北京市2021年1月高三上学期数学期末考试分类汇编-解析几何压轴题（含参考答案）.pdf

1、第1页 2021.12021.1 北京高三数学期末分类汇编北京高三数学期末分类汇编- -解析几何压轴题解析几何压轴题 1 【东城】 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=过点 ( 2,0),(2,0)AB，且离心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （）设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)， ETx轴，垂足为T. 求证： | | TAGA TBGB = . 第2页 2 【西城】 已知椭圆 22 :1 42 xy C+=. （）求椭圆C的离心率和长轴长； （） 已知直线2ykx=+与椭圆C有两个不同的交点,A B，P为x轴上一点. 是否存在

2、实数k， 使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐 标；若不存在，说明理由. 第3页 3 【海淀】 已知椭圆）（01: 2 2 2 2 =+ba b y a x W的离心率为 2 3 ，且经过点 ），（32C . （）求椭圆W的方程及其长轴长； （）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD 交x轴于点Q，若 ACQ 的面积比 BDQ 的面积大 32 ，求点D的坐标. 第4页 4 【朝阳】 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab +=(0)ab过点 3 (1,) 2 ，且C的离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）过点(1

3、,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，求| |PAPB的取值范围 第5页 5 【丰台】 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab +=过(0,2), ( 3, 1)AB 两点 （）求椭圆W的方程； （）直线AB与x轴交于点( ,0)M m，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l，l 与椭圆W交于,C D两点，直线,AC BD分别交直线xm=于,P Q两点，求证： | | PM MQ 为定值 第6页 6 【石景山】 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率 3 2 e =，且经过点 (0,1)D （）求椭圆C的方程； （） 已知点 ( 1,0)A 和点

4、 ( 4,0)B ， 过点B的动直线l交椭圆C于,M N两点 （M在N左侧） ， 试讨论BAM与OAN的大小关系，并说明理由 第7页 7 【通州】 已知椭圆 () 22 22 :10 xy Cab ab +=的左、右顶点分别为点A，B，且 4AB =，椭圆C离 心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM， BN的交于点Q，求证：点Q在直线4x =上. 第8页 8 【昌平】 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab +=的长轴长为 4，且离心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （）设过点 (1 0)F， 且斜

5、率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平 分线交 x 轴于点 D，判断 AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请 说明理由 第9页 9 【顺义】 已知椭圆() 22 22 :10 xy Cab ab +=经过点()0,1M和 1 ( 3, ) 2 N （）求椭圆 C 的方程； （） 若直线: l ykxm=+与椭圆 C 交于A，B两点， 且坐标原点O到直线l的距离为 2 5 5 求 证：以AB为直径的圆经过点O 第10页 10 【房山】 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab +=的离心率为 2 2 3 ，且过(0,1

6、)点 （）求椭圆G的方程； （）设不过原点O且斜率为 1 3 的直线l与椭圆G交于不同的两点,C D，线段CD的中点为 M，直线OM与椭圆G交于,E F，证明：MCMDMEMF= 第11页 2021.12021.1 北京高三数学期末分类汇编北京高三数学期末分类汇编- -解析几何压轴题解析几何压轴题 参考答案： 1 （共 15 分） 解： （）依题意，得 222 2, 1 , 2 , a c a abc = = =+ 解得 22 4,3ab=. 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. . . 4 分 （）由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：(0)ykxm k=+. 由 22 ,

7、 1 43 ykxm xy =+ += 消去y，整理得 222 (34)8(412)0kxkmxm+=. 依题意，有 2222 6416(34)(3)0k mkm =+=，解得 22 34mk=+. 设 100 ( ,0),(,)G xE xy，则 1 m x k = , 0 2 44 34 kmk x km = + . 因为 ETx 轴，所以 4 (,0) k T m . 所以 4 |2| | 4 | |2()| k TA m k TB m + = | 42| |24 | km mk + = + |2 | |2 | mk mk = + . 又因为 | 2| | | |2| m GA k m

