2021年上海市金山区高考数学一模试卷.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2021 年上海市金山区高考数学一模试卷年上海市金山区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 （4 分）若函数sin(2) 4 yx ，则它的最小正周期T 2 （4 分）若复数 2 ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则z的模| z 3 （4 分）若矩阵 sin& &cos m A n ， &sin cos& m B n ，且AB，则 22 m

2、n 4 （4 分）若函数 2 log ()1yxm的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m 5 （4 分）已知集合 |3sinMy yx，xR， |Nx xa，若MN，则实数a的取 值范围是 6 （4 分）已知 1 F、 2 F是椭圆 22 1 2516 xy 的两个焦点，AB是过点 1 F的弦，则 2 ABF的周长 是 7 （5 分）在五个数字 1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数 的概率是 （结果用数值表示） 8 （5 分）在直角三角形ABC中，5AB ，12AC ，13BC ，点M是ABC外接圆上的 任意一点，则AB AM的最大值是 9（5 分） 已知实数a

3、、b、c成等差数列， 则点( 1,0)P 到直线0axbyc的最大距离是 10 （5 分）球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，以这 3 个点 为顶点构成的三角形的周长为 18，则此球的半径为 11 （5 分）关于x的方程 2 30( ,)xaxba bR在1，2上有实根，则 22 (4)ab的最 小值为 12（5 分） 若( ) |1|2|2020|1|2|2020|f xxxxxxx，xR， 且 2 (32)(1)f aaf a，则满足条件的所有整数a的和是 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5

4、分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 （5 分）在 4 (12 ) x的二项展开式中，二项式系数的和为( ) 第 2 页（共 16 页） A8 B16 C27 D81 14 （5 分） “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x是奇函数，且满足(3)( )f xf x，f（1）3 ， 数列 n a满足2 nn San（其中 n

5、S为 n a的前n项和） ，则 56 ()()(f af a ) A3 B2 C3 D2 16（5 分） 已知ABC的外接圆圆心为O，120A， 若(,)A O x A B y A Cxy R， 则xy 的最小值为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 2 D2 三三.解答题（本大题共有解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤的步骤. 17 （14 分） 已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，4 3a ，6b ， 1 cos 3 A （1）求c； （2）求cos2B的值 18 （14

6、 分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC是边长为 2 的正三角形， 侧棱PB与底面所成的角为 4 （1）求三棱锥PABC的体积V； （2）若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小 19 （14 分）已知定义域为R的函数 12 ( ) 12 x x f x （1）试判断函数 12 ( ) 12 x x f x 在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明； 第 3 页（共 16 页） （2）若对于任意tR，不等式 22 (2 )()0f ttf tk恒成立，求实数k的取值范围 20 （16 分）已知点P在抛物线 2 :4C yx上，过点P作圆 222 :(3)(02)Mxyr

7、r 的 两条切线，与抛物线C分别交于A、B两点，切线PA、PB与圆M分别相切于点E、F （1）若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标； （2）若点P的坐标为(1,2)，且2r 时，求PE PF的值； （3）若点P的坐标为(1,2)，设线段AB中点的纵坐标为t，求t的取值范围 21 （18 分）若数列 n a满足 1 1 (1 n n a a 剟，且为实常数） ，*nN，则称数列 n a为 B( )数列 （1）若数列 n a的前三项依次为 1 2a ， 2 ax， 3 9a ，且 n a为B（3）数列，求实数x 的取值范围； （ 2 ） 已 知 n a是 公 比 为(1

8、)q q 的 等 比 数 列 ， 且 1 0a ， 记 21321 | nnn Taaaaaa 若存在数列 n a为B（4） 数列， 使得 1 lim0 nn n n TtT T 成立，求实数t的取值范围； （3）记无穷等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，证明： “ 1 01 d a 剟”是“ n a为B( ) 数列”的充要条件 第 4 页（共 16 页） 2021 年上海市金山区高考数学一模试卷年上海市金山区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分

