八省联考2021届高三上学期预测模拟数学试题B卷.docx

1、2021 届高三八省联考届高三八省联考数数学预测模拟卷学预测模拟卷 B 卷卷 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题一、选择题 1.已知i是虚数单位,若 3 i 2i a z 是纯虚数,则实数a ( ) A.1 B. 1 2 C. 1 2 D.2 2.已知集合 2 20,|2|, x Ax xxxBy yxAZ,则AB( ) A. 1 B.0,1,2 C. 1 ,1,2,4 2 D.0,1,2,4 3.函数 4 8ln ( ) ee xx x x f x 的图象大致为( ) A. B. C. D. 4.过抛物线 2 8xy的焦点F的直线交抛物线于, A B两点,O为坐标原点,若 |1 |

2、2 AF BF ,则 AOBV的面积为( ) A.3 2 B.12 2 C.6 2 D.9 2 5.“ln2ln10ab”是“1 a b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条 件 6.如图,在ABCV中,2,3,ABACBC边的垂直平分线分别与,BC AC交于点,D E,若P是线 段DE上的动点,则PA BC uur uuu r 的值( ) A.与角A有关,且与点P的位置有关 B.与角A有关,但与点P的位置无关 C.与角A无关,但与点P的位置有关 D.与角A无关,且与点P的位置无关 7.在等差数列 n a中,若 9 8 1 a a ,且它

3、的前n项和 n S有最小值,则当0 n S 时,n的最小值为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 8.已知函数( )sin(2)f xx,其中为实数,若 ( ) 4 f xf 对任意的xR恒成立,且 0 6 f ,则 f x的单调递减区间是( ) A. , , 4 kkk Z B. , , 44 kkk Z C. 3 , , 44 kkk Z D. , , 2 kkk Z 二、填空题二、填空题 9.若 sin2(sin2cos) 4 ,则sin2_. 10.若二项式 * 2 n xn x N的展开式中存在常数项,则n的最小值为_. 11.袋中有 6 个黄色的乒乓球，4 个白色的乒乓

4、球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次， 则第二次才能取到黄球的概率为_. 12.如图,在边长为 2 的正方形ABCD中,点Q是BC的中点,点,M N分别在线段,AB CD上移动 (M不与, A B重合,N不与,C D重合),且MNBCP,沿着MN将四边形AMND折起,使得二面 角DMNQ为直二面角,则三棱锥DMNQ体积的最大值为_;当三棱锥 DMNQ的体积最大时,其外接球的表面积为_. 三、多项选择题三、多项选择题 13.我国网络购物市场保持较快发展,某电商平台为了精准发展,对某地区市场的N个人进行了 调查,得到频率分布直方图如图所示,将调查对象的年龄分组为 20,25 , 25,30 ,

5、30,35 , 35,40 , 40,4545,50 , 5,0,55.已知年龄在25,30内的调查对象有 6 人,则下列说法正确的是( ) A.N为 40 B.年龄在30,35内的调查对象有 12 人 C.调查对象中,年龄大于 35 岁的频率是 0.1 D.调查对象的年龄的中位数为 35 岁 14.已知四边形ABCD为正方形,GD 平面ABCD,四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方 形,点H为BF的中点.以下结论正确的是( ) A.DEBF B.EF与CH所成角为 60 C.EC 平面DBF D.BF与平面ACFE所成角为 45 15.在平面上给定相异两点, A B,设点P在同一平面上且

6、满足 | | PA PB (其中 是正常数,且 1),则P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.下列结论正确的是( ) A.阿波罗尼斯圆的圆心C恒在x轴上 B., A B始终在阿波罗尼斯圆内 C.当01时,阿波罗尼斯圆的圆心C在点A的左边 D.当1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在圆内 16.已知函数 f x是定义在R上的奇函数,当0 x 时,( )e (1) x f xx,则下列结论正确的是 ( ) A.当0 x 时,( )e (1) x f xx B.函数 f x有 3 个零点 C. 0f x 的解集为, 1()0,1 D. 12 ,x xR,都有 12 2f xf x 四、解答题四、解答