8、GB k + = + |2 | |2 | mk mk = + ， 所以 | | TAGA TBGB =. . . .15 分 2 （共 15 分） 解： （）由题意： 2 4a =， 2 2b =，所以2a =. 1 分 因为 222 abc=+，所以 2 2c =，2c =. 2 分 所以 2 2 c e a =. 3 分 所以椭圆C离心率为 2 2 ，长轴长为4. 4 分 第12页 （）联立 22 2, 1 42 ykx xy =+ += 消y整理得： 22 (21)840kxkx+=. 5 分 因为直线与椭圆交于,A B两点，故0，解得 2 1 2 k . 6 分 设 11 ( ,)A

9、x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 21 k xx k += + ， 12 2 4 21 x x k = + .8 分 设AB中点 00 (,)G xy， 则 12 0 2 4 221 xxk x k + = + ， 00 2 2 2 21 ykx k =+= + ， 故 22 42 (,) 21 21 k G kk + . 9 分 假设存在k和点( ,0)P m，使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形， 则PGAB，故1 PGAB kk= ， 所以 2 2 2 21 1 4 21 k k k m k + = + ，解得 2 2 21 k m k = + ，故 2 2 (0)

10、 2+1 k P k ，.10 分 又因为 2 APB =，所以0PA PB= . 所以 1122 (,) (,)0 xm yxm y=，即 1112 ()()0 xm xmy y+=. 整理得 22 1212 (1)(2)()40kx xkm xxm+=. 所以 22 22 48 (1)(2)40 2121 k kkmm kk += + ， 12 分 代入 2 2 21 k m k = + ，整理得 4 1k =，即 2 1k =. 14 分 当1k = 时，P点坐标为 2 ( ,0) 3 ；当1k =时，P点坐标为 2 (,0) 3 . 此时，PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 15

11、 分 3 （本小题共 14 分） 解： （）因为椭圆W经过点 () 2, 3C ， 所以 22 43 1 ab += 因为椭圆W的离心率为 3 2 ， 第13页 所以 3 2 c a = ，其中 222 abc =+ 所以 所以椭圆W的方程为 2 2 1 164 y x += ，长轴长2 8a = （）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知 () 2,3 ,D() 2,0 ,Q 由（）可知 ()()4,0 ,4,0 .AB 所以 ACQ 的面积为1 2 6 3 = 3 3 ， BDQ 的 面积为1 2 2 3 = 3 显然 ACQ 的面积比 BDQ 的 面积为大2 3. 方法一 当直线CD的斜率

12、存在时，由题意可设直线CD的方程为 3(2)yk x= ，且 0k 令 0y = ，得 3 2x k = ，所以 3 (2,0)Q k 由 22 3(2) 1 164 yk x xy = += ，得 2 222 142 334 3 (4)()120yy kkkkk += . 依题意可得点D的纵坐标2 22 2 344 343 3 1414 D kkk y kk + = + . 因为点D在x轴下方，所以 0 D y ，即 3 424 k . 第14页 所以 ACQ 的面积为 11333 (24)3(6), 222 c AQy kk =+= BDQ 的面积为 11313 422 222 DDD B

13、Qyyy kk =+=+ 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk + =+ + 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk + =+ + 因为 ACQ 的面积比 BDQ 的面积大2 3， 所以2 2 33134 343 (6)(2)()2 3 2214 kk kkk + += + 此方程无解 综上所述，点D的坐标为(2, 3) . 方法二 因为点D在x轴下方，所以Q在线段AB（不包括端点）上. 由（）可知 ( 4,0), (4,0)AB . 所以 AOC 的面积为1 432 3 2 = ， 所以点Q在线段OB（不包括端点）上，且 OCQ 的面积等于 BDQ 时的面积

14、. 所以 OCB 的面积等于 BCD 的面积. 所以 / /ODBC. 设 ( , )D m n ， 0n 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 2 12 2 8 14 k xx k += + ， 2 12 2 44 14 k x x k = + 所以 22 12 |=( 1|1|)( 1|1|)PA PBkxkx+ 2 1212 (1)|()1|kx xxx=+ 2 2 3(1) 14 k k + = + 令 2 14tk= +，则1t ， 所以 2 2 1 3(1) 3(1)39393 4 |=( ,3 144444 t kt PA PB kttt + + =+ + 当1t

