2020-2021学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |2 0Ax xx ， |(1)Bx yln x，则(AB ) A(1，2 B(0，2 C(2,) D2，) 2 （5 分）若复数( 32 ai i i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为( ) A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3

2、 2 3 （5 分）若tan2，则 2 sin2 ( 1cos ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D1 4 （5 分） “1a ”是“直线(21)30axay与直线(2)10axay 互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采

3、访，另外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和 摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 6 （5 分）函数 2 ( )|1| x f xxln e的部分图象可能是( ) A B C D 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过F作斜率为3的直线l交抛物线C 于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是( ) A 2 3yx B 2 4yx C 2 6

4、yx D 2 8yx 8 （5 分）已知函数( )()f x xR的导函数是( )fx，且满足xR ，(1)(1)fxfx ，当 1x 时， 1 ( )(1)( )0 1 f xln xfx x ，则使得(2) ( )0 xf x成立的x的取值范围是( ) A(0，1)(2，) B(，2)(2，) C( 2，1)(1，2) D(，1)(2，) 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，

5、部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是( ) A若0ab，则 cc ab B若ab，cd，则adbc C若ab，cd，则acbd D若1ab，则444 ab 10 （5 分）直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，若直线l被圆 22 4xy截得的弦 长为2 3，则实数a的值可以是( ) A0 B 3 4 C 4 3 D 4 3 11 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离 为 4 ，且直线 12 x 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的最小正周期

6、为 2 B函数( )f x在区间 6 ， 12 上单调递增 C点 5 ( 24 ，0)是函数( )f x图象的一个对称中心 D将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图 象向左平移 6 个单位长度，可得到( )sin2g xx的图象 12 （5 分）如图，在菱形ABCD中，2AB ，60ABC，M为BC的中点，将ABM沿 第 3 页（共 21 页） 直线AM翻折成 1 AB M，连接 1 B C和 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说 法中正确的是( ) A 1 AMBC BCN的长为定值 C 1 AB与CN的夹角为 6 D当三棱

7、锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表面积是8 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知函数 2 2 ,1 ( ) ,1 xx x f x lnx x ，则(f f（e）) 14 （5 分）二项式 6 3 ()x x 的展开式的常数项是 15 （5 分）如图，矩形ABCD中，2AB ，1AD ，P是矩形ABCD内的动点，且点P到 点A距离为 1，则PC PD的最小值为 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F， 两渐近线分别为 1: b ly

8、x a ， 2: b lyx a ， 过F作 1 l的垂线， 垂足为M， 垂线交 2 l于点N，O为坐标原点， 若| |OFFN， 则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在sinsin() 3 aCcA ；2 coscoscoscAaBbA； 222 bcabc这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题 第 4 页（共 21 页） 问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知3b ，3 3 ABC S， _，

9、求a的值 18（12 分） 已知数列 n a是等差数列， 数列 n b是正项等比数列， 且 11 1ab， 32 8ab， 53 ab （1）求数列 n a、数列 n b的通项公式； （2）若 1 1 (*) nn nn cb nN a a ，求数列 n c的前n项和 n S 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 ACC A 底 面ABC，且侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC，E是 1 BB的中点，F是 1 AC与 1 AC的交点 （1）求证：/ /EF底面ABC； （2）求BC与平面 1 A AB所成角的正弦值 20 （

10、12 分）某市为提高市民的健康水平，拟在半径为 200 米的半圆形区域内修建一个健身 广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形 ABCD区域是休闲健身区， 以CD为底边的等腰三角形区域PCD是儿童活动区，P，C，D 三点在圆弧上，AB中点恰好为圆心O设COB，健身广场的面积为S （1）求出S关于的函数解析式； （2）当角取何值时，健身广场的面积最大？ 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 1 ( )(1)1()f xlnxaaR x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若( )0f x 在(1,)上恒成立，求整数a的最大值 22（

11、12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ， 点( 3，2)在椭圆C上A、 B分别为椭圆C的上、 下顶点， 动直线l交椭圆C于P、Q两点， 满足APAQ，AHPQ， 垂足为H （1）求椭圆C的标准方程； （2）求ABH面积的最大值 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只

12、有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |2 0Ax xx ， |(1)Bx yln x，则(AB ) A(1，2 B(0，2 C(2,) D2，) 【解答】解： | 12Axx 剟， |1Bx x， (1AB，2 故选：A 2 （5 分）若复数( 32 ai i i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为( ) A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 【解答】解：因为 ()(32 )32(32 ) 32(32 )(32 )13 aiaiiaa i iii 为纯虚数， 所以320a ，即 2 3 a 故选：B 3 （5 分）若tan2，则 2 sin2