7、题 17.在 3coscoscossinC aBbAcC , sinsin 2 AB acA , 2sin2sin2 sinabAbaBcC 这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答. 已知 ABC 的角 , ,A B C对边分别为, ,a b c, 3c ,而且_. (1)求 C ； (2)求 ABC 周长的范围. 18.已知等差数列 3 log n a的首项为 1,公差为 1,等差数列 n b满足 2 (1)2 n nbnnk. (1)求数列 n a和数列 n b的通项公式; (2)若 n n n b c a ,求数列 n c的前 n项和 n S. 19.一研学实践活动小组利用课余时

8、间对某公司 1 至 5 月份销售某种产品的销售量及销售单价 进行了调查,月销售单价x(单位:元)和月销售量y(单位:百件)之间的关系如下表所示: 月份i 1 2 3 4 5 月销售单价x/元 1.6 1.8 2 2.2 2.4 月销售量y/百件 10 8 7 6 4 (1)根据 1 至 5 月份的数据,求出y关于x的回归方程; (2)预计在今后的销售中,月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种产品的成本是 1 元/件,该产品的月销售单价应定为多少元,才能获得最大月利润?(注:利润=销售收入成本) 附:回归方程ybxa $ 中 1 2 2 1 , n ii i n i i x ynxy

9、 baybx xnx . 参考数据: 55 2 11 67.2,20.4 iii ii x yx . 20.已知四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形, 1 2, 3 ABAABADACBDO AO平 面 11 , ,ABD A BAD. (1)证明: 1 B C P平面 1 ABD; (2)求二面角 1 BAAD的余弦值. 21.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长与焦距分别为方程 2 680 xx的两个实数根. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线l过点4,0M 且与椭圆相交于, A B两点,F是椭圆的左焦点,当ABFV的面积最 大时,求直线l的斜率. 2

10、2.设 2 ( )ln(21) ,f xxxaxax aR. (1)令 g xfx,求 g x的单调区间; (2)已知 f x在1x 处取得极大值,求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 1.答案：B 解析： 由于 3 ii(i)(2i)(21)(2)i 2i2i(2i)(2i)5 aaaaa z 为纯虚数,则210, (2)0aa , 得 1 2 a ,故选 B. 2.答案：B 解析：解不等式 2 20 xx,得12x ,所以集合 2 |20,0,1Ax xxxZ,|2,1 2, x By yxA,所以0,1,2AB.故选 B. 3.答案：A 解析： 函数的定义域为|2 0 2xxxx R且

11、且, 44 8ln8ln ()( ) eeee xxxx xx xx fxf x , 则函数( )f x为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D;当x时,易知( )0f x 且( )0f x , 故排除 C,选 A. 4.答案：C 解析：解法一 依题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为2ykx.联立方程得 2 8 , 2, xy ykx 得 2 8160 xkx,所以16 AB x x .又 |1 |2 AF BF ,所以2 BA xx ,得 2 2, 4 2 A B x x 或 2 2, 4 2. A B x x 从而 1 |6 2 2 AOBBA SOFxx V .故选 C. 解法二

12、 由 |1 , |2 1121 , |2 AF BF AFBFp 解得 | 3, | 6, AF BF 所以 |23, |26, A B AFy BFy 由此解得 1, 4, A B y y 则 2 2, 4 2 A B x x 或 2 2, 4 2. A B x x 从而 1 |6 2 2 AOBBA SOFxx V .故选 C. 5.答案：A 解析： 由ln(2)ln(1)0ab,得 20, 10, 21, a b ab 得1ab,1 a b ,故充分性成立;反之,由1 a b , 不一定得ln(2)ln(1)0ab,如2,1ab,故必要性不成立.“ln(2)ln(1)0ab” 是“1 a