15、=，即0k =时，| | |PA PB 取最大值3 综上所述，| | |PAPB 的取值范围是 3 ,3 4 . 15 分 5 （本小题 15 分） 解： （） 由椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab +=过(0,2)A，( 3, 1)B 两点，得 2b =， 2 91 1 4a += 所以 2 12a = 第16页 所以椭圆 W 的方程为 22 1 124 xy += （） 由2m = ， 设直线l的方程为(2)(0,1)yk xkk=+. 由 22 (2), 1 124 yk x xy =+ += 得 2222 (13)1212120kxk xk+= 且0 . 设 1122 (

16、 ,),(,)C x yD xy，则 22 1212 22 121212 , 1313 kk xxx x kk += = + 记直线AC的方程为 1 1 2 2 y yx x =， 令2x = ，得P点的纵坐标 1 1 (22 )(2) P kx y x + = 记直线BD的方程为 2 2 1 1(3) 3 y yx x + + =+ + ， 令2x = ，得Q点的纵坐标 2 2 (1)(2) 3 Q kx y x + = + 1 121 2 21 2 22 1 22 12121 2 121 1 2 22 1 22 1 (22 )(2) 2(3)(2)| | | | (1)(2) |(2) 3

17、 121212 24122 24()122 1313 | | 12122 2 13 12122(13) | 1. 12122(13) P Q kx yxxxPM kx MQyxx x kk x x xxxx kk kx xx x k kkx kkx + + = + + + + + + = + + + + = + 所以 | | PM MQ 为定值 1 方法 2： 12 12 1221 12 1221 12 (22 )(2)(1)(2) 3 (22 )(2)(3)(1)(2) (3) (1)2(2)(3)(2) (3) PQ kxkx yy xx kxxkxx x x kxxxx x x + +=

18、+ + + = + + = + 第17页 1212 12 22 22 12 222 2 12 (1)4()12 (3) 121212 (1)4()12 1313 (3) (1)(1212481236) (13)(3) 0. kx xxx x x kk k kk x x kkkk kx x + = + + + + = + + = + = 所以 | | PM MQ 为定值 1 6 （本小题 15 分） 解： （）由已知1b =， 3 2 c e a =， 又 222 abc=+，解得 2,1ab=. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y+=. （）依题意设直线l的方程为 (4)yk x=+

19、，设 1122 ( ,) ,(,)M x yN xy. 联立 2 2 4 (4), 1, yk x y x += =+ 消去y，得 2222 (41)326440kxk xk+=， 则 2 16(1 12)0k=，解得 33 66 k. 不妨设() 11 ,M x y，() 22 ,N xy， 所以 2 12 2 8 34 k xx k += + ， 2 12 2 412 34 k xx k = + . 8 分 所以直线AM的方程是() 1 1 2 2 y yx x =+ + . 令4x =，得 1 1 6 2 y y x = + . 直线BN的方程是() 2 2 2 2 y yx x = .

20、 令4x =，得 2 2 2 2 y y x = . 10 分 所以 12 12 62 22 yy xx + ()() 12 12 6121 22 k xk x xx = + 4 1 1 y xO Q N M BA AB M N Q Ox y 1 4 第19页 ()()()() ()() 1212 12 612221 22 k xxk xx xx + = + 分子()()()() 1212 612221k xxk xx=+ () () 12211212 232222kx xxxx xxx=+ . () 1212 2258kx xxx=+ () 2 2 22 2 412 5 8 28 3434

