2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科）（一模）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2021 年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科） （一年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科） （一 模）模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 2Ax x， 2B ，1，0，1，2，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D 2，1，0，1， 2 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则| (z ) A1 B2 C3

2、D2 3 （5 分）已知P为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点P到C的焦点的距离为 9，到y轴 的距离为 6，则(p ) A3 B6 C9 D12 4 （5 分）设a，b为单位向量，且| 1ab，则|2 | (ab ) A3 B3 C7 D7 5 （5 分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是( ) 注：90 后指 1900 年及以后出生，80 后指19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出 生 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

3、 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 第 2 页（共 21 页） A B C D 6 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立 春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷 雨这一天的日影长度( ) A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 7 （5 分）函数 13 2 41 x x x

4、 y 的图象大致为( ) A B C D 8 （5 分）式子 2 5 ()() y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为( ) A3 B5 C15 D20 9 （5 分）若直线l与曲线yx 和圆 22 4 9 xy都相切，则l的方程为( ) A2 220 xy B2 220 xy C2 220 xy D2 220 xy 10 （5 分）已知0a ，0b ，且1ab，则下列选项错误的是( ) A 22 1 2 ab B 1 2 2 a b C 22 loglog2ab D2ab 11（5 分） 对于函数( )yf x与( )yg x， 若存在 0 x， 使 00 ()()f xgx，

5、则称 0 (M x， 0 ()f x， 0 (Nx， 0 ()gx是函数( )f x与( )g x图象的一对“隐对称点” 已知函数( )(1)f xm x， ( ) lnx g x x ，函数( )f x与( )g x的图象恰好存在两对“隐对称点” ，则实数m的取值范围为( 第 3 页（共 21 页） ) A( 1,0) B(, 1) C(0，1)(1，) D(，1)( 1，0) 12 （5 分）设点A，B分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点M，N分 别在双曲线C的左、右支上，若5MNAM， 2 MBMN MB，且| |MBNB，则双曲线C 的离心率为

6、( ) A 65 5 B 85 5 C 13 5 D 17 7 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 设变量x，y满足约束条件 2 0, 2 0, 2, xy xy y ， 则目标函数2zxy的最小值为 14 （5 分）已知 2 ( )(2) x f xxxa e，若( )f x存在极小值，则a的取值范围是 15（5 分） 数列 n a中，12a ， m nmn aaa ， 若 1 55 231 1 22aaa kkk ， 则k 16 （5 分）已知ABCD是球O的内接三棱锥，6ABACBCBDCD，9A

7、D ， 则球O的表面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知5,2bc，45B （1）求边BC的长； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADB，求sinDAC的值 18（12 分） 如图， 四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD ， ABBD （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）若2EBDE，求二面角DAEC的余弦值 第 4 页（共 21 页） 1

8、9 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2,1)A （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且AMAN，证明：直线MN过定点 20 （12 分）已知函数( ) x f xx ealnxax （1）若ae，讨论( )f x的单调性； （2）若对任意0 x 恒有不等式( ) 1f x 成立，求实数a的值 21 （12 分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策补齐贫困地区义务教育发展的短板，让 贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在治贫先治愚，扶 贫先扶智 为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题， 郑州市教育局拟从 5

9、 名优秀教师中抽 选人员分批次参与支教活动支教活动共 3 分批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师， 且每次派送人员均从 5 人中随机抽选已知这 5 名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有 支教经验 （1）求 5 名优秀教师中的“甲” ，在这 3 批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由； （3）现在需要 2 名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一 次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师若有A、B两个 教师可派，他们各自完成任务的概率分别为 1 p， 2 p，假

10、设 12 1pp，且假定各人能否完成 任务的事件相互独立 若按某种指定顺序派人， 这两个人各自能完成任务的概率依次为 1 q， 2 q，其中 1 q， 2 q是 1 p、 2 p的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师 的人员数目的数学期望达到最小 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 21 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 cos ( 1

11、sin x y 为参数） ，以坐标原 点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 3 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线OP的极坐标方程为 6 ，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点)O，与直 线l的交点为B，求线段AB的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0ab，函数 1 ( ) | () f xx b ab （1）若1a ， 1 2 b ，求不等式( )2f x 的解集； （2）求证： 2 ( ) |4f xxa 第 6 页（共 21 页） 2021 年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科） （一年河南省郑