13、 b ”的充分不必要条件.故选 A. 6.答案：D 解析：因为DPBC,所以0DP BC uuu r uuu r .依题意得 ()PAAPABBDDP uuruu u ruuuruuu ruuu r 11 () 22 ABBCDPABACABDP uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 11 22 ABACDP uuu ruuu ruuu r ,所以 111 () 222 PA BCABACDPBCABACBCDP BC uur uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r 22 11 () ()0 22

14、 ABACACABACAB uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 22 15 32 22 .所以PA BC uur uuu r 的值与角 A无关,且与点P的位置无关.故选 D. 7.答案：C 解析：Q数列 n a是等差数列,它的前n项和 n S有最小值,公差0d ,首项 1 0, n aa为递增 数列.又 9 8989 8 1,0,0 a aaaa a ,得 8 0a .由等差数列的性质 知, 811589116 20,0aaaaaaa. 1 , 2 n n n aa S Q当0 n S 时,n的最小值为 16. 8.答案：C 解析：由题意可得函数( )sin(2)f

15、xx的图象关于直线 4 x 对称,故有 11 2, 42 kkZ,即 11 ,kkZ.又 sin0 63 f ,所以2 ,nnZ,故 ( )sin(22 )sin2f xxnx.令 3 2 22 , 22 kxkkZ,解得 3 , 44 kxkkZ, 故函数 ( )f x的单调递减区间为 3 , , 44 kkk Z. 9.答案： 3 5 解析： sin2(sin2cos),sin3cos0 4 Q,故tan3 , 2222 2sincos2tan63 sin22sincos sincostan1( 3)15 . 10.答案：3 解析： * 2 n xn x N的展开式的通项 3 2 1 2

16、CC( 2) nr n r rn r rrr n Txx x ,令 3 0 2 nr, 解得 3 2 nr,其中0,1,2,rnL,当2r 时,3n ,所以n的最小值为 3. 11.答案： 4 15 解析：记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，“第二次才取到黄球” 为事件 C，所以 | 464 10915 P CP ABP AP B A. 12.答案： 1 3 ;5 解析：因为四边形ABCD是正方形,MNBCP,所以DNMN.又翻折后平面ADNM 平面 MNCB,所以DN 平面MNCB.设(02)DNxx,则2CNx,则三棱锥DMNQ的体积 2 11(2)(2)1 32

17、3123 xxxx VMN CN DN ,当且仅当1x 时取等号,所以当1x 时三棱 锥DMNQ的体积最大,且最大值为 1 3 .当三棱锥DMNQ的体积最大时,1DNNC,此时 2QMQN.因为2MN ,所以 222 QMQNMN,则MQNQ.因为DN 平面MNCB,所 以DNMQ,又NQDNN,所以MQ 平面DNQ,所以MQDQ,因此DM的中点到三棱 锥DMNQ各个顶点的距离都相等,所以DM的中点即三棱锥DMNQ外接球的球心,此时外 接球的直径25RDM,所以外接球的表面积 2 45SR. 13.答案：ABD 解析：根据题意,知调查对象年龄在25,30内的频率为0.03 50.15,所以 6

18、 40 0.15 N ,故 A 正确.年龄在30,35内的频率是10.01 20.020.03 20.04() 50.3,所以年龄在30,35 内调查对象的人数是400.312,所以 B 正确.由频率分布直方图可知,调查对象的年龄大于 35 岁的频率为0.040.030.020.0150.5 ,故 C 错误,D 正确.故选 ABD. 14.答案：ABC 解析： 连接AG,易知,BFAG DEAGP,得DEBF,故 A 正确;由,CHDE DEP与EF所成角 为 60,得到EF与CH所成角为 60,故 B 正确;易知,ECDB ECDF DBDFD,得 EC 平面DBF,故 C 正确;过B作BM

