2020-2021学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5 分） 已知全集1U ， 2， 3， 4， 5，6， 集合1A， 2，3，2B ， 5，6， 则() ( U AB ) A4 B1，3 C1，2，3，4 D1，3，4，5，6 2 （5 分）设aR，则“(1)(1)0aa”是“1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）圆 22

2、28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则(a ) A3 B 3 4 C 4 3 D2 4 （5 分） 某班全体学生参加一次测试， 将所得分数依次分组：20，40)，40，60)，60， 80)，80，100)，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则 该班的学生人数是( ) A50 B54 C60 D64 5 （5 分）函数 2 ( ) 1 ex f x x 的图象大致是( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(3,4)，且双曲线的一个 焦点与

3、抛物线 2 20yx的焦点重合，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 7 （5 分）设 0.2 1 ( ) 2 a ， 1 3 1 2 blog ， 0.3 2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dbac 8（5 分） 将函数( )cos(2) 4 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度后得到函数( )g x的图象， 则关于函数( )g x的正确结论是( ) A奇函数，在(0,) 4 上单调递减 B最大值为 1，图象关于直线 2 x 对称 C最小正周期为，图象关于点

4、3 (,0) 8 对称 D偶函数，在 3 (,) 88 上单调递增 9 （5 分）已知函数 2 2 26,& ( ) ,& xmxxm f x xx m ，其中0m ，若存在实数k，使得关于x 的方程( )0f x k恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是( ) A(, 3) B(,3) C 3，0) D(3,0) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸上请将答案写在答题纸上. 10 （5 分）i为虚数单位，复数 2 1 i i 11 （5 分）二项式 26 1 (2)x x 的展开式中的常数项是 （用数字作答）

5、 12（5 分） 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直， 且1AB ， 2AC ，3AD ，则四面体ABCD的体积为 ，球O的表面积为 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）一个袋子中有形状和大小完全相同的 3 个白球与 2 个黑球，每次从中取出一个 球，取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分甲从袋子中有放回地依次取出 3 个球，则甲三次都 取到白球的概率为 ，甲总得分是 7 的概率为 14 （5 分）已知0a ，0b ，且 111 226ab ，则ab的最小值为 15 （5 分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，且2BEEA，若 3AB AC

6、AD EC，则 AB AC 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题小题.共共 75 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16（14 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足3 cossinaBbA （）求用B的大小； （）若 2 cos 3 A ，求sin(2)AB的值； （）若2b ，2ca，求边a的值 17 （15 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，底面ABCD是正方形， 点P为侧棱 1 CC上的一点，且 1 33AAAB （）若点P为 1 CC的中点，求证

7、： 1/ / AC平面PBD； （）若 1 1 3 PC CC ，求直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值； （）若二面角BPDC的余弦值为 2 3 ，求PC的长 第 4 页（共 19 页） 18 （15 分）已知等差数列 n a的公差为正数 1 1a ，其前n项和为 n S，数列 n b为等比 数列， 1 2b ，且 22 12b S ， 23 10bS （）求数列 n a与 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和 n T （）设 1 nn n cb S ， * nN，求数列 n c的前2n项和 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个

8、顶点分别为点( 2,0)A ，(2,0)B，离心 率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （） 点D为x轴上一点， 过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N， 过D作AM 的垂线交BN于点E证明：BDE与BDN的面积之比为定值 20 （16 分）已知函数 2 ( )(2)f xalnxxax，其中aR （）若曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线的斜率为 1，求a的值； 第 5 页（共 19 页） （）讨论函数( )f x的单调性； （） 若函数( )f x的导函数( )f x在区间(1, ) e上存在零点， 证明： 当(1, )xe时， 2 ( )f xe 第 6 页（共 19 页）

9、2020-2021 学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5 分） 已知全集1U ， 2， 3， 4， 5，6， 集合1A， 2，3，2B ， 5，6， 则() ( U AB ) A4 B1，3 C1，2，3，4 D1，3，4，5，6 【解答】解：全集1U ，2，3，4，5，6，集合1A，2，3，2B ，5，6， 1 UB ，3，4， ()1 U AB，3 故选：B 2 （5 分）设aR

10、，则“(1)(1)0aa”是“1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：(1)(1)0aa， 11a ， 故( 1,1)是( 1,) 的充分不必要条件， 故选：A 3 （5 分）圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则(a ) A3 B 3 4 C 4 3 D2 【解答】解：圆 22 28130 xyxy的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10axy 的距离 2 |41| 1 1 a d a ， 解得： 4 3 a ， 故选：C 4 （5 分） 某班全体学生参加一次测试， 将所得分数依次分组：20，4