12、州市高考数学第一次质量预测试卷（理科） （一 模）模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 2Ax x， 2B ，1，0，1，2，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D 2，1，0，1， 2 【解答】解： | 22Axx ， 2B ，1，0，1，2， 1AB ，0，1 故选：C 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则| (z

13、 ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：复数z满足 1 1 z i z ， 2 1(1) 1(1)(1) ii zi iii 则| 1z 故选：A 3 （5 分）已知P为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点P到C的焦点的距离为 9，到y轴 的距离为 6，则(p ) A3 B6 C9 D12 【解答】解：A为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点A到C的焦点的距离为 9，到y轴的 距离为 6， 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：696 2 p p； 故选：B 4 （5 分）设a，b为单位向量，且| 1ab，则|2 | (ab ) 第 7 页（共 21 页

14、） A3 B3 C7 D7 【解答】解：, a b为单位向量，且| 1ab， 所以 22 21aa bb，所以 1 2 a b， 所以 22 |2 |441247abaa bb 故选：D 5 （5 分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是( ) 注：90 后指 1900 年及以后出生，80 后指19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出 生 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% 互联网行业中从事

15、运营岗位的人数 90 后比 80 前多 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 A B C D 【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条 形图得到： 56% (39.6%17%)31.696%30%， 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故正确； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故正确； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 1

16、7%56%9.52%3%， 第 8 页（共 21 页） 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故正确； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 56%39.6%22.176%41%， 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故错误 故正确结论的编号是 故选：A 6 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立 春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺

17、，则谷 雨这一天的日影长度( ) A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 【解答】解：根据题意，设这个等差数列为 n a，且该数列的公差为d； 则有 1471 3931.5aaaad， 且 1234567891 93 68 5 . 5aaaaaaaaaad； 解可得：1d ， 1 13.5a ； 则谷雨这一天的日影长 9 13.585.5ad； 故选：A 7 （5 分）函数 13 2 41 x x x y 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： 133 22 4122 x xxx xx y ，函数的定义域为R， 第 9 页（共 21 页） 设( )yf x， 则 3

18、2 ()( ) 22 xx x fxf x ， 即函数( )yf x为奇函数， 其图象关于原点对称， 故排除C， f（1） 2 0 1 2 2 ，故排除D， f（4） 3 44 24128 8 1 22 16 16 ，故排除A， 故选：B 8 （5 分）式子 2 5 ()() y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为( ) A3 B5 C15 D20 【解答】解：式子 2 5 ()() y xxy x 的展开式中， 33 x y的系数为 21 55 1055CC， 故选：B 9 （5 分）若直线l与曲线yx 和圆 22 4 9 xy都相切，则l的方程为( ) A2 220 xy B2

19、 220 xy C2 220 xy D2 220 xy 【解答】解：分别作出曲线yx 和圆 22 4 9 xy， 由图象可得切线的斜率小于 0，纵截距小于 0， 由排除法可得只有选项B的直线方程满足要求； 另外可设切线的方程为yxbk， 圆 22 4 9 xy的圆心(0,0)，半径 2 3 r ， 由直线l与圆相切，可得 2 |2 3 1 b k ， 由yxbk与yx 联立可得， 222 (21)0 xbxbkk， 由 222 (21)40bbkk， 化为41b k， 解得 2 4 k， 2 2 b ， 则切线的方程为 2 (2) 4 yx ，即为2 220 xy， 故选：B 第 10 页（共

20、 21 页） 10 （5 分）已知0a ，0b ，且1ab，则下列选项错误的是( ) A 22 1 2 ab B 1 2 2 a b C 22 loglog2ab D2ab 【解答】解：对于A，因为0a ，0b ，且1ab， 所以 2 1 () 24 ab ab ，当且仅当 1 2 ab时等号成立， 所以 222 11 ()21212 42 abababab ，当且仅当 1 2 ab时等号成立，故A正 确； 对于B，由0a ，0b ，且1ab，得10ab ，则01b，则1121b 所以 1 2 1 22(2 a bb ，2)，故B正确； 对于C， 2222 1 loglogloglog2 4