19、AC,垂足为M,连接MF,则MFB为BF与平面 ACFE所成的角,在Rt BMFV中,易知BMMF,故45MFB,故 D 错.故选 ABC. 15.答案：ACD 解析：以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设 (,0), ( ,0), ( , )AaB aP x y,其中a为正常数.因为动点P满足 | | PA PB (其中 是正常数,且 1),所以 2222 ()()xayxay,化简得 2 222 2 21 0 1 a xxay ,即 2 22 2 2 22 2 2 2 11 2 111 aa a xya ,所以该圆的圆心C的坐标为 2 2 1 ,0 1 a ,半径

20、 2 2 1 a r .显然圆心恒在x轴上,故 A 正确. 2 2 22 1 2 () 11 a a a ,显 然当01时, 2 2 2 0 1 a ,所以 2 2 1 1 a a ,此时圆心C在点A的左边,故 C 正确.当 1时, 2 222 222(1) |0 111 aaa ACr ,因为 2 22 1 2 | | 11 a a BCa ,所以 222 222 (1) |0 111 aaa BCr ,所以点A在圆外,点B在圆内,故 D 正确,B 不正确.故 选 ACD. 16.答案：BCD 解析：对于 A,当0 x 时,0 x ,所以()e (1) x fxx ,又 ( )f x是定义在

21、 R上的奇函数,故 ( )()e (1) x f xfxx ,因此 A不正确.对于B,易知函数( )f x有 3 个零点,为1,0,1,因此B 正 确.对于 C,( )0f x 等价于 0, e (1)0 x x x 或 0, e(1)0, x x x 解得1x 或01x,故 C 正确. 对于 D,当0 x 时,( )e (1),( )e (2) xx f xxfxx,令)(0fx ,得20 x ,则( )f x在( 2,0) 上单调递增,令)(0fx ,得2x ,则( )f x在(, 2) 上单调递减.则在(,0)上,( )f x的值域 为 2 e ,1 .同理可知在(0,)上( )f x的

22、值域为 2 1,e ,故 ( )f x的值域为 22 e ,11,e , 故 12 ,x xR,都有 12 2f xf x.因此 D 是正确的. 17.答案：(1)选： 由正弦定理得 3cossincossincossinsinCABBACC 即： 3cossinsinsinCABCC 因为sin 0,tan3,CC 因为 0, , 3 CC 选： 由正弦定理得 sinsinsinsin, 2 C ACA 因为sin0,cossin2sincos 222 cCC AC 因为cos0 2 C ,所以 1 sin 22 C , 因为 0, , 3 CC 选： 因为 2sin2sin2 sinabA

23、baBcC , 所以 2 222ab aba bc ,即 222 abcab , 所以 222 1 cos 22 abc C ab , 因为0 C ,所以 3 C ； (2)由(1)可知： 3 C , 在ABC中,由余弦定理得 22 2cos3ababC ,即 22 3abab , 所以 2 2 3 33 4 ab abab , 所以 2 3ab ,当且仅当a b 时等号成立, 所以 3 3abc ,即ABC周长的最大值为3 3. 又因为 3abc ,所以 ABC 周长的取值范围为2 3 3 3 ， 解析： 18.答案：(1)由题意可知, 3 log1 (1) 1,3n nn anna . 2

24、 123 3815 (1)2, 234 n kkk nbnnkbbb Q. 又数列 n b为等差数列, 213 2bbb,即 8315 2 324 kkk ,解得1k , 1 n bn. (2)由(1)知, 2 1231 , 3333 n nn nn n bnn cS a L, 则 231 1231 3333 n n n S L, 可得 2311 221111525 33333362 3 n nnn nn S L, 525 44 3 n n n S . 解析： 19.答案：(1) 1.61.822.22.4108764 2,7 55 xy . 5 1 5 2 2 1 5 67.2527 7 2

