2020-2021学年河南省百校联盟高二（上）联考数学试卷（文科）（1月份）.docx

1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省百校联盟高二（上）联考数学试卷（文科）学年河南省百校联盟高二（上）联考数学试卷（文科） （1 月份）月份） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“1x ，210 x ”的否定是( ) A1x ，21 0 x B 0 1x ， 0 21 0 x C 0 1x， 0 210 x D 0 1x， 0 21 0 x 2 （5 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标是( ) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16，0)

2、 3 （5 分）已知函数( )23(0) x f xxfe，则f（1）( ) A 3 2 e B32e C23e D23e 4 （5 分）关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是( ) A1m B0m C1m D0m 5 （5 分）已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值，则f（2）等于( ) A1 B2 C3 D4 6 （5 分）命题“ABC中，若 222 ABBCAC，则ABC是钝角三角形”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分）若P是以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 22 22 1(0) xy

3、 ab ab 上的一点，且 12 0PF PF， 12 5 tan 12 PFF，则此椭圆的离心率为( ) A 119 17 B 15 17 C 13 15 D 13 17 8（5 分） 已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，P是C上一点， 若 1 5 | 2 PF ， 则 2 | (PF ) A 1 2 B 9 2 C 1 2 或 9 2 D1 或 9 2 9 （5 分）若函数 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 第 2 页（共 15 页） ( ) A(，2)(2，) B(0，2)(2，) C(2,) D

4、2 10 （5 分）如图， 1 F， 2 F是双曲线 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 2 F B的中点，且 12 FBF B，则 12 | (F F ) A4 B4 3 C6 D9 11 （5 分）以(0,2)M为圆心，4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A，B两点，如图， 点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N， 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8，12 C8，12) D8，12 12 （5 分）已知函数 2 ( )() 2 a

5、f xxxlnx aR，若对任意 12 0 xx， 12 ( )()f xf x恒成立， 则a的取值范围为( ) A1，) B(，1 Ce，) D1， e 第 3 页（共 15 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题 13 （5 分）函数( )sin1 x f xex的图象在点(0，(0)f处的切线的方程是 14 （5 分）王安石在游褒禅山记中写道： “世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而 人之所罕至焉，故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观” 的 条件 （填“充分” “必要” “充要”中的一个） 15 （5 分）椭圆 22 1 4 xy m 的离

6、心率为 1 2 ，则m 16 （5 分）已知长为 4 的线段AB的两个端点A，B都在抛物线 2 2yx上滑动，若M是线 段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）求下列函数的导数： （1） 3 2 ( )6f xxx x ； （2） cos ( ) x x f x e ； （3） 2 2 ( )(1) logf xxx 18 （ 12 分 ） 已 知p： 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ；q： 函 数 2 ( )21( 0 , 1 )fxx

7、m xm x 的最大值不超过 2若pq为真命题，pq为假命题， 求实数m的取值范围 19 （12 分）已知过点(2, 2)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐 近线的方程是20 xy （1）求双曲线C的方程； （2） 若直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B， 线段AB的中点在圆 22 5xy 上，求实数m的值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的准线与圆 22 (3)25xy相切 （1）求抛物线C的方程及其焦点F的坐标； （2） 如图， 过点( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q， 交直线4x 于点(G Q在 PG之间） ，直线QF交直线

8、1x 于点H，/ /GHPF，求直线l的方程 第 4 页（共 15 页） 21 （12 分）已知函数( )()(2.71828 x f xeax aR e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调区间； （2）求函数( )f x的零点的个数 22 （12 分） 已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点， 点R的坐标是 3 (1, ) 2 ， 12 | 2RFRFa，椭圆C的离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）在圆 22 :3O xy上取一点P，过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M，N两点， 问以MN为直径的圆能否过坐标原点O？若能