21、abab ，当且仅当 1 2 ab时等号成立，故C错误； 对于D，因为1 2abab ，当且仅当ab时等号成立， 所以 2 2()2ababab，所以2ab，故D正确 故选：C 11（5 分） 对于函数( )yf x与( )yg x， 若存在 0 x， 使 00 ()()f xgx， 则称 0 (M x， 0 ()f x， 0 (Nx， 0 ()gx是函数( )f x与( )g x图象的一对“隐对称点” 已知函数( )(1)f xm x， ( ) lnx g x x ，函数( )f x与( )g x的图象恰好存在两对“隐对称点” ，则实数m的取值范围为( ) A( 1,0) B(, 1) C(

22、0，1)(1，) D(，1)( 1，0) 【解答】解：( )(1)f xm x恒过定点( 1,0)，( )f x关于y轴对称的图象的函数解析式为 第 11 页（共 21 页） (1)ym x 题意可得，(1)ym x 与( ) lnx g x x 有 2 个交点， 由( ) lnx g x x ，得 2 1 ( ) lnx g x x ， 当0 xe时，( )0h x，函数( )g x单调递增，当xe时，( )0g x，函数( )g x单调递减， 而(1)ym x 恒过定点(1,0)， 作出函数( ) lnx g x x 的图象如图， 当直线(1)ym x 与( ) lnx g x x 切于(

23、1,0)时，由导数的几何意义可得， 2 11 1 1 ln m ， 则要使(1)ym x 与( ) lnx g x x 有 2 个交点，得0m且1m， 0m且1m ， 实数m的取值范围为(，1)( 1，0) 故选：D 12 （5 分）设点A，B分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点M，N分 别在双曲线C的左、右支上，若5MNAM， 2 MBMN MB，且| |MBNB，则双曲线C 的离心率为( ) A 65 5 B 85 5 C 13 5 D 17 7 【解答】解：设|AMm，则| 5 (0)MNm m， 22 ()MBMN MBMBBNMBMBBN M

24、B， 0BN MB，即BNMB， 则 222 |MBBNMN，即 222 (2)(62 )(5 )ammam， 第 12 页（共 21 页） 解得ma或 2 3 ma 若 2 3 ma时， 8 | 3 BMa，| 2NBa，不满足| |MBNB（舍去） ， 若ma时，| 3BMa，| 4NBa，满足| |MBNB，则ma |44 cos |55 BNa MNB MNa ， 在ANB中， 222 |2| cosABANBNANBNMNB 即 222 4 43616264 5 caaaa， 整理得 22 68 4 5 ca，即 2 17 5 e ，得 1785 55 e 故选：B 二、填空题（每题

25、二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 设变量x，y满足约束条件 2 0, 2 0, 2, xy xy y ， 则目标函数2zxy的最小值为 4 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图， (0,2)A，化目标函数2zxy为 1 22 z yx ， 第 13 页（共 21 页） 由图可知，当直线 1 22 z yx 过A时，直线在y轴上的截距最小， z取最小值为 4 故答案为：4 14 （5 分） 已知 2 ( )(2) x f xxxa e， 若( )f x存在极小值， 则a的取值范围是 (,2) 【解答】解： 22

26、( )(22)(2)(42) xxx fxxexxa eexxa， 因为函数( )f x的定义域为R， 所以若( )f x存在最小值，则( )f x有极小值点， 所以 2 420 xxa有两个不相等的实数根， 164(2)0a，解得2a ， 故答案为：(,2) 15（5 分） 数列 n a中，12a ， m nmn aaa ， 若 1 55 231 1 22aaa kkk ， 则k 3 【解答】解：由题设可得：当1m 时，有 11nn aa a ， 又 1 2a ， 1 2 nn aa ， 数列 n a是首项、公比均为 2 的等比数列， 1 2(12 ) 22 12 n n n S ， 又 1

27、11 155122 2311111 2(12)2(12) 2222 1212 aaaSS kk kk kkkkk ， 3k， 故答案为：3 16 （5 分）已知ABCD是球O的内接三棱锥，6ABACBCBDCD，9AD ， 则球O的表面积为 84 【解答】解：如图所示： 取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF， 因为6ABACBCBDCD， 第 14 页（共 21 页） 所以AEBC，DEBC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形， 所以3 3AEDE，即三角形ADE为等腰三角形，所以EFAD，且EF平分AED， 不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O，且O在DE上， 所以