25、0.454 5 ii i i i x yxy b xx , 77221aybx, 回归方程为721yx $ . (2)设该产品的月利润为z百元, 则1zxy, 22 (1)( 721)728217(2)7zxxxxx . 当2x 时,z取得最大值,且 max 7z, 该产品的月销售单价应定为 2 元,才能获得最大月利润. 解析： 20.答案：(1)连接 1 AB交 1 A B于点 Q,连接OQ,易知 Q为 1 AB的中点,O为AC的中点,在 1 ABCV中, 1 1 2 OQBCP, OQ Q平面 11 ,ABD BC 平面 1 A BD, 1 BCP平面 1 A BD. (2)连接 1 ,A

26、OAO Q平面 11 ,ABDAOAO, 11 ABADQ且O为BD的中点, 1 AOBD, ,AO BDQ平面ABCD且AOBDO, 1 AO平面ABCD. 如图,以O为坐标原点, 1 ,OA OB OA所在直线分别为, ,x y z轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 易得 1 ( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),(0,0,1)ABDA, 1 (3,0,1),(3,1,0)AAAB uuu ruu u r , 设平面 1 A AB的法向量为( , , )x y zn, 则 1 0, 0, AA AB n n uuu r uuu r 30, 30, xz xy 令1x ,得3y

27、z, (1, 3, 3)n. 同理可得平面 1 A AD的一个法向量为(1,3, 3)m, 1 cos, |7 m n m n m n , 结合图形知,二面角 1 BAAD为钝二面角, 二面角 1 BAAD的余弦值为 1 7 . 解析： 21.答案：(1)设椭圆的焦距为20c c , 解方程 2 680 xx可得 12 2,4xx, 所以24,22ac,即2,1ac,所以 222 3bac, 故椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . (2)设直线l的方程为 1122 4,xmyA x yB x y, 联立方程,得 22 4, 1, 43 xmy xy 消去x得 22 3424360mymy

28、, 则 222 5764 36 3414440mmm ,所以 2 4m . 由根与系数的关系知 1212 22 2436 , 3434 m yyy y mm , 所以 2 12 2 3184 234 ABF m Syy m V . 令 2 4tm,则0t ,式可化为 2 1818183 3 16 316416 3 2 3 ABF t S t t t t t V , 当且仅当 16 3t t ,即 16 3 t 时,等号成立. 此时 2 21 3 m ,满足0 ,所以直线 l的斜率为 21 14 . 解析： 22.答案：(1)由 ln22fxxaxa, 可得 ln22 ,0,g xxaxa x,

29、 则 112 ( )2 ax g xa xx . 当0a 时, 0,x时, 0g x ,函数 g x单调递增; 当0a 时, 1 0, 2 x a 时, 0g x ,函数 g x单调递增, 1 , 2 x a 时, 0g x ,函数 g x单调递减. 所以当0a 时, g x的单调递增区间为0,; 当0a 时, g x的单调递增区间为 1 0, 2a ,单调递减区间为 1 , 2a . (2)由(1)知, 10f. 当0a 时, fx单调递增, 所以当0,1x时, 0,fxf x单调递减; 当,()1x时, 0,fxf x单调递增. 所以 f x在1x 处取得极小值,不合题意. 当 1 0 2

30、 a时, 1 1 2a ,由(1)知 fx在 1 0, 2a 内单调递增, 可得当0,1x时, 1 ( )0,1, 2 fxx a 时, 0fx . 所以 f x在0,1内单调递减,在 1 1, 2a 内单调递增, 所以 f x在1x 处取得极小值,不合题意. 当 1 2 a 时, 1 1, 2 fx a 在0,1内单调递增,在(1,)内单调递减, 所以当,()0 x时, 0,fxf x单调递减,不合题意. 当 1 2 a 时, 1 01 2a ,当 1 ,1 2 x a 时, 0,fxf x单调递增, 当,()1x时, ,0fxf x单调递减, 所以 f x在1x 处取得极大值,符合题意. 综上可知,实数a的取值范围为 1 2 a . 解析：