湖北十一校高2021届第一次联考数学.pdf

1、数学试卷第 1 页（共 6 页）数学试卷第 2 页（共 6 页） 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学 2021 届高三湖北十一校第一次联考届高三湖北十一校第一次联考 数 学 试 题数 学 试 题 命题学校：襄阳五中命题人：张华齐 薛东洋审题人：袁进 考试时间：2020 年 12 月 9 日 下午 15：0017：00试卷满分：150 分 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，

2、共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1设全集为 R，集合 ? ? ?翜翜 ? ?，? ?，? ? ?翜 ? ?，则 ? ? ?（ ） A. | 1 2xx B. |0 1xx C. D. |0 2xx 2已知 42i 1i z (i为虚数单位)的共轭复数为z，则z z （ ） A10B9C10D3 3已知 ? ? ?t? ? ?， ? ? ( ? ? )?t?，? ? ?t? ? ?， （其中 e 为自然对数）则（ ） A. ? ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ? ? 4为了增强数学

3、的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究. 当地 有一座山，高度为 OT，同学们先在地面选择一点 A，在该点处测得这座山在 西偏北 ?方向，且山顶 T 处的仰角为 ?t?；然后从 A 处向正西方向走 140 米后到达地面 B 处， 测得该山在西偏北 ?方向， 山顶 T 处的仰角为 ?t?. 同 学们建立了如图模型，则山高 OT 为（） A. ?t 米B. ? 米C. ?t ?米D. ? ?米 5设数列 n a的前n项和为 n S，且? ? ? 是等差数列，若? ?，则 ? ? ?（ ） A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 6已知直线 ?、?，平面、，其中 ? ? 其，?

4、 在平面内，下面四个命题： 若/，则 ? ? ?；若 ? ，则 ?/?； 若 ?/?, 则 ? ；若 ? ? ?, 则/. 以上命题中, 正确命题的序号是（） ABCD 7设 ? t t，? t t，则“ 11 4 ab ”是“ 1 4 ab ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 8蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、 内实米糠的球. 因而蹴鞠就是指古人以脚蹴， 蹋、 踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006年5 月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名 录 .3D打印属

5、于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属 或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”） 过 去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是 一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等） 已知某鞠的表面上有四个点 A、 B、C、D，满足任意两点间的直线距离为 ? ?，现在利用3D打印技术制作模型，该模型 是由鞠的内部挖去由 ABCD 组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为 3 1 g/cm，不 考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量约为 （） （参考数据： 取3.14， ? ? ?， ?

6、 ? ?，?精确到 0.1） A113.0gB267.9gC99.2gD13.8g 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 在每小题列出的四个选项中，有多个选在每小题列出的四个选项中，有多个选 项是符合题目要求的，全部选对得项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9我国 5G 技术研发试验在 2016-2018 年进行，分为 5G 关键技术试验、5G 技术方案验证和 5G 系统验证三个阶段实施。2020 年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G

7、 手 机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近 5 个月来 5G 手机的实际销量，如下表所示： 月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020 年 10 月 月份编号 x12345 销量 y/部5096 a 185227 若y与x线性相关，且求得线性回归方程为翜? ? ?，则下列说法正确的是（） A142a By与x正相关 Cy与x的相关系数为负数 D12 月份该手机商城的 5G 手机销量约为 365 部 数学试卷第 3 页（共 6 页）数学试卷第 4 页（共 6 页） 10已知 F 是椭圆 22 1 2516 xy 的右焦点, M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至

8、少有 21 个不同的点1,2,3, i P i ， 12 ,FPFP 3 ,FP组成公差为d的等差数列，则（） A? 的面积最大时，tanFP? ? ? B?的最大值为 8 Cd的值可以为 ? ?t D椭圆上存在点 P，使FP? ? ? ? 11在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角 函数:定义1cos为角的正矢，记作sinver，定义1sin为角的余矢，记作 sincover，则下列命题中正确的是（） A函数 翜 ? ? ? 在 ? ，上是减函数 B若? ? =2，则 ? ? ? ? ? C函数 ?(?) ? ?sin(?t?t? ? ? ? ) ?