28、1 3 3 EOED ， 设外接球的球心为O，半径为R，则OAODR， 利用面面垂直可证得平面AED 平面BCD， 又平面AED平面BCDED，则球心O必在三角形AED中， 又OAODR，所以O在AED的角平分线EF上，连接OO， 则OO 平面BCD，即OOED ， 在三角形AED中，由余弦定理可得： 222 1 cos 22 AEEDAD AED AE ED ， 所以120AED，所以 1 60 2 FEDAED， 在RT EOO中，tan3 3 OOOO FED EO ， 所以3OO ， 在RTOO D中，ODR，2 3O D， 所以 222 21ROOO D ， 所以球O的表面积为 2

29、484SR， 故答案为：84 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知5,2bc，45B （1）求边BC的长； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADB，求sinDAC的值 【解答】解： （1）在ABC中，因为5,2,45bcB， 第 15 页（共 21 页） 由余弦定理知， 222 2cosbacacB， 所以 2 2 5222 2 aa，即 2 230aa， 解得3a 或1a （舍)，

30、所以3BC （2）在ABC中，由正弦定理知， sinsin bc BC ， 所以 52 sin45sinC ，解得 5 sin 5 C ， 因为 4 cos 5 ADB， 所以 4 cos 5 ADC ，即ADC为钝角，且 3 sin 5 ADC， 又180ADCCCAD， 所以C为锐角， 所以 2 2 5 cos1sin 5 CC， 所以sinsin(180)sin()DACADCCADCC sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 18（12 分） 如图， 四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD ， ABBD （1）证明：平面

31、ACD 平面ABC； （2）若2EBDE，求二面角DAEC的余弦值 【解答】 （1）证明：如图所示，取AC的中点O连接BO，OD ABC是等边三角形，OBAC， ABD与CBD中，ABBDBC，ABDCBD ， ABDCBD ，ADCD， 第 16 页（共 21 页） ACD是直角三角形，AC是斜边，90ADC， 1 2 DOAC， 2222 DOBOABBD，90BOD，OBOD， 又DOACO，OB平面ACD 又OB 平面ABC，平面ACD 平面ABC （2）解：由题知，点E是BD的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系 不妨取2AB ，则(0O，0，0)，(1A，0，0)，( 1C ，0

32、，0)，(0D，0，0)，(0B，3， 0)，(0E， 3 3 ， 2) 3 ( 1AD ，0，1)，( 1AE ， 3 3 ， 2) 3 ，( 2AC ，0，0)， 设平面ADE的法向量为(mx，y，) z， 则 0 32 0 33 m ADxz n AExyz ，取3x ，得(3m ，3，3) 同理可得：平面ACE的法向量为(0n ，1， 3) 2 1 cos, | |7 m n m n mn ， 二面角DAEC的余弦值为 1 7 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2,1)A （1）求C的方程； 第 17 页（共 21 页

33、） （2）点M，N在C上，且AMAN，证明：直线MN过定点 【解答】解： （1）由题意可知 2 2 c a ， 22 41 1 ab ， 222 abc， 解得 2 6a ， 2 3b ， 所以椭圆方程为 22 1 63 xy （2）证明：设点 1 (M x，) a y， 2 (N x， 2) y， 因为AMAN， 所以 12 12 11 1 11 yy xx ， 所以 12121212 ()12()4y yyyx xxx ， 当k存在的情况下，设:MN yxmk， 联立 22 26 yxm xy k ， 得 222 (12)4260 xmxmkk， 由0，得 22 630mk， 由根与系数的

34、关系得 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 26 12 m x x k ， 所以 1212 2 2 ()2 12 m yyxxm k k ， 22 22 121212 2 6 ()() 12 m y yxxm xxm k kk k ， 代入式化简可得 2 48(1)(31)0mmmkk， 即(21)(231)0mmkk， 所以12m k或 21 3 m k ， 所以直线方程为12yx kk或 21 3 yx k k， 所以直线过定点(2,1)或 2 (3， 1) 3 ， 又因为(2,1)和A点重合，故舍去 所以直线过定点 2 (3E， 1) 3 20 （12 分）已知函数(

35、 ) x f xx ealnxax （1）若ae，讨论( )f x的单调性； （2）若对任意0 x 恒有不等式( ) 1f x 成立，求实数a的值 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （1）( ) x f xx ealnxax，0 x ， 则 1 ( )(1)(1)(1)() xx a fxxeaxe xx ， 当ae时，令( )0fx，得01x； 令( )0fx，得1x ； 综上，当(0,1)x时，( )f x单调递减； 当(1,)x时，( )f x单调递增 （2）当0a 时，( )f x单调递增，( )f x的值域为R，不符合题意； 当0a 时，则 1 2 11 ( )1 22 f