11、0)，40，60)，60， 第 7 页（共 19 页） 80)，80，100)，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则 该班的学生人数是( ) A50 B54 C60 D64 【解答】解：由频率分布直方图知，得分低于 60 分的频率为 (0.005 0.01) 200.3， 低于 60 分的人数是 18， 该班的学生人数是 18 60 0.3 故选：C 5 （5 分）函数 2 ( ) 1 ex f x x 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解：当x，( )0f x ，排除B，D， 当01x时，( )0f x ，排除A， 故选：C 第 8 页（共 19

12、页） 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(3,4)，且双曲线的一个 焦点与抛物线 2 20yx的焦点重合，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 【解答】解：抛物线 2 20yx的焦点为(5,0)， 则双曲线的焦点在x轴上， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(3,4)，可得34ba， 由题意双曲线的一个焦点与抛物线 2 20yx的焦点重合，可得 22 5ab， 解得3a ，4b ， 则双曲线的方程为： 22

13、1 916 xy 故选：A 7 （5 分）设 0.2 1 ( ) 2 a ， 1 3 1 2 blog ， 0.3 2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dbac 【解答】解： 0.20.20.3 1 1( )22 2 ac ， 1 3 12 2 log 31blog ， 0.3 2c ， 则a，b，c的大小关系为bac， 故选：D 8（5 分） 将函数( )cos(2) 4 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度后得到函数( )g x的图象， 则关于函数( )g x的正确结论是( ) A奇函数，在(0,) 4 上单调递减 B最大值为 1，图象关于直线 2 x

14、 对称 C最小正周期为，图象关于点 3 (,0) 8 对称 D偶函数，在 3 (,) 88 上单调递增 【解答】解：将函数( )cos(2) 4 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度后得到函数 第 9 页（共 19 页） ( )cos(2)cos2 44 g xxx 的图象， 则关于函数( )g x，显然它是偶函数，故排除A； 显然，( )g x的最大值为 1，当 2 x 时，( )cos1g x，为最小值， 故( )g x的图象关于直线 2 x 对称，故B正确； ( )g x的最小正周期为 2 2 ，当 3 8 x 时， 32 ( )cos 42 g x ，故C错误； 当 3 ( 8 x

15、 ，) 8 ， 3 2( 4 x ，) 4 ，( )g x没有单调性，故D错误， 故选：B 9 （5 分）已知函数 2 2 26,& ( ) ,& xmxxm f x xx m ，其中0m ，若存在实数k，使得关于x 的方程( )0f x k恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是( ) A(, 3) B(,3) C 3，0) D(3,0) 【解答】解：当0m 时，作出函数 2 2 26,& ( ) ,& xmxxm f x xx m 的图象如下图所示， 当xm时， 2222 ( )26()66f xxmxxmmm ， 所以若要存在实数k，使得关于x的方程( )0f x k恰有三个不同的实数根，

16、 则必须 22 6(0)mm m， 解得3m ， 所以m的取值范围是(,3) 第 10 页（共 19 页） 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸上请将答案写在答题纸上. 10 （5 分）i为虚数单位，复数 2 1 i i 1i 【解答】解： 22 (1) 1 1(1)(1) iii i iii ， 故答案为：1i 11 （5 分）二项式 26 1 (2)x x 的展开式中的常数项是 60 （用数字作答） 【解答】解： 26 1 (2)x x 的展开式的通项公式为 612 3 16 ( 1) 2 rrr

17、r r TCx ， 令1230r，求得4r ，展开式中的常数项是 42 6 260C， 故答案为：60 12（5 分） 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直， 且1AB ， 2AC ，3AD ，则四面体ABCD的体积为 1 ，球O的表面积为 【解答】解：AB，AC，AD两两垂直，且1AB ，2AC ，3AD ， 四面体ABCD的体积 11 1 2 31 32 ， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线 设球O的半径为r，则 2222 (2 )12314r 其表面积 2 414r 故答案为：1，14 13 （5 分）一个袋子中有形状和大小完全相同的 3