9、?(?t?t? ? ? ? ),则 ?(?)的最大值 ? ? ? Dsin(sin 2 ver)cover 12已知函数 ? ? ? ? ? 为常数 ，则下列结论正确的有（） A. 若 ? ? 有 3 个零点，则 ? 的范围为（ ? , ? ） B. ? ? ? ? 时，? ? ? 是 ? ? 的极值点 C. ? ? ? ?时，? ? 的零点?t，且? ? ?t ? ? ? D. ? ? ? 时，? ? ? t 恒成立 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13已知单位向量?、? ?的夹角为 120，k? ? ? ?与 ? ?

10、 ? ?垂直，则 k=_. 14设函数 ? ? ? ? ? ? ?，? t t t，? ? t ? ? ? ? ?，? t ，则满足 ? ? ? ? ? ? ? ? t 的 ? 的取值范围是 _.(用区间表示) 15湖北省 2021 年的新高考按照“ 3+1+2 ”的模式设置，“ 3 ”为全国统一高考的语文、数学、 外语 3 门必考科目；“1”由考生在物理、历史 2 门中选考 1 门科目；“ 2 ”由考生在思想 政治、地理、化学、生物学 4 门中选考 2 门科目. 则甲，乙两名考生在 6 门选考科目中恰 有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为_. 16已知?，?分别为双曲线 ?： ? ?

11、? 翜? ? ? ? 的左、右焦点，C 的离心率 ? ? ?，过?的直线与 双曲线 C 的右支交于 A、 B 两点 （其中 A 点在第一象限） ， 设点 M、 N 分别为?、? 的内心，则 ?t 的范围是_. （用只含有 ? 的式子表示） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知在? 中，C 为钝角，? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ?. （1）求证： ? ? ? ； （2）设 ? ? ?,求 AB 边上的高. 18 （12 分）已知等

12、差数列 n a与正项等比数列 n b满足? ? ?，且? ?，20，? ? 既是等差数列，又是等比数列. （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）在（1）? ? ? ? ? ( ? ?)?， （2）? ? ?， （3）? ?(?) ? 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解. 若，求数列 n c的前 n 项和 n S. 注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分. 数学试卷第 5 页（共 6 页）数学试卷第 6 页（共 6 页） 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ? ? ?中，? ? ?t?，? ? ? ? ?，? ?，点 E，F 分别在 ?，?，且 ? ? ? ?

13、?，? ? ? ? ?.设 ? ? ?. （1）当异面直线 ? 与? 所成角的大小为 ? ?，求的值 （2）当 ? ? ?时，求二面角 ? ? ? ? ?的大小. 20 （12 分）新冠肺炎是 2019 年 12 月 8 日左右出现不明原因肺炎，在 2020 年 2 月 11 日确诊为 新型冠状病毒肺炎. 新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19）是由严重 急 性 呼吸 系 统 综 合 征冠 状 病 毒 2 （ severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 ， SARS-CoV-2）感染后引起的一种

14、急性呼吸道传染病. 现已将该病纳入中华人民共和国传 染病防治法规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防、控制措施. 2020 年 5 月 15 日, 习近平总书记主持召开中共中央政治局会议，讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大 会第三次会议审议的政府工作报告稿. 会议指出，今年下一阶段，要毫不放松常态化 疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作. 某企业积极响应政府号召， 努力做好复工复产工作. 准备投产一批特殊型号的产品, 已 知该种产品的成本 ?(?)与产量 ? 的函数关系式为： ? ? ? ? ? ? ? ?t? ? ?t(? t t). 该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况

