 CC的中点，则异面直线 1 AE与GF所成角为( ) A30 B45 C60 D90 第 7 页（共 15 页） 【解答】解：如图：连接 1 BG，EG E，G分别是 1 DD， 1 CC的中点， 11/ / ABEG， 11 ABEG，四边形 11 ABGE为平行四边形 11 / /AEBG， 1 BGF即为异面直线 1 AE与GF所成的角 在三角形 1 BGF中， 22 1111 1 12BGBCC G 22 213FGFCC G 22 11 415B FB BBF 222 11 BGFGB F 1 90BGF 异面直线 1 AE与GF所成角为90 故选：D 7 （5 分）已知随机变

13、量X，Y满足：(2, )XBp，21YX，且 5 (1 ) 9 P X，则( )(D Y ) A 4 9 B 7 3 C16 9 D17 9 【解答】解：随机变量X满足：(2, )XBp，且 5 (1) 9 P X， 02 2 4 (0)1(1)(1) 9 P XP XCp ， 解得 1 3 p ， 1 (2, ) 3 XB， 114 ()2(1) 339 D X， 21YX， 第 8 页（共 15 页） 2 16 ( )2() 9 D YD X 故选：C 8 （5 分）设双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的两条渐近线与圆 22 10 xy相交于A，B，C， D四点，若四边形AB

14、CD的面积为 12，则双曲线的离心率是( ) A 10 3 B10 C10或 10 3 D2 10 【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为 b yx a ，不妨设点A为 b yx a 与圆的交点，其 坐标为( ,) b mm a ，0m ， 由双曲线和圆的对称性可知，四边形ABCD为矩形，且 1 4212 2 b mm a ，即 2 3a m b ， 圆 22 10 xy的半径为10， 22 |()10 b OAmm a ， 由得， 10 3 ba ab ，解得 1 3 3 b a 或， 0ab， 1 3 b a ， 双曲线的离心率 22 10 3 cab e aa ， 故选：A 9 （5 分）

15、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 :340lxy交椭圆E于A，B两点，若| 4AFBF，点M到直线l的距离不小于 4 5 ， 则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A(0， 3 2 B(0， 3 4 C 3 2 ，1) D 3 4，1) 【解答】解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行 四边形， 4 | | 2AFBFAFAFa ，2a 取(0, )Mb，点M到直线l的距离不小于 4 5 ， 22 |4 |4 5 34 b ，解得1b 2 22 13 11 22 cb e aa 椭圆E的离心率的取值范围是

16、 3 (0, 2 第 9 页（共 15 页） 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 10 （5 分）在 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 40 【解答】解：通项公式 25535 155 2 () ()( 2) rrrrrr r TCxC x x ， 令354r ，解得3r 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数 23 5 ( 2)40C 故答案为：40 11 （5 分）已知圆C过点(0,1)，( 2,3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为 22 (3)10 xy 【解答】解：根据题意，设

17、圆心C的坐标为(a，0)(0)a ， 圆C过点(0,1)，( 2,3)，则有 2222 (0)(01)(2)(03)aa， 解可得：3a ，即圆心的坐标为( 3,0)， 圆的半径9110r ，则圆C的标准方程为 22 (3)10 xy， 故答案为： 22 (3)10 xy 12 （5 分）某科技小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若X表示选 出女生的人数，则(2)P X 15 56 【解答】解：某科技小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动， 基本事件总数 3 8 56nC， 若X表示选出女生的人数，则2X 包含的基本事件个数 12 53 15mC

18、 C， 则 15 (2) 56 m P X n 故答案为： 15 56 第 10 页（共 15 页） 13（5 分） 一个医疗小队有 3 名男医生， 4 名女医生， 从中抽出两个人参加一次医疗座谈会， 则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 1 5 【解答】解：从 3 名男医生，4 名女医生中抽出两个人，至少有一名男医生的种类数为 112 343 15C CC， 而抽出两个人都是男医生的种类数为 2 3 3C ，所以在已知在一名医生是男医生的条件下， 另一名医生也是男医生的概率是 31 155 故答案为： 1 5 14 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p

19、的焦点为F， 0 (1,)Py是抛物线上一点，过点P向 抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若PDF为等边三角形，则p 2 3 【解答】解：抛物线 2 :2(0)C ypx p，焦点为( 2 p F，0)，准线为: 2 p l x ， 0 (1,)Py是抛物线上一点，则 2 0 2yp， 由题意可得( 2 p D ，2 )p， 由于PFD为等边三角形，则有| | |PFPDFD， 即有：12 2 p p，可得 2 3 p 故答案为： 2 3 15 （5 分）某大型联欢会准备从含甲、乙的 6 个节目中选取 4 个进行演出，要求甲、乙 2 个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能

20、相邻，那么不同的演 出顺序的种数为 264 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 若甲、乙 2 个节目中只有一个参加，则有 134 244 192C C A 种情况； 若甲、乙 2 个节目都参加，有 222 423 72C A A 种情况； 则有19272264种演出顺序， 故答案为：264 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 75 分分.答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤）答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤） 16 （14 分） 已知直线:30l xy被圆 22 :()(2)4(0)Cxaya截得的弦长为2 2 第 11 页（共 15 页） （1）求