18、个白球与 2 个黑球，每次从中取出一个 球，取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分甲从袋子中有放回地依次取出 3 个球，则甲三次都 取到白球的概率为 27 125 ，甲总得分是 7 的概率为 【解答】解：一个袋子中有形状和大小完全相同的 3 个白球与 2 个黑球，每次从中取出一个 球， 取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分甲从袋子中有放回地依次取出 3 个球， 则甲三次都取到白球的概率为： 1 33327 555125 P ， 甲总得分是 7 的概率为： 第 11 页（共 19 页） 1 13 23354 555125 PC 故答案为： 27 125 ， 54 125 14 （5 分）已知0

19、a ，0b ，且 111 226ab ，则ab的最小值为 20 【解答】解：0a ，0b ，且 111 226ab ， 则 11 6(2)(2)()4 22 abab ab ， 22 6(2)4 22 ba ab ， 22 6(22)420 22 ba ab ， 当且仅当 22 22 ba ab 且 111 226ab ，即10ab时取等号， ab的最小值 20 故答案为：20 15 （5 分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，且2BEEA，若 3AB ACAD EC，则 AB AC 的值为 3 【解答】解：D是BC的中点，E在边AB上，且2BEEA， 1 3 ECEAACABA

20、C ， 1 () 2 ADABAC， 223113 3() () 2322 AD ECABACABACABACAB ACAB AC ， 2231 22 ACAB， 2 2 | 3 | AB AC ，3 AB AC 故答案为：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题小题.共共 75 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 12 页（共 19 页） 16（14 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足3 cossinaBbA （）求用B的大小； （）若 2 cos 3 A ，求sin(2)AB的值； （）若2b

21、，2ca，求边a的值 【解答】解： （）因为3 cossinaBbA， 所以3sincossinsinABBA， 因为sin0A ， 所以tan3B ， 因为(0, )B， 所以 3 B （）因为 2 cos 3 A ， 2 7 sin1 3 Acos A，可得 2 14 sin 22 sincos 9 AAA， 2 5 cos22cos1 9 AA 所以 2 141532 145 3 sin(2)sin2 coscos2 sin() 929218 ABABAB （）因为 3 B ，2b ，2ca， 由 余 弦 定 理 222 2cosbacacB， 可 得 222222 4423acacaa

22、aa， 解 得 2 3 3 a 17 （15 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，底面ABCD是正方形， 点P为侧棱 1 CC上的一点，且 1 33AAAB （）若点P为 1 CC的中点，求证： 1/ / AC平面PBD； （）若 1 1 3 PC CC ，求直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值； （）若二面角BPDC的余弦值为 2 3 ，求PC的长 第 13 页（共 19 页） 【解答】解： （）证明：连接AC，交BD于O，连接OP， 底面ABCD是正方形，O是AC的中点， 点P为 1 CC的中点， 1 / /OPAC， 1 AC 平面PBD，O

23、P 平面PBD， 1/ / AC平面PBD （）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 1 33AAAB， 1 1 3 PC CC ， 1(1 A，0，3)，(0P，1，1)，(1B，1，0)，(0D，0，0)， 1 ( 1AP ，1，2)，(1DB ，1，0)，(0DP ，1，1)， 设平面PBD的法向量(nx，y，) z， 则 0 0 n DBxy n DPyz ，取1x ，得(1n ，1，1)， 设直线 1 A P与平面PBD所成角为， 第 14 页（共 19 页） 则直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值为： 1 1 |42 2 sin 3| |

24、63 AP n APn （）设PCt，则(0P，1，) t，(0DP ，1，) t，(1DB ，1，0)， 平面PDC的法向量(1p ，0，0)， 设平面PBD的法向量(ma，b，) c， 则 0 0 m DPbtc m DBab ，取1a ，得(1m ，1， 1) t ， 二面角BPDC的余弦值为 2 3 ， 2 |12 |cos,| | |31 2 m p m p mp t ， 解得2t ，或2t （舍)， PC的长为 2 第 15 页（共 19 页） 18 （15 分）已知等差数列 n a的公差为正数 1 1a ，其前n项和为 n S，数列 n b为等比 数列， 1 2b ，且 22 1

25、2b S ， 23 10bS （）求数列 n a与 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和 n T （）设 1 nn n cb S ， * nN，求数列 n c的前2n项和 【解答】解： （）等差数列 n a的公差d为正数， 1 1a ， 数列 n b为等比数列，设公比为q， 1 2b ，且 22 12b S ， 23 10bS， 可得2 (2)12qd，23 310qd ， 解得2q ，1d ， 第 16 页（共 19 页） 则11 n ann ，2n n b ； （）2n nn abn， 前n项和 23 1 22 23 22n n Tn ， 2341 21 22 23 22n