15、,各种情形发生的概率及产品价格 g(?)与产量 ? 的函数关系式如下表所示: 市场情形概率价格 g(?)与产量 ? 函数关系式 好0.4g ? ? ? ? ? 中0.4g ? ? ?t? ? ? 差0.2g ? ? t ? ? 设?，?，? 分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量 表示当产量为 ? 时而市场前景无法确定的利润. （1）分别求利润?，?，? 的函数关系式； （2）当产量 ? 确定时,求期望 E ； （3）试问产量 ? 取何值时, 期望 E取得最大值. 21 （12 分）已知直线 翜 ? ? ? ? 与抛物线翜? ?h? 相交于 ?，? 两点，满足 O? ? O? . 定点

16、?(，?） ，?( ? ，t） ，M 是抛物线上一动点，设直线 CM，DM 与抛物线的另一个交点分 别是 E，F . （1）求抛物线的方程； （2）求证：当 M 点在抛物线上变动时（只要点 E、F 存在且不重合） ，直线 EF 恒过一个 定点；并求出这个定点的坐标. 22 （12 分）已知函数axxxf ln)( （1）讨论)(xf的单调性； （2）若 21,x x， 21 xx 是)(xf的两个零点 . 证明： （i） a xx 2 21 ；（ii） a ea xx 12 12 . 数学答案 第 1 页（共 6 页） 数学答案 第 2 页（共 6 页） 2021 届高三湖北届高三湖北十一校十

17、一校第一次联考第一次联考 数学答案数学答案 BABCC CAC 9、AB 10、ABC 11、BD 12、AC 1、B 由题意知： * +， * +， 所以 * +，所以 ( ) * + 2、A : ; ，则 ， ( ) ( ) ， 3、B 因为 ,所以 ， ， ,所以 ， 4、 C 设山 OT的高度为 h， 在 中， ， 30 ， 在 中， 6 ， 60 3 3 ， 在 中， 8 .7 .7 6 ， 由余弦定理得， 6 ； 即 4 3 2 3 3 ， 化简得 3 7 4 ； 又 ，所以解得 4 3 7 ； 即山 OT的高度为 (米) 5、C 依题意，* +是等差数列, 则数列*+为等差数列，

18、则 5 9 53 95 5 9 5 3. 故选：C 6、C 对于,若 ,由 得到直线 ,所以 ;故正确; 对于,若 ,直线在内或者 ,则与的位置关系不确定; 对于,若 ,则 ，由面面垂直的性质定理可得 ;故正确; 对于,若 ,则 与 可能相交;故错误; 所以 C 选项是正确的. 7、 A 由题意可知： 4， 又 ， 所以4 ， 可得 ； 但 ， 当 4， 6时， 4矛盾；故选 A 8、C 正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差.正四面体 的棱长为，则正四面体的高为 6 3 ，外接球半径为 6 ，内切球半径为 6 .所以 3D 打印的体 积为： 3 ( 6 )3 3

19、 3 6 3 6 8 3 3，又3 486， 所以V 6 8 . 4 .84 99. ，故选 C 9、AB 由表中数据，计算得 1 123453 5 x ，所以 45 3 5 140y ，于是 得 50+96+a+185+227=700，解得142a，故 A 正确；由回归方程中的x的系数为正可知， y与x正相关，且其相关系数 0r ，故 B 正确，C错误； 12 月份时，7x ， 0 部，故 D错误 10、ABC 由椭圆 22 1 2516 xy ，当点 P 为短轴顶点时，最大，的面积最大，此时 tan 7 ， 此时角为锐角， 故 A 正确、 D 错误； 椭圆上的动点P， 1 acPFac，

20、即有 1 2 | 8PF， 又椭圆上至少有 21个不同的点1,2,3, i P i ， 12 ,FPFP 3 ,FP 组成公差为d的等差数列，所以 1 FP最大值 8，B 正确； 设 1 FP， 2 FP， 3 FP，组成的等差数列为 n a，公差0d ，则 1 2,8 n aa，又 1 1 n aa d n ，所以 663 121 110 d n ，所以 3 0 10 d，所以d的最大值是 3 10 ，故 C正确， 11、BD cs ( )，在, ， -单调递减，所 以 A 错误；因为 ; ; =2，则 2; 2; 2: 2 ，即 ; 2; :2 7 5，所以 B 正确； 对 C:( ) s