13、( 1cos ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D1 【解答】解：因为tan2， 则 22222 sin22sincos2tan222 1cos22223cossintan 故选：C 4 （5 分） “1a ”是“直线(21)30axay与直线(2)10axay 互相垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 1 2 a 时两条直线不垂直，舍去 0a 时，两条直线方程分别化为：210 x ，30y ，满足两条直线相互垂直 第 7 页（共 21 页） 1 2 a ，0 时，由两条直线垂直可得： 2 ()1 21 aa aa ，解得1

14、a 综上可得：1a ，0 所以1a ，0，是“直线(21)30axay与直线(2)10axay 互相垂直”的充要条 件， 故1a ，是“直线(21)30axay与直线(2)10axay 互相垂直”的充分不必要 条件 故选：A 5 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和

15、摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 在 4 名记者中任选 2人， 在 3 名摄影师中选出 1人， 安排到 “云采访” 区域采访， 有 21 43 18C C 种情况， 在剩下的外 2 名记者中选出 1 人，在 2 名摄影师中选出 1 人，安排到“汽车展区”采访， 有 11 22 4C C 种情况， 将最后的 1 名记者和 1 名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有 1 种情况， 则有

16、18472种不同的安排方案， 故选：C 6 （5 分）函数 2 ( )|1| x f xxln e的部分图象可能是( ) A B 第 8 页（共 21 页） C D 【解答】解：由f（1） 22 1|1| 1(1)11 10ln eln elne ，可排除选项A和B， 又 221 ( 1)1|1|1(1)11 10fln elnelne ，排除选项C， 故选：D 7 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过F作斜率为3的直线l交抛物线C 于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是( ) A 2 3yx B 2 4yx C 2 6yx D 2 8yx

17、 【解答】解：由抛物线的方程可得( 2 p F，0)， 由题意可设直线l的方程为： 3 32 p xy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立直线与抛物线的方程： 2 3 32 2 p xy ypx ，整理可得： 22 32 330ypyp， 可得： 12 2 3 3 yyp，所以AB中点的纵坐标为 3 3 p， 由题意可得 3 3 3 p ，解得3p ， 所以抛物线的方程为 2 6yx； 故选：C 8 （5 分）已知函数( )()f x xR的导函数是( )fx，且满足xR ，(1)(1)fxfx ，当 1x 时， 1 ( )(1)( )0 1 f xln xfx

18、 x ，则使得(2) ( )0 xf x成立的x的取值范围是( ) A(0，1)(2，) B(，2)(2，) C( 2，1)(1，2) D(，1)(2，) 【解答】解：令( )(1)( )g xln xf x， 第 9 页（共 21 页） 当1x 时， 1 ( )( )(1)( )0 1 g xf xln xfx x ， 故( )g x在(1,)上单调递增， 又2x 时，(1)10ln xln， 故g（2）(1) ( )0ln xf x， 故当(1,2)x时，( )0g x ，当(2,)x时，( )0g x ， 而(1,2)x时，(1)0ln x，故( )0f x ， (2,)x时，(1)0l

19、n x，故( )0f x ， 函数满足(1)(1)fxfx ，函数的图象关于(1,0)中心对称， 当(0,1)x时，( )0f x ，(,0)x 时，( )0f x ， 由(2) ( )0 xf x，得： 20 ( )0 x f x 或 20 ( )0 x f x ， 解得：2x 或1x ，即x的取值范围是(，1)(2，)， 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对

20、的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是( ) A若0ab，则 cc ab B若ab，cd，则adbc C若ab，cd，则acbd D若1ab，则444 ab 【解答】解，对于A，若0c ，则 cc ab ，故A错误； 对于B，若ab，cd，则dc ，则adbc，故B正确； 对于C，若ab，cd，取4a ，3b ，1c ，2d ，则acbd，故C错误； 对于D，若1ab，则442 442 44 ababa b ，当且仅当 1 2 ab时等号成立，故 D正确 故选：BD 10 （5 分）直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，若直线l被圆

21、 22 4xy截得的弦 长为2 3，则实数a的值可以是( ) A0 B 3 4 C 4 3 D 4 3 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，设直线:0l xayb， 可得120ab，可得12ba ， 所以直线:120l xaya 直线l被圆 22 4xy截得的弦长为2 3， 可得 2 2 | 12 | 4( 3)1 1 a a ，解得0a 或 4 3 a 故选：AD 11 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离 为 4 ，且直线 12 x 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是( ) A函