9、， 求出OMN的面积； 若不能， 请说明理由 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省百校联盟高二（上）联考数学试卷（文科）学年河南省百校联盟高二（上）联考数学试卷（文科） （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“1x ，210 x ”的否定是( ) A1x ，21 0 x B 0 1x ， 0 21 0 x C 0 1x， 0 210 x D 0 1x， 0 21 0 x 【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，

10、 可知“1x ，210 x ”的否定为“ 0 1x ， 0 21 0 x “ 故选：B 2 （5 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标是( ) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16，0) 【解答】解：抛物线 2 4yx的标准方程为 2 1 4 xy， 1 8 p ，开口向上，焦点在y轴的正半 轴上， 故焦点坐标为 1 (0,) 16 ， 故选：B 3 （5 分）已知函数( )23(0) x f xxfe，则f（1）( ) A 3 2 e B32e C23e D23e 【解答】解：( )23(0) x f xfe， (0)23(0)ff ，解得(0)1f ， ( )23

11、 x f xe ， f （1）23e 故选：C 4 （5 分）关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是( ) A1m B0m C1m D0m 第 6 页（共 15 页） 【解答】解：因为 12 42(21)10 xxx m ， 所以关于x的方程 1 420 xx m 有实根的充要条件是0m 故选：D 5 （5 分）已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值，则f（2）等于( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解： 2 ( )32f xxaxb， 由题意知f（1）0，即320ab，所以23ab ， 所以f（2）84282(2)82 ( 3)2abab 故选：B 6

12、（5 分）命题“ABC中，若 222 ABBCAC，则ABC是钝角三角形”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据题意，原命题为“ABC中，若 222 ABBCAC，则ABC是钝角三角 形” ， 若 222 ABBCAC，则 222 cos0 2 ABBCAC B ABBC ，则B为钝角，则ABC是钝角三角 形， 则原命题是真命题， 其逆命题为“若ABC是钝角三角形，则 222 ABBCAC” ， ABC是钝角三角形，而B不一定是钝角，即 222 ABBCAC不一定成立， 则其逆命题是假命题， 则原命题的逆否命题为真，否命题为

13、假， 故有 2 个是真命题； 故选：C 7 （5 分）若P是以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点，且 12 0PF PF， 12 5 tan 12 PFF，则此椭圆的离心率为( ) A 119 17 B 15 17 C 13 15 D 13 17 【解答】解：因为 12 0PF PF，所以 12 PFPF， 第 7 页（共 15 页） 在Rt 12 PFF中，根据 12 5 tan 12 PFF， 不妨设 2 | 5PF ，则 1 | 12PF ， 22 12 |51213FF ， 所以213c ，所以 12 2| 17aPFPF， 所以 213

14、217 c e a 故选：D 8（5 分） 已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，P是C上一点， 若 1 5 | 2 PF ， 则 2 | (PF ) A 1 2 B 9 2 C 1 2 或 9 2 D1 或 9 2 【解答】解：由题意知132c ， 1 3 |acPF， 所以点P在C的左支上，所以 21 | 1PFPF， 因为 1 5 | 2 PF ，所以 2 5 |2 2 PF， 所以 2 9 | 2 PF 故选：B 9 （5 分）若函数 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ( ) A(，2)(2，)

15、B(0，2)(2，) C(2,) D2 【解答】解：因为 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值， 且 2 2(2)(2)(1) ( )22(0) axaxaxa x fxxax xxx ， 所以( )0fx有两个不相等的正实数解， 所以0 2 a ，且1 2 a ，解得0a ，且2a 故选：B 10 （5 分）如图， 1 F， 2 F是双曲线 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 2 F B的中点，且 12 FBF B，则 12 | (F F 第 8 页（共 15 页） ) A4 B4

16、3 C6 D9 【解答】解：因为点A为 2 F B的中点，所以 1 / /OAF B， 又 12 FBF B，所以 2 OAF B， 12 | | |OFOFOB， 所以 21 60AOFAOBBOF ， 所以 3 tan603 a ，所以1a 所以 12 | 2 134FF 故选：A 11 （5 分）以(0,2)M为圆心，4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A，B两点，如图， 点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N， 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8，12 C8，12) D8，12 【解答】解：圆心(0,2)M也是抛物线