36、e，也不符合题意 当0a 时，( )0fx有唯一解 0 x，此时 0 0 x e xa， 因此 00 00000 ( )() xx min f xf xe xalnxaxaalnaeaxaalna ， 故只需1aalna 令 1 t a ，上式即转化为1lnt t ， 设( )1h tlntt ， 则 1 ( ) t h x t ， 因此( )h t在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 从而( )maxh xh（1）0， 所以1lnt t 因此，1lntt ，所以1t ， 从而有 1 1t a ，可得1a 故满足条件的实数为1a 21 （12 分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策补齐

37、贫困地区义务教育发展的短板，让 贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在治贫先治愚，扶 贫先扶智 为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题， 郑州市教育局拟从 5 名优秀教师中抽 选人员分批次参与支教活动支教活动共 3 分批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师， 且每次派送人员均从 5 人中随机抽选已知这 5 名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有 支教经验 （1）求 5 名优秀教师中的“甲” ，在这 3 批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； 第 19 页（共 21 页） （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由； （3）现在需

38、要 2 名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一 次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师若有A、B两个 教师可派，他们各自完成任务的概率分别为 1 p， 2 p，假设 12 1pp，且假定各人能否完成 任务的事件相互独立 若按某种指定顺序派人， 这两个人各自能完成任务的概率依次为 1 q， 2 q，其中 1 q， 2 q是 1 p、 2 p的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师 的人员数目的数学期望达到最小 【解答】解： （1）5 名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为 2 5 ， 则三次抽取中， “甲”恰有一次被抽取

39、到的概率 13 3 2254 (1) 55125 PC； （2）第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是 1 人， 设表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有 0，1，2， 则 2 2 2 5 1 (0) 10 C P C ， 1111 2323 22 55 66 (1) 1010 C CC C P CC ， 2 3 2 5 3 (2) 10 C P C ， 设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有 0，1，2， 则 1122222 2333224 222222 555555 37 (0) 100 C CCCC CC P C CCCCC ， 1111112211

40、 2323233241 222222 555555 54 (1) 100 C CC CC CCCC C P CCCCCC ， 211222 323322 22222 55555 9 (2)0 100 CC CCCC P CCCCC ， 因为(1)(0)(2)PPP， 故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 1 人； （3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小： 设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则 X 1 2 P 1 P 1 1P 111 ()2(1)2E XPPP， 第 20 页（共 21 页） 设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，则 X 1 2 P 2 P 2 1P 222 (

41、 )2(1)2E YPPP， 12 ( )()0E YE XPP， 故按照先A后B的顺序所需人数期望最小 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数） ，以坐标原 点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 3 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线OP的极坐

42、标方程为 6 ，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点)O，与直 线l的交点为B，求线段AB的长 【解答】解： （1）由 cos 1sin x y ，转换为直角坐标方程为 22 (1)1xy， 由直线l的极坐标方程为sin()3 3 根据 222 cos& sin& & x y xy ，转换为直角坐标方程为：32 30 xy （2）曲线C的方程可化为 22 20 xyy， 所以曲线C的极坐标方程为2sin， 由题意设 1 (,) 6 A ， 2 (,) 6 B ， 将 6 代入2sin，得到 1 1 将 6 代入sin()3 3 ，得到 2 3， 所以 12 | |31AB 选修选修 4-5：不

43、等式选讲：不等式选讲 第 21 页（共 21 页） 23已知0ab，函数 1 ( ) | () f xx b ab （1）若1a ， 1 2 b ，求不等式( )2f x 的解集； （2）求证： 2 ( ) |4f xxa 【解答】解： （1）依题意，当1a ， 1 2 b 时，得( ) |4|f xx， 则( )2|4| 242f xxx或42x ， 解得2x 或6x 故不等式( )2f x 的解集为 |2x x 或6x ； 证明： （2）依题意， 22 1 ( ) |4|4 () f xxaxxa b ab 厖， 222 111 |()| ()()() xxaxxaa b abb abb ab ， 又2()ababb ab， 2 14 ()b aba ， 故 22 2 14 4 () aa b aba 厖 当且仅当2a ， 2 2 b 时，等号成立