22、数( )f x的最小正周期为 2 B函数( )f x在区间 6 ， 12 上单调递增 C点 5 ( 24 ，0)是函数( )f x图象的一个对称中心 D将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图 象向左平移 6 个单位长度，可得到( )sin2g xx的图象 【解答】解：函数( )sin()(0f xx ，|) 2 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离 为 1 2 24 ，4，( )sin(4)f xx 直线 12 x 是其中一条对称轴，4() 122 k，Zk， 6 ，( )sin(4) 6 f xx 故函数( )f x的最小正周期为 2 42 ，故A正

23、确； 当 6 x ， 12 ， 5 4 66 x ， 6 ，函数( )f x没有单调性，故B错误； 令 5 24 x ， 求得( )0f x ， 可得点 5 ( 24 ，0)是函数( )f x图象的一个对称中心， 故C正确； 将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，可得sin(2) 6 yx 的 图象； 再把得到的图象向左平移 6 个单位长度，可得到( )sin(2) 6 g xx 的图象，故D错误， 故选：AC 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分）如图，在菱形ABCD中，2AB ，60ABC，M为BC的中点，将ABM沿 直线AM翻折成 1 AB M，

24、连接 1 B C和 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说 法中正确的是( ) A 1 AMBC BCN的长为定值 C 1 AB与CN的夹角为 6 D当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表面积是8 【解答】解：因为ABCD是菱形，60ABC，所以ABBC，则ABC为等边三角形， 又因为M为BC的中点，所以AMBC， 又 11 1 22 BMBCAB，又因为 1 1B MBM， 1 2ABAB， 1 60AB MABM ， 所以 222 11111 2cosAMABBMAB BMABM，即 222 212 2 1 cos603AM ， 所以3AM

25、 ，所以 222 11 AMBMAB，所以 1 AMB M， 又因为 1 B MBCM，BC 平面 1 B MC，MC 平面 1 B MC， 所以 1 AMBC，故选项A正确； 作AD的中点E，连结EN，EC，因为N为 1 B D的中点， 所以 1 / /ENAB，又因为/ /ECAM， 第 12 页（共 21 页） 所以 1 6 NECB AM ， 所以 222 2cosNCNEECNE ECNEC， 222 1 2cosNCNEECNE ECB AM， 又 11 113 1,3 cos 222 NEABABECAMB AM，所以 2 3 132131 2 NC ，即1NC ， 所以NC为定

26、值，故选项B正确； 1 AB与NC的夹角也就是EN与CN的夹角，即ENC，又30NEC，1NC ， 所以 222 1 cos 22 ENNCEC ENC EN NC ，所以 3 ENC ，故选项C错误； 要使 1 BAMD V 最大，则 1 B MBC， 因为180120BADABC， 1 , 2 BM AMBC AB ， 所以30BAM，则90MADBADBAM ， 所以MAAD， 在直角三角形MAD中，MD为斜边，取斜边上的中点F，又N为 1 B D的中点， 所以 1 / /ENB M，又 1 B M 平面AMD， 所以FN 平面AMD，MD 平面AMD， 所以FNMD， 所以N为外接球的

27、球心， 所 以 半 径 22 1 ()() 2 rMDFNNM， 又 2 2222 327M DA MA D， 22 1 11 () 24 FNMB， 则 22 1 11 2 44 rMDMB， 所以外接球的表面积 2 48Sr，故选项D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知函数 2 2 ,1 ( ) ,1 xx x f x lnx x ，则(f f（e）) 3 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，函数 2 2 ,1 ( ) ,1 xx x f x lnx x ，则f（e）

28、1lne， 则(f f（e）)f（1）123 ， 故答案为：3 14 （5 分）二项式 6 3 ()x x 的展开式的常数项是 540 【解答】解：二项式 6 3 ()x x 的展开式的通项公式为 6 2 16 ( 3) rrr r TCx ， 令620r，求得3r ，可得展开式的常数项是 33 6 ( 3)540C ， 故答案为：540 15 （5 分）如图，矩形ABCD中，2AB ，1AD ，P是矩形ABCD内的动点，且点P到 点A距离为 1，则PC PD的最小值为 22 2 【解答】 解： 如图， 取A为原点，AB边所在的直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 则：(0,1)D， (2,1)