17、C的焦点，设PN与抛物线的准线2y 交于点H， 第 9 页（共 15 页） 根据抛物线的定义，可得| |MNNH， 故PMN的周长| | 4lNHNPMPPH 设点B的坐标为 0 (x， 0) y，则(4,2)B 由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上， 所以|PH的取值范围为(4,8)， 所以PMN的周长的取值范围为(8,12) 故选：A 12 （5 分）已知函数 2 ( )() 2 a f xxxlnx aR，若对任意 12 0 xx， 12 ( )()f xf x恒成立， 则a的取值范围为( ) A1，) B(，1 Ce，) D1， e 【解答】解：由题意知函数( )f x在(0,)上

18、单调递增， 因为( )1fxaxlnx，所以转化为( ) 0fx在(0,)上恒成立， 因为(0,)x，所以 1lnx a x 在(0,)上恒成立， 即转化为 1 ()max lnx a x ，令 1 ( ) lnx g x x ，则 2 ( ) lnx g x x ， 所以当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x， 所以( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以( )maxg xg（1）1，所以1a， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题 13（5 分） 函数( )sin1 x f xex的图象在点(0，(0)f处的切线的方

19、程是 10 xy 【解答】解：因为(0)1f， ( )sin1 x f xex的导数为( )(sincos ) x f xexx， 第 10 页（共 15 页） 所以切线的斜率(0)1fk， 切线方程是1yx ，即10 xy 故答案为：10 xy 14 （5 分）王安石在游褒禅山记中写道： “世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而 人之所罕至焉，故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观” 的 必要 条件 （填“充分” “必要” “充要”中的一个） 【解答】解：因为“非有志者不能至” ，所以“能至是有志者” ， 因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件 故答

20、案为：必要 15 （5 分）椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 1 2 ，则m 3 或 16 3 【解答】解：方程中 4 和m哪个大，哪个就是 2 a， （）若04m，则 2 4a ， 2 bm， 4cm ， 41 22 m e ，得3m ； （）4m ，则 2 4b ， 2 am， 4cm ， 41 2 m e m ，得 16 3 m ； 综上：3m 或 16 3 m ， 故答案为：3 或 16 3 16 （5 分）已知长为 4 的线段AB的两个端点A，B都在抛物线 2 2yx上滑动，若M是线 段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是 15 8 【解答】解：设抛物线 2 2yx的焦点为F

21、， 过点A，B，M作抛物线 2 2yx的准线 1 8 y 的垂线，垂足分别是 1 A， 1 B， 1 M， 则 11 1 |1 | 2 222 AABBAFBF MMAB ， 第 11 页（共 15 页） 当且仅当A，B，F三点共线时等号成立， 所以当弦AB过抛物线的焦点F时， 1 |MM取最小值 2， 此时，点M到x轴的距离取最小值为 115 2 88 故答案为： 15 8 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）求下列函数的导数： （1） 3 2 ( )6f xxx x ； （2） cos ( ) x x f

22、x e ； （3） 2 2 ( )(1) logf xxx 【解答】解： （1） 32 2 22 ( )()(6 )( )36fxxxx xx ； （2） 2 sincossincos ( ) () xx xx xex exx fx ee ； （3） 2 2 (1) ( )2(1) 2 x fxxlog x xln 18 （ 12 分 ） 已 知p： 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ；q： 函 数 2 ( )21( 0 , 1 )fxxm xm x 的最大值不超过 2若pq为真命题，pq为假命题， 求实数m的取值范围 【解答】解：对于p，因为方程 22 1