26、 n Tn ， 两式相减可得 231 22222 nn n Tn 1 2(1 2 ) 2 1 2 n n n ， 化简可得 1 2(1) 2n n Tn ； （）由 1 (1) 2 n Sn n， 可得 1211 222() (1)1 nn nn n cb Sn nnn ， 则前n项和 11111 (242 )2(1) 2231 n n T nn 1 2(12 )12 2(1)2 1211 n n nn ， 则数列 n c的前2n项和为 21 2 2 21 n n 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个顶点分别为点( 2,0)A ，(2,0)B，离心 率

27、为 3 2 （）求椭圆C的方程； （） 点D为x轴上一点， 过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N， 过D作AM 的垂线交BN于点E证明：BDE与BDN的面积之比为定值 【解答】解： （）因为焦点在x轴上，两个顶点分别为( 2,0)A ，(2,0)B， 所以2a ， 由 3 2 c e a ，所以3c ， 所以 222 1bac， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）设 0 (D x，0)， 0 (M x， 0) y， 0 (N x， 00 )(0)yy， 第 17 页（共 19 页） 可得 2 20 0 1 4 x y ， 直线AM的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，

28、 因为DEAM，所以 0 0 2 DE x y k， 直线DE的方程为 0 0 0 2 () x yxx y ， 联立 0 0 0 0 0 2 () (2) 2 x yxx y y yx x ， 整理得， 00 0 00 2 ()(2) 2 xy xxx yx ， 即 22 000 (4)()(2)xxxy x， 即 2 20 00 4 (4)()(2) 4 x xxxx ，得 0 42 5 x x ， 所以 2 000 0 00 2 244 555 xxy yy yy ， 即 0 42 ( 5 x E ， 0 4 ) 5 y，则 5 4 N M y y ， 又 1 | | 4 2 1 5 |

29、 | 2 E BDE BDN N BDy S S BDy ， 所以BDE与BDN的面积之比为定值 4 5 20 （16 分）已知函数 2 ( )(2)f xalnxxax，其中aR （）若曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线的斜率为 1，求a的值； （）讨论函数( )f x的单调性； （） 若函数( )f x的导函数( )f x在区间(1, ) e上存在零点， 证明： 当(1, )xe时， 2 ( )f xe 【解答】 （）解：根据条件( )2(2) a fxxa x ， 则当2x 时，f（2）4(2)21 22 aa a ，解得2a ； （）解：函数( )f x的定义域是(0,)，

30、 第 18 页（共 19 页） (2)(1) ( )2(2) axa x fxxa xx ， 0a时，20 xa，令( )0f x，解得：1x ，令( )0f x，解得：01x， 故( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增， 02a时，令( )0f x，解得：1x 或0 2 a x，令( )0f x，解得：1 2 a x， 故( )f x在(0,) 2 a 递增，在( 2 a ，1)递减，在(1,)递增， 2a 时，( ) 0f x，( )f x在(0,)递增， 2a 时，令( )0f x，解得： 2 a x 或01x，令( )0f x，解得：1 2 a x， 故( )f x在(0,1)递

31、增，在(1, ) 2 a 递减，在( 2 a ，)递增； 综上：0a时，( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增， 02a时，( )f x在(0,) 2 a 递增，在( 2 a ，1)递减，在(1,)递增， 2a 时，( )f x在(0,)递增， 2a 时，( )f x在(0,1)递增，在(1, ) 2 a 递减，在( 2 a ，)递增； （）证明：因为 (2)(1) ( )2(2) axa x fxxa xx ， 又因为导函数( )f x在(1, ) e上存在零点， 所以( )0f x在(1, ) e上有解，则有1 2 a e，即22ae， 且当1 2 a x时，( )0f x，( )f

32、 x单调递减，当 2 a xe时，( )0f x，( )f x单调递增， 所以 22 ( )( )(2)(12) 22424 aaaaa f xfalnaalnalna， 设 2 ( )(12) 4 x g xxlnxlnx，22xe， 则( )1(12)2 22 xx g xlnxlnlnxln ， 则 11 ( )0 2 gx x ，所以( )g x在(2,2 ) e上单调递减， 所以( )g x在(2,2 ) e上单调递减， 则 22 (2 )222 (12)geeln eeelneg（2） ， 第 19 页（共 19 页） 所以 2 ( )g xe， 则根据不等式的传递性可得，当(1, )xe时， 2 ( )f xe