9、，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 （4 分）若函数sin(2) 4 yx ，则它的最小正周期T 【解答】解：函数sin(2) 4 yx 的最小正周期为 2 2 T 故答案为： 2 （4 分）若复数 2 ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则z的模| z 1 【解答】解：复数 2(2)(12 )5 12(12 )(12 )5 iiii zi iii ， 所以| 1z 故答案为：1 3 （4 分）若矩阵 sin& &cos m A n ， &sin cos& m B n ，且AB，则 22 mn 1 【解答

10、】矩阵 sin& &cos m A n ， &sin cos& m B n ，且AB， 可得A、B矩阵对应位置上的元素相等， 故sinm，cosn， 2222 sincos1mn； 故答案为：1 4 （4 分）若函数 2 log ()1yxm的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m 2 【解答】解：函数 2 log ()1yxm的反函数的图象经过点(1,3)， 函数 2 log ()1yxm的图象过点(3,1)， 2 1log (3)1m 2 log (3)0m， 31m ， 2m 第 5 页（共 16 页） 故答案为：2 5 （4 分）已知集合 |3sinMy yx，xR， |Nx xa，若

11、MN，则实数a的取 值范围是 (3,) 【解答】解：集合 |3sinMy yx， 3xR ，3， |(, )Nx xaa a ， 因为MN， 所以3a ， 即实数a的取值范围是(3,) 故答案为：(3,) 6 （4 分）已知 1 F、 2 F是椭圆 22 1 2516 xy 的两个焦点，AB是过点 1 F的弦，则 2 ABF的周长 是 20 【解答】解：椭圆的方程为 22 1 2516 xy ， 5a， 根据椭圆的定义，得 1212 | | 210AFAFBFBFa， 1 ABF的周长 111212 | (|)(|)20AFBFABAFAFBFBF， 故答案为：20 7 （5 分）在五个数字

12、1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数 的概率是 0.3 （结果用数值表示） 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生的所有事件是从 5 个数字中选 3 个，共有 3 5 C种结果 满足条件的是剩下两个数字都是奇数， 即取出的三个数为两偶一奇有 21 23 C C种结果， 剩下两个数字都是奇数的概率是 21 23 3 5 3 0.3 10 C C P C 故答案为：0.3 8 （5 分）在直角三角形ABC中，5AB ，12AC ，13BC ，点M是ABC外接圆上的 任意一点，则AB AM的最大值是 45 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：解法一、Rt

13、 ABC的外心即斜边BC中点O， 由平面向量的线性运算知，AMAOOM， 所以()AB AMABAOOMAB AOAB OM， 由图可知： 13525 |cos|sin5 2132 AB AOABAOBAOABAOC， 当/ /OMAB时，AB OM的最大值为 1365 5 22 ， AB AM的最大值为 2565 45 22 解法二、建立平面直角坐标系，如图所示： (0,0)A，(5,0)B，(0,12)C， ABC外接圆 22 5169 ()(6) 24 xy， 设M 513 (cos 22 ， 13 6sin ) 2 ， 则 513 (cos 22 AM， 13 6sin ) 2 ， (

14、5,0)AB ， 2565 cos45 22 AB AM，当且仅当cos1时取等号 所以AB AM的最大值是 45 故答案为：45 第 7 页（共 16 页） 9 （5 分）已知实数a、b、c成等差数列，则点( 1,0)P 到直线0axbyc的最大距离是 2 2 【解答】解：根据题意，过点P作直线0axbyc的垂线，Q为垂足， 若a，b，c成等差数列，即2bac， 则直线0axbyc为2()20axac yc， 即( 2)(2 ) 0a x ycy， 恒过定点(1, 2)M 又由PQ垂直于直线0axbyc，故PQM为直角三角形， 则Q的轨迹是以PM为直径的圆，即 22 (1)2xy， 则点(

15、1,0)P 到直线0axbyc的距离即|PQ的长，其最大值为| 2 2PM ， 故答案为：2 2 10 （5 分）球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，以这 3 个点 为顶点构成的三角形的周长为 18，则此球的半径为 6 【解答】解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，ABC 是正三角形， 三角形的周长为 18，可得边长为 6， 故正三角形ABC的外径 6 24 32 3 sin60 rr ，故高 3 3 3 2 ADr，D是BC的中 点 在OBC中，BOCOR， 3 BOC ，所以BCBOR， 11 22 BDBCR 在Rt