21、a的值； （2）求过点(3,5)与圆相切的直线的方程 【解答】解： （1）根据题意，圆 22 :()(2)4Cxay，其圆心为( ,2)a，半径2r ， 直线:30l xy被圆 22 :()(2)4(0)Cxaya截得的弦长为2 2 则圆心到直线的距离 22 ( 2)2dr， 则有 |23| 2 2 a ，解得1a 或3a （舍)， 故1a ， （2）由（1）的结论，1a ，则圆C的方程为 22 (1)(2)4xy， 若切线的斜率不存在，此时切线的方程为3x ，符合题意， 若切线的斜率存在，设切线的斜率为k， 则切线的方程为5(3)yxk，即350 xykk， 则有 2 |235| 2 1 k

22、k k ，解得 5 12 k， 此时切线的方程为 5 5(3) 12 yx，即512450 xy 所以切线的方程为3x 或512450 xy 17 （15 分）设 n a为等差数列， n S为数列 n a的前n项和，已知 4 1a ， 15 75S （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 n S n 的前n项和 n T 【解答】解： （）设首项为 1 a，公差为d的等差数列，满足 4 1a ， 15 75S， 所以： 1 1 31& 15 14 1575& 2 ad ad ，解得 1 2& 1& a d ， 所以3 n an， （）由（）得： 1 11 (1)2(1) 22 n S and

23、n n ， 由于 1 1 12 nn SS nn （常数） ， 所以数列 n S n 是以2为首项， 1 2 为公差的等差数列 第 12 页（共 15 页） 所以 2 19 44 n Tnn 18 （15 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 现 安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立 （）求至少有一种新产品研发成功的概率； （）若新产品A研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品B研发成功，预计企 业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 【解答】解： （）设至少有一种新产品研发成功的事件为

24、事件A且事件B为事件A的对立 事件，则事件B为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 则P（B） 23122 (1)(1) 353515 ， 再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）1P （B） 13 15 ， 故至少有一种新产品研发成功的概率为 13 15 （）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有 0，120，100，220， 由独立试验的概率计算公式可得， 232 (0)(1)(1) 3515 P X ， 234 (120)(1) 3515 P X ， 231 (100)(1) 355 P X ， 232 (220) 355 P X ， 所以

25、X的分布列如下： X 0 120 100 220 ( )P x 2 15 4 15 1 5 2 5 则数学期望 2412 ()0120100220140 151555 E X 19（15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，24PDAD，PDDA，PDDC， 底面ABCD 为正方形，M，N分别为AD，PD的中点 （）求证：/ /PA平面MNC； 第 13 页（共 15 页） （）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值； （）求平面PAB与平面MNC所成角的余弦值 【解答】 （）证明：M，N分别为AD，PD的中点， / /PAMN， 又PA平面MNC，MN 平面MNC， / /PA平面MNC； （

26、）解：如图建立空间直角坐标系，24PDAD， (2A，0，0)，(2B，2，0)，(0C，2，0)，(0P，0，4)，(1M，0，0)，(0N，0，2)， (2PB ，2，4)，(0NC ，2，2)，( 1MN ，0，2)， 设平面MNC的一个法向量为(nx，y，) z， 则 20 220 n MNxz n NCyz ，取1z ，得(2n ，1，1)， 设直线PB与平面MNC所成角为，则 21 sin|cos,| | | 6| |6 2 6 n PB n PB nPB ； （）解：(2,0, 4)PA，(0,2,0)AB ， 设平面PAB的一个法向量为 111 (,)mx y z， 由 11

27、1 240 20 m PAxz m ABy ，取 1 2x ，得(2,0,1)m ， 221 130 cos, | |656 m n m n mn ， 又平面PAB与平面MNC所成角为锐角， 第 14 页（共 15 页） 平面PAB与平面MNC所成角的余弦值为 30 6 20 （16 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为(0, 3)A，离心率为 2 2 ，右焦点 为F，其中O为原点 （）求椭圆的方程； （）设点C满足mOFOC，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点） （）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求实数m的取值范 围； （）若 1 3 m

28、 ，点B在第四象限，且sin2sinAFBBFC，求直线AB的斜率 【解答】解： （）由题意可知，3b ，离心率 2 2 c e a ， 又 222 abc， 所以 22 9cb， 22 218ac， 所以椭圆的方程为 22 1 189 xy ； （） （）由（）可知，(3,0)F，又点C满足mOFOC， 所以(3 ,0)Cm，不妨设 0 (B x， 0) y， 所以 22 00 1 189 xy ， 00 3 (,) 22 xy P ， 因为CPAB，则0CP AB， 所以 00 00 3 (3 )(0)(0)(3)0 22 xy m xy ， 第 15 页（共 15 页） 即 2 00 0

29、 9 30 22 xy mx ，即 22 00 0 1 3()0 222 xx mx， 所以 2 00 1 3 4 mxx，则 0 1 12 mx， 又 0 ( 3 2,3 2)x 且 0 0 x ， 所以 22 (,0)(0,) 44 m ； （）因为(0, 3)A，(3,0)F，所以AOFO，45AFC， 所以AFBBFCAFC ， 故 2 sinsin()sincos45cossin45(sincos) 2 AFBBFCAFCBFCBFCBFCBFC ， 又sin2sinsinAFBBFC， 所以sincosBFCBFC ， 故135BFC， 设 0 (B x， 0) y，则 00 3xy， 令直线AB的斜率为k，则 00 00 ( 3)3 1 0 yy xx k， 所以直线AB的斜率为 1