21、k k k kk =+ + 222 2 824402432 2 34 kkk k k + = + 0=. 15 分 所以点Q在直线4x =上. 8 （本小题满分 15 分） 解： （）依题意得 222 24 1 2 . a c a abc = = =+ ， ， 解得 22 43ab=，. 4 分 故 椭圆C的方程为 22 1 43 xy += 5 分 （） AB DF 是定值. 6 分 由已知得直线:(1)lyk x= . 7 分 由 22 (1) 34120 yk x y xy = += ， 消去 得 2222 (43)84120kxk xk+=. 8 分 所以 2 2222 ( 8)4(4

22、3)(412)1441440kkkk = +=+. 9 分 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，则 2 12 2 8 43 k xx k += + ， 2 1 2 2 412 43 k x x k = + 10 分 所以 2 2222 2121121 2 ()()(1)()4ABxxyykxxx x=+=+ 22 222 2 222 84(412)12(1) (1) 434343 kkk k kkk + =+= + 所以 2 2 12(1) 43 k AB k + = + 11 分 第20页 因为 2 1212 22 86 (2)(2) 4343 kk yyk xxk kk +

23、=+= + ， 所以 线段 AB 的中点为 2 22 43 , 43 43 kk kk + 12 分 （1）当0k =时，4AB =，1DF =所以4 AB DF = 13 分 （2） 当0k 时， 线段AB的垂直平分线方程为 2 22 314 4343 kk yx kkk += + ， 令 0y = ，得 2 2 43 k x k = + ，即 2 2 (,0) 43 k D k + 所以 22 22 3(1) 1 4343 kk DF kk + = + 14 分 所以 2 2 2 2 12(1) 43 4 3(1) 43 k AB k kDF k + + = + + 综上所述， AB DF

24、 为定值 4. 15 分 9 （本小题满分 14 分） 解： （）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =.-1 分 又因为椭圆经过点 1 ( 3, ) 2 ，所以 2 31 1 4a +=，解得2a =.-3 分 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y+=-4 分 （）由 2 2 1 4 ykxm x y =+ += ，可得 222 (14)8440kxkmxm+=.-6 分 由题意，0 ，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 所以 12 2 8 41 km xx k += + ， 2 12 2 44 41 m x x k = + .-8 分 因为原点O到直线l的距离为 2

25、 5 5 ，所以 2 2 5 5 1 m d k = + . 第21页 即 22 54(1)mk=+. -9 分 因为 12121212 ()()x xy yx xkxm kxm+=+-10 分 () 22 1212 ()+kx xkm xxm+=+1 2 22 22 448 (1) 4141 mkm kkmm kk =+ + -11 分 22 2 544 0 41 mk k = + -13 分 所以0OA OB = .即OAOB. 因此以AB为直径的圆过原点O.-14 分 10解:（I）根据题意： 222 2 2 2 33 1 12 2 c aa bacb bc = = = = 4 分 所以

26、椭圆 G 的方程为 2 2 1 9 x y+= 5 分 (II) 设直线 l 的方程为： 1 (0) 3 yxm m=+ 6 分 由 2 2 1 9 1 3 x y yxm += =+ 消去y得： 22 1 9()90 3 xxm+= 7 分 即 22 26990 xmxm+= 需 22 =368(99)0mm 即 2 02m 8 分 设 1122 ( ,),(,)C x yD xy,CD中点 00 (,)M xy,则 2 1212 9 3 ,(1) 2 xxm x xm+= = 9 分 第22页 12 000 311 , 2232 xx xm yxmm + = =+= 10 分 那么直线OM

27、的方程为: 0 0 y yx x =即 1 3 yx= 11 分 由 2 2 3 2 1 29 1 2 = 3 2 x xy yx y = += = 不妨令 3 223 22 (,),(,) 2222 EF 12 分 那么 22 1212 22 2 111 |=|(1)()4 449 59 ( 3 )4(1) 182 5 (2) 2 MC| |MDCDxxx x mm m =+ = = 13 分 2222 22 222222 33 2233 22 | |()()()() 22222222 55 5 255 25 22 555 (5)(5 2 ) = (5) =(2) 222 mm MEMFmm mmmm mmmm =+ =+ =+ 14 分 所以 |MC|MD|=|ME|MF