16、ABD中，ABBCR，所以由 222 ABBDAD，得 22 1 27 4 RR， 所以6R 故答案为：6 11 （5 分）关于x的方程 2 30( ,)xaxba bR在1，2上有实根，则 22 (4)ab的最 小值为 2 第 8 页（共 16 页） 【解答】解：由 2 30 xaxb，知 2 3bxax ， 所以 22222222222 (4)(1)(1)2(1)abaxaxaxax xa x 222222 (1)(12)(1)()1xxaxaxxax ， 因为1x，2，所以 222 (4)1 2abx厖， 当1x ，1a ，3b 时，等号成立， 所以 22 (4)ab的最小值为 2 故答

17、案为：2 12（5 分） 若( ) |1|2|2020|1|2|2020|f xxxxxxx，xR， 且 2 (32)(1)f aaf a，则满足条件的所有整数a的和是 6 【解答】解：( ) |1|2|2020|1|2|2020|f xxxxxxx， 则() |1|2|2020|1|2|2020|fxxxxxxx， 可得()( )fxf x，函数是偶函数， 若 2 (32)(1)f aaf a则 2 321aaa或 2 32(1)aaa 由，得 2 32(1)(2)1aaaaa， 即(1)(3)0aa，解得1a 或3a ； 由，得 2 32(1)(2)(1)aaaaa ， 即(1)(1)0a

18、a，解得1a ； 1a或3a ，又(0)ff（1）( 1)f， 当2a 时，也满足要求， a的值有 3 个，可得1236 故答案为：6 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 （5 分）在 4 (12 ) x的二项展开式中，二项式系数的和为( ) A8 B16 C27 D81 【解答】解：在 4 (12 ) x的二项展开式中，二项式系数的和为 4 2216 n ，

19、 第 9 页（共 16 页） 故选：B 14 （5 分） “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由|1| 2x解得：2121x ，即13x 由(3)0 x x，解得03x “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”必要不充分条件 故选：B 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x是奇函数，且满足(3)( )f xf x，f（1）3 ， 数列 n a满足2 nn San（其中 n S为 n a的前n项和） ，则 56 ()()(f af a ) A3 B2 C3 D2 【解答】解：数

20、列 n a满足2 nn San，当1n 时， 111 21aSa，解得 1 1a ， 当2n时， 11 21 nn San ， 则 1 221 nnn aaa ，即 1 21 nn aa ， 1 12(1)(2) nn aan ，又 1 12a ， 数列1 n a 是首相为2，公比为 2 的等比数列， 1 1222 nn n a ， 12n n a ，此式对1n 也成立， 数列 n a的通项公式为12n n a ， 5 31a ， 6 63a ， 由定义在R上的函数( )f x是奇函数，且满足(3)( )f xf x，f（1）3 ， 可知，( )f x的周期为 3，且( 1)ff （1）3，(

21、0)0f， 56 ()()( 31)( 63)( 1)(0)3f af affff 故选：C 16（5 分） 已知ABC的外接圆圆心为O，120A， 若(,)A O x A B y A Cxy R， 则xy 第 10 页（共 16 页） 的最小值为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 2 D2 【解答】解：设|ABc，|ACb， 则 1 2 AB ACbc ， 分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，则ODAB，OEAC， 22 11 |cos| 22 AO ABAOABBAOABc， 同理 2 1 2 AO ACb， AOxAByAC， 2 AO ABxAByAB AC， 22 1

22、2 cxcbcy，即 11 22 ccxby， 同理， 11 22 bcxby ， 联立得， 2 33 b x c ， 2 33 c y b ， 44 22 333333 bcbc xy cbcb ， 当且仅当 33 bc cb 即bc时取等号，此时xy取得最小值 2， 故选：D 三三.解答题（本大题共有解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤的步骤. 17 （14 分） 已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，4 3a ，6b ， 1 cos 3 A （1）求c； （2）求cos2B

23、的值 第 11 页（共 16 页） 【解答】解： （1）由余弦定理知， 222 2cosabcbcA，即 2 1 483626() 3 cc ， 整理得， 2 4120cc， 解得2c 或6（舍负） ， 故2c （2） 1 cos 3 A ，且(0, )A， 2 2 2 sin1 3 Acos A， 由正弦定理知， sinsin ab AB ，即 4 36 sin2 2 3 B ， 6 sin 3 B， 2 1 cos212sin 3 BB 18 （14 分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC是边长为 2 的正三角形， 侧棱PB与底面所成的角为 4 （1）求三棱锥PABC的体积V