29、C，设(cos ,sin )P，(0,) 2 ， (2cos ,1 sin )PC， ( cos ,1sin )PD ， 22 2cos12sinsin22(sincos )22 2sin() 4 PC PDcos ， sin()1 4 ，即 4 时，PC PD取最小值22 2 故答案为：22 2 第 14 页（共 21 页） 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F， 两渐近线分别为 1: b lyx a ， 2: b lyx a ， 过F作 1 l的垂线， 垂足为M， 垂线交 2 l于点N，O为坐标原点， 若| |OFFN， 则双曲线C的离心

30、率为 2 3 3 【解答】解：由题意，( ,0)F c， 1 FMl， FM a b k，则直线FM的方程为() a yxc b ， 联立 () b yx a a yxc b ，解得 2 22 22 a c x ab abc y ab ，得 2 22 ( a c N ab ， 22) abc ab ， 222 bca， 2224 22 2222222 () |()() (2) a cabcca c FNc ababac ， | |OFFN， 224 222 () (2) ca c c ac ，整理得 22 43ac， 即 2 3 3 c e a 故答案为： 2 3 3 四、解答题：本题共四、解

31、答题：本题共 6 小题，共小题，共 20 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在sinsin() 3 aCcA ；2 coscoscoscAaBbA； 222 bcabc这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题 问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知3b ，3 3 ABC S， _，求a的值 【解答】解：若选：因为sinsin() 3 aCcA ， 所以sinsinsinsin() 3 ACCcA ， 所以 13 sinsin()sincos 322 AAAA ， 即sin3cosAA

32、， 所以tan3A， 因为A为三角形的内角， 第 15 页（共 21 页） 所以 3 A ， 所以 1133 3 sin33 3 2224 ABC SbcAcc ， 所以4c ， 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 22 1 3423413 2 ， 所以13a ， 若选：2 coscoscoscAaBbA， 所以2sincossincossincosCAABBA， 所以2sincossin()sin()sinCAABCC， 因为sin0C ， 所以 1 cos 2 A ， 因为A为三角形内角， 所以 3 A ， 1133 3 sin33 3 2224 ABC SbcAcc ， 所以

33、4c ， 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 22 1 3423413 2 ， 所以13a ， 若选： 222 bcabc， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为A为三角形内角，所以 3 A ， 1133 3 sin33 3 2224 ABC SbcAcc ， 所以4c ， 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 22 1 3423413 2 ， 所以13a 18（12 分） 已知数列 n a是等差数列， 数列 n b是正项等比数列， 且 11 1ab， 32 8ab， 第 16 页（共 21 页） 53 ab （1）求数列 n a、数列 n

34、 b的通项公式； （2）若 1 1 (*) nn nn cb nN a a ，求数列 n c的前n项和 n S 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 正项等比数列 n b的公比为q，0q ， 由 11 1ab， 32 8ab， 53 ab，可得128dq， 2 1 4dq， 解得2d ，3(6qd，5q 舍去） ， 则12(1)21 n ann ； 1 3n n b ； （2） 1 1 11 3 (21)(21) n nn nn cb a ann 1 111 ()3 2 2121 n nn ， 所以 1111111 3 (1) 233521211 3 n n S nn 1131(

35、21) 31 (1) 221242 nn n nn 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 ACC A 底 面ABC，且侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC，E是 1 BB的中点，F是 1 AC与 1 AC的交点 （1）求证：/ /EF底面ABC； （2）求BC与平面 1 A AB所成角的正弦值 【解答】解： （1）证法一：取 1 CC的中点M，连接EM，FM， F是 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A是菱形， 第 17 页（共 21 页） F是 1 AC的中点，/ /FMAC， FM 底面ABC，AC 底面

36、ABC，/ /FM底面ABC， 11 / /BBCC， 11 BBCC，E为 1 BB中点，/ /BECM，BECM， 四边形BCME为平行四边形，/ /EMBC， EM 底面ABC，BC 底面ABC， / /EM底面ABC， EMFMM，EM 平面EFM，FM 平面EFM， 平面/ /EFM底面ABC， EF 平面EFM，/ /EF底面ABC 证法二：取AC中点O，连接OB，OF， F是 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A为菱形，F是 1 AC的中点， 1 / /OFAA， 1 1 2 OFAA， E是 1 BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， E是 1

37、BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， / /OFBE，OFBE， 四边形OBEF是平行四边形，/ /EFOB， 又EF 底面ABC，OB 底面ABC， / /EF底面ABC （2）连接 1 OA，侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC， 1 A AC是正三角形， 1 AOAC， 侧面 11 ACC A 底面ABC，侧面 11 ACC A底面ABCAC， 1 AO 侧面 11 ACC A， 1 AO底面ABC， 底面ABC为正三角形，O为AC的中点，BOAC， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 底面ABC是边长为 2