21、in. 3/ . 6/ . 3/ . 6/= ( 6)，所以则( )的最大值 4. sin1 cos1 sinsin 22 vercover ，故 D 正确； 12、AC 若( ) 有 3 个零解，即 与( ) 2有三个交点， 若( ) 2 ，则( ) 2; 4 (; ) 4 则( )在( ， )上单调递增，在此区间内的 值域为( )，( )在( )上单调递减，在在( )上单调递增，在此区间内的值域为 , 2 ， )故 与( ) 2有三个交点，则 2 ，故 A 正确 若 ，则 ( ) , ( ) , ( ) ，则( )在( ， )上单调 递减，在( )上单调递增,则 ( ) ( ) ,故( )

22、在 R 上单调递减，故 B 错误 若 ，则( ) ，此时 ( )仅有 1 个零点 0，且 0 ，又 ( ) ; ( ) ; ，. / ;1 2 . / 8; 8 ,则 0 ,故 C 正确 若 ，则( ) ，当 时，( ) ; ( ) ; ,故 D 错误 13、 5 由题意 ，又k 与 垂直，所以(k ) ( ) 所以：k= 5 14、 ， ） ( )为奇函数且为增函数，( ) ( ) 即为( ) ( )；所以 ，所以 15、 5 分类： （1）物理（历史）大类中有两门相同的方法： 3 =24，共 48 种； （2）物理和历史两大类间有两门相同的方法： =12；所以在 6 门选考科目中恰有两 门

23、科目共 60 种；所以均选择物理的概率为 60 5 16、 , ， 3 3 ） 由曲线的性质可得： 、 的内心 M、N 在直线 上， 设 C 的右顶点为 E，直线 AB 的倾斜角为，则 3 ，且 ， 在Rt 中， ; ， ( ). /， 同理，在Rt 中， ， ( ) ， 则 =( )0. / 1 =( )( 2 2 2 2 ) ( ) 2 2 (;) ( 3 ) 又e ，即c ， 故 3 3 数学答案 第 3 页（共 6 页） 数学答案 第 4 页（共 6 页） 17(1)证明: ( ) 3 5 sin cs cs sin 3 5，又 sin cs cs sin 5 sin cs 5 5 5

24、 分 (2)解:由（1）知 ( ) 5 ， tan( ) 3 即： : ; 3 ,将 代入上式并整理得: 4 又因为 B 为锐角，tan ，所以解得tan 6; ，tan tan 6 . 7 分 设 AB 上的高为 CD,则 3 6; 6 ， 得 (6 ) 故 AB 边上的高为 (6 ). 10 分 18 （）设等差数列 n a的公差为 d，等比数列 n b的公比为0q q ， 由题得 3 3 5 ，即 ( ) ( 4) 解得d q ，所以， ； 6 分 （） （1） ， +1 ( ) ( : )( :3) ( ) . +1/ ( ) 则 . 1 2/ ( ) . 2 3/ . +1/ ( )

25、 . 1 +1/ ;3, ;(;3)- :3 . 3 :3/ ;3, ;(;3)- 故 :5 3,(;3); - 12 分 （2） ， ( ) ； 5 ( ) ， 5 3 ( ) : ， 由-，得 3 ( ) : ， 即 : 12 分 （3） (:) + ( : ) ( : )( :3)3+1 ( : )3 ( :3)3+1 + 则 + + 故 (:)+ 12 分 19解：因为直三棱柱 111 ABCABC，所以 1 AA 平面ABC， 因为 ,AB AC 平面ABC，所以 1 AAAB， 1 AAAC， 又因为90BAC ， 所以建立分别以AB，AC， 1 AA为 , ,x y z轴的空间直