24、； （2）若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小 【解答】解： （1）PA底面ABC，PBA为侧棱PB与底面所成的角等于 4 ， 则PAB为等腰直角三角形，且PAAB， 又2AB ，则2PA， ABC是边长为 2 的正三角形， 13 223 22 ABC S ， 三棱锥PABC的体积 112 3 32 333 ABC VSPA ； （2）取AB的中点O，连接OD，则/ /ODPA， CDO为异面直线PA与CD所成角， 第 12 页（共 16 页） PA底面ABC，/ /PAOD，OD底面ABC，则ODOC， 在Rt COD中， 1 1 2 ODPA， 22 213OC ， tan3

25、 OC CDO OD ，得 3 CDO 即异面直线PA与CD所成角的大小为 3 19 （14 分）已知定义域为R的函数 12 ( ) 12 x x f x （1）试判断函数 12 ( ) 12 x x f x 在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意tR，不等式 22 (2 )()0f ttf tk恒成立，求实数k的取值范围 【解答】解： （1）函数 12 ( ) 12 x x f x 即 2 ( )1 12x f x 在R上递减， 理由：设 12 xx， 21 1212 12 222(22 ) ()() 1212(12 )(12 ) xx xxxx f xf x ， 由

26、12 xx，可得 _1_2 22 xx ，即 _2_1 220 xx ，又 _1 120 x ， _2 120 x ， 则 21 12 2(22 ) 0 (12 )(12 ) xx xx ，所以 12 ()()0f xf x，即 12 ( )()f xf x， 故( )f x在R上递减； （2）由 1221 ()( ) 1221 xx xx fxf x ，可得( )f x为奇函数， 22 (2 )()0f ttf tk即为 222 (2 )()()f ttf tft kk， 由( )f x在R上递减，可得 22 2tttk， 对于任意tR，不等式 22 (2 )()0f ttf tk恒成立，

27、2 22ttk恒成立， 第 13 页（共 16 页） 22 11 222() 22 ttt，当 1 2 t 时， 2 22tt取得最小值 1 2 ， 则 1 2 k，即k的取值范围是 1 (,) 2 20 （16 分）已知点P在抛物线 2 :4C yx上，过点P作圆 222 :(3)(02)Mxyrr 的 两条切线，与抛物线C分别交于A、B两点，切线PA、PB与圆M分别相切于点E、F （1）若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标； （2）若点P的坐标为(1,2)，且2r 时，求PE PF的值； （3）若点P的坐标为(1,2)，设线段AB中点的纵坐标为t，求t的取值范围

28、 【解答】解： （1）由圆的方程知圆心(3,0)M， 由抛物线方程知，准线方程为1x ， 设 0 (P x， 0) y，又PMPC， 所以 22 PMPC，即 222 000 (3)(1)xyx， 又点P在抛物线C上， 所以 2 00 4yx， 将代入，得 22 000 (3)4(1)xxx， 解得 0 2x ，所以 00 42 2yx ， 所以点P坐标为(2，2 2)或(2, 2 2) （2）设 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y， 则 1 (PEx， 1) (1y， 1 2)(1x， 1 2)y ， 1 (MEx， 1) (3y， 1 0)(3x， 1) y， 又PEME

29、，所以 1111 (1)(3)(2)0PE MExxyy， 所以 22 1111 4320 xxyy， 所以 12 4xx， 12 3x x ， 12 2yy， 12 0y y ， 所以 1212 (1)(1)(2)(2)PE PFxxyy 12121212 ()12()4x xxxy yyy ， 第 14 页（共 16 页） 3410440 PE PF的值为 0； （3）由题意知，过点P引圆 222 (3)xyr的切线斜率存在， 设切线PA的方程为 1( 1)2yxk， 则圆心M到切线PA的距离 1 2 1 |22| 1 dr k k ， 整理得 222 11 (4)840rrkk， 设切线