38、的正三角形， (0A，1，0)，( 3B，0，0)，(0C，1，0)， 1(0 A，0，3)， 第 18 页（共 21 页） ( 3AB ，1，0)， 1 (0AA ，1，3)，(3BC ，1，0)， 设平面 1 A AB的一个法向量为(nx，y，) z， 由 1 30 30 n ABxy n AAyz ，取1x ，得(1n ，3，1)， BC与平面 1 A AB所成角的正弦值为： |33|15 sin|cos,| 5| |25 BC n BC n BCn 20 （12 分）某市为提高市民的健康水平，拟在半径为 200 米的半圆形区域内修建一个健身 广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲

39、健身和儿童活动两个功能区，图中矩形 ABCD区域是休闲健身区， 以CD为底边的等腰三角形区域PCD是儿童活动区，P，C，D 三点在圆弧上，AB中点恰好为圆心O设COB，健身广场的面积为S （1）求出S关于的函数解析式； （2）当角取何值时，健身广场的面积最大？ 第 19 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由已知得，200sinBC，200cosOB， 等腰三角形PCD底边CD上的高为200200sin， 1 2200cos200sin400cos (200200sin ) 2 S 80000sin cos40000(coscos sin )40000(2sin coscossin cos

40、 ) 40000(sin coscos )， 40000(sincoscos )(0) 2 S ； （2）设( )sin coscosf， 则 222 ( )cossinsin2sinsin1f 1 2(sin)(sin1) 2 由( )0f，得0 6 ，由( )0f，得 62 ， ( )f在(0,) 6 上单调递增，在( 6 ，) 2 上单调递减， 6 时， 333 3 ( )() 6424 max ff 3 3 4000030000 3 4 max S 即 6 时，健身广场面积最大，最大值为 2 30000 3m 21 （12 分）已知函数 1 ( )(1)1()f xlnxaaR x （

41、1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若( )0f x 在(1,)上恒成立，求整数a的最大值 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域是(0,)， 1 ( )(1)1()f xlnxaaR x ， 22 1 ( ) axa fx xxx ， 当0a时，( )0fx对(0,)x恒成立， 当0a 时，由( )0fx得xa，由( )0fx得0 xa， 第 20 页（共 21 页） 综上，当0a时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上单调递增； （2）由( )0f x 得 1 (1)10lnxa x ，故 (1) 1 a x l

42、nx x ， 即 1 xlnxx a x 对(1,)x恒成立， 令( ) 1 xlnxx g x x ，则 22 (1 1)(1)()2 ( ) (1)(1) lnxxxlnxxxlnx g x xx ， 令( )2h xxlnx，则 11 ( )1 x h x xx ， 1x ，( )0h x ， ( )h x在(1,)上单调递增，h（3）130ln ，h（4）240ln， 故 0 (3,4)x满足 00 20 xlnx， 当 0 1xx时，( )0h x ，( )0g x，当 0 xx时，( )0h x ，( )0g x， 故( )g x在 0 (1,)x单调递减，在 0 (x，)单调递增

43、， 故 000 00 0 (2) ( )() 1 min x xx g xg xx x ， 故 0 ax， 0 34x，aZ， 故a的最大值是 3 22（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ， 点( 3，2)在椭圆C上A、 B分别为椭圆C的上、 下顶点， 动直线l交椭圆C于P、Q两点， 满足APAQ，AHPQ， 垂足为H （1）求椭圆C的标准方程； （2）求ABH面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可知 22 222 3 3 32 1 c a ab abc ，解得6a ，2b ，2c ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 64 xy ； （

44、2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为yxmk，其中2m ， 第 21 页（共 21 页） 由 22 1 64 yxm xy k ，消y得 222 (32)63120 xmxmkk， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 12 2 6 32 m xx k k ， 2 12 2 312 32 m x x k ， APAQ， 22 121212121212 (2)(2)(2)(2)(1)(2)()(2)0AP AQx xyyx xxmxmx xmxxmkkkk ， 即 2 22 22 3126 (1)(2)(2)0 3232 mm mm k kk kk ， 即 222 (1)(36)6(2)(32)0mmmkkk， 2m ， 22222 (1)(312)6(2)(2) (32)0mm mmkkk， 22222 3636632640mmmmmkkkkk， 2 5 m ，满足0， 设PQ所过定点D，AHPQ， 点H在以AD为直径的圆上， ABH面积的最大值 2 2() 1|112 5 |4 22225 AD SAB