26、角坐标系A xyz. （1）设1a ，则1ABAC，A ， 各点的坐标为 (0,0,0)A ，( 3)， ( )，( 3 ). ( 3) ， ( 3) . 2 分 因为| | | | 2 9 ， 2 9 ， 又异面直线 与 所成角的大小为 3 所以 OS( ) ; 2 9 : 2 9 . 所以 . 6 分 （2）因为 ( 3)，( 3 ). ( 3) ， ( 3 ) 设平面AEF的法向量为 ( ， )，则 ，且 . 即0 3 bz ax，且 2 0 3 bz ay . 令1z ，则 3 b x a ， 2 3 b y a . 又 3 , 所以 . 3 3 ， / . ， /是平面 AEF的一个

27、法向量. 同理， . 3 3 ， / . /是平面 1 AEF的一个法向量. 10 分 所以 所以平面AEF 平面 1 AEF， 当 3 时，二面角 的大小为 12 分 20解:（1）根据所给的表格中的数据和题意写出 ( ) ( ) ( ) 3 44 ( ) 2 分 同理可得： ( ) ( ) ( ) 3 3 8 ( ) 4 分 3( ) ( ) ( ) 3 5 ( ) 6 分 （2）由期望定义可知 .4 ( ) .4 ( ) . 3( ) 3 3 ( ) 8 分 （3）可知是产量 的函数，设( ) 3 3 ( ) 则h( ) x ( )， 10 分 令h ( ) ，则 . 由题意及问题的实际

28、意义可知,当 时, ( )取得最大值,即最大时的产量为 10. 12 分 21 （1）将 代入 ，得（ ） 化简得： (4 p) 4 所以 4， 4 ； 2 分 因此： ( )( ) ( ) 4 4 又O O ，所以 ；得p ， 抛物线的方程 5 分 （2）证明：设 M、E、F 坐标分别是.0 2 ， 0/，.1 2 ， /，.2 2 ， /，由 C、M、E 共线， 得 0 ( 0 ) 8，所以 0;8 0; 数学答案 第 5 页（共 6 页） 数学答案 第 6 页（共 6 页） 同理：由 D、M、F 共线，得 8 0 8 分 所以直线 EF 的方程为： ( ) x 10 分 将 0;8 0;

29、 ， 8 0代入直线 EF 方程得 ( ) 0 4(4 ) 8( 8) 所以 4 8 ，方程组有解 4 所以直线 EF 恒过定点（4 4）. 12 分 22解： （1）)(xf定义域），（0 x ax a x xf 11 )( 则当0a时)(xf在），（0为增函数; 2 分 当0a时)(xf在），（ a 1 0为增函数，在）（, 1 a 为减函数 4 分 （2）证明： （i）原不等式等价于 a xx1 2 21 ，因为 11 lnxax 22 lnxax 由-得， 1212 lnln)xxxxa（则 12 12 lnln xx xx a 则 a xx1 2 21 等价于 12 1221 lnl

30、n2xx xxxx 因为0 12 xx所以0lnln 12 xx即证 21 12 12 2 lnln xx xx xx ）（ 等价于0 1 ) 1(2 ln 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 设 ) 1( , 1 2 t x x t 设) 1( , 1 ) 1(2 ln)( t t t ttg 等价于0)(tg 0 ) 1( ) 1( )1 ( 21 )( 2 2 2 tt t tt tg )(tg在），（1上为增函 . 0 1 ) 1(2 ln 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 0) 1 ()( gtg， 即 a xx1 2 21 8 分 （ii）设 x x xh

31、 ln )(，则 2 ln1 )(h x x x 所以上递减，上递增，在，在eex0)(h 因为)(h xa 有两个不相等的实根，则 21 1 1 0 xex e a且 易知1ln xx对, 11 , 0 x恒成立，则x x 1 1 ln对10，x恒成立 1 1 11 1ln1ln1 x e e x xax ，因为0 1 x，所以02 1 2 1 exax 又因为044, 0aea，所以 a ea a x a ea a x 1111 11 或 因为 e aex 1 00 1 且，所以 a ea a x 11 1 因为 a xx1 2 21 ，所以 a ea aa x xx111 2 1 21 即 a ea xx 12 12 12分