30、PB的方程为 2( 1)2yxk， 同理可得 222 22 (4)840rrkk， 所以 1 k， 2 k是方程 222 (4)840rrkk的两个根， 所以 12 2 8 4r kk， 12 1k k， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，AB中点为D， 联立得 1 2 (1)2 4 yx yx k ，整理得 2 11 4480yykk， 所以 1 1 1 84 2 y k k ，即 1 12 11 424 242y k k kk ， 同理可得 21 42y k， 点D的纵坐标为 1221 12 4242 2()2 22 yy t kk kk， 又 12 2 8 (02

31、) 4 r r kk?，所以 22 816 222 44 t rr ， 所以 2 02r，所以 2 442r ，所以 2 16 84 4r ， 所以 2 16 1026 4r ， 所以t的取值范围为 10，6) 21 （18 分）若数列 n a满足 1 1 (1 n n a a 剟，且为实常数） ，*nN，则称数列 n a为 B( )数列 （1）若数列 n a的前三项依次为 1 2a ， 2 ax， 3 9a ，且 n a为B（3）数列，求实数x 第 15 页（共 16 页） 的取值范围； （ 2 ） 已 知 n a是 公 比 为(1)q q 的 等 比 数 列 ， 且 1 0a ， 记 21

32、321 | nnn Taaaaaa 若存在数列 n a为B（4） 数列， 使得 1 lim0 nn n n TtT T 成立，求实数t的取值范围； （3）记无穷等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，证明： “ 1 01 d a 剟”是“ n a为B( ) 数列”的充要条件 【解答】解： （1）因为 n a为B（3）数列，所以 1 1 3 3 n n a a 剟， 则 1 3 32 19 3 3 x x 剟 剟 ，解得36x剟， 即x的取值范围是3，6； （2）由数列 n a为B（4）数列，可得 1 1 1 4 n n a q a 或14q ， 当 1 1 4 q 时，由 1 0a ， 1

33、 11 (1)0 n nn aaa qq ，所以 11 | nnnn aaaa 则 12231111(1 ) n nnnn Taaaaaaaaaq ， 所以 1 1() limlim10 1 n nn n nn n TtTtqt q t Tq ，即1t； 当14q 时，由 1 0a ， 1 11 (1)0 n nn aaa qq ，所以 11 | nnnn aaaa 则 21321111( 1) n nnnn Taaaaaaaaa q ， 所以 1 1 ()1 limlimlim0 1 1 1 nn nn n nnn n n t qt TtTqt qtq qt Tq q ，即t q，所以1t

34、， 则t的取值范围是(1,)； （3）先证充分性因为 1 01 d a 剟，所以 1 0a ， n a为等差数列， 所以当0d 时， 1 0 n aa，此时 1 1 n n a a ， 由1，所以 1 1 1 n n a a 剟成立，所以 n a为( )B数列； 第 16 页（共 16 页） 当0d 时， 111 1 111 (1)1 11 (1)(1)(1) 1 n n aandanddd a aandandand n d ， 因为 1 01 d a 剟，所以 1 1 1 a d ，所以 1 11 0 (1)(1)1 1 a n n d 剟， 即有 1 (1)1 1 (1)(1)1 n n

35、an an 剟， 因为1，所以 (1)1(1)(1)(1)1 (1)(1)1(1)(1)1 nn nn 111 111 11 (1)(1)1 1 11 n n ， 所以 1 1 1 n n a a 剟?恒成立，所以 n a为( )B数列， 综上可得， n a为( )B数列； 再证必要性因为 n a为( )B数列，所以 1 1 n n a a 剟恒成立，所以 1 0a ， 当0d 时， 1 01 d a 剟显然成立； 当0d 时，因为 1 1 0 n n a a ，所以 n a的每一项同号，所以 1 a与d也同号， 所以 1 0 d a ，因为 1 1 n n a a 剟恒成立，所以1n 时， 2 1 1a a 剟成立， 因为 n a为等差数列， 21 aad， 21 111 1 aadd aaa ， 所以 1 1 1 d a 剟，即为 1 1 1 d a 剟， 1 01 d a 剟， 综上可得， “ 1 01 d a 剟”是“ n a为B( )数列”的充要条件