23、 5 xy mm 对应的图形是双曲线， 所以(5)0m m，解得0m 或5m 所以若p为真命题，则0m 或5m 对于q：当0m时，( )(0)12 max f xfm ，解得1m，所以10m 剟； 当01m时， 2 ( )( )1 2 max f xf mmm ，解得1 515 22 m 剟，所以01m； 当1m时，( )maxf xf（1）2m，所以12m剟 所以若q为真命题，则12m 剟 若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假 若p真q假，则实数m满足 05 10 mm mm 或 或 ，解得1m 或5m ； 第 12 页（共 15 页） 若p假q真，则实数m满足 05 12 m m

24、 剟 ，解得02m剟 综上，实数m的取值范围为(, 1)0 ，2(5,) 19 （12 分）已知过点(2, 2)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐 近线的方程是20 xy （1）求双曲线C的方程； （2） 若直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B， 线段AB的中点在圆 22 5xy 上，求实数m的值 【解答】解： （1）设双曲线C的方程是 22 ( 2 )(0)xy ， 则 22 (22)( 2)，解得2， 所以双曲线C的方程是 22 22xy，即 2 2 1 2 y x （2）将yxm，代入 2 2 1 2 y x 消去y，并整理得 22 220 xmxm 设 1 (A

25、 x， 1) y， 2 (B x， 2) y，线段AB的中点为 0 (M x， 0) y， 则 22 44(2)0mm， 12 2xxm， 所以 12 0 2 xx xm ， 00 2yxmm 因为点 0 (M x， 0) y在圆 22 5xy上， 所以 22 (2 )5mm解得1m 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的准线与圆 22 (3)25xy相切 （1）求抛物线C的方程及其焦点F的坐标； （2） 如图， 过点( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q， 交直线4x 于点(G Q在 PG之间） ，直线QF交直线1x 于点H，/ /GHPF，求直线l的方程 第

26、 13 页（共 15 页） 【解答】解： （1）因为抛物线 2 2ypx的准线 2 p x 与圆 22 (3)25xy相切， 所以35 2 p ，解得4p 所以抛物线C的方程是 2 8yx，焦点F的坐标(2,0) （2）由题意可知直线l与坐标轴不垂直， 设直线l的方程为(1)(0)yxkk， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y 联立 2 8 , (1), yx yx k 消去y得 2222 (28)0 xxkkk 由 222 (28)40kk，解得22k 所以22k且0k 由韦达定理得 2 12 2 82 xx k k ， 12 1x x 因为/ /GHPF，所以 | | P

27、QQF GQQH ，所以 122 22 2 41 xxx xx 整理得 1212 ()8x xxx，所以 2 2 82 7 k k ，整理得 2 8 9 k 解得 2 2 3 k，经检验， 2 2 3 k满足0 所以所求直线l的方程为 2 2 (1) 3 yx或 2 2 (1) 3 yx 即 2 22 2 33 yx或 2 22 2 33 yx 21 （12 分）已知函数( )()(2.71828 x f xeax aR e是自然对数的底数） （1）求( )f x的单调区间； （2）求函数( )f x的零点的个数 第 14 页（共 15 页） 【解答】解： （1）因为( ) x f xeax，

28、所以( ) x f xea， 当0a时，( )0fx恒成立， 所以( )f x的单调递增区间为(,) ，无单调递减区间； 当0a 时，令( )0fx，得xlna；令( )0fx，得xlna， 所以( )f x的单调递减区间为(,)lna，单调递增区间为(,)lna （2）显然0 x 不是函数( )f x的零点，由0 x eax，得 x e a x ，(0)x ， 令( ) x e g x x ，(0)x ，则 2 (1) ( ) x ex g x x ， 0 x 或01x时( )0g x，1x 时( )0g x， 所以( )g x在(,0)和(0,1)上都是减函数，在(1,)上是增函数，1x

29、时( )g x取极小值e， 又当0 x 时，( )0g x ， 所以0 ae时关于x的方程 x e a x 无解， ae或0a 时关于x的方程 x e a x 只有一个解， ae时关于x的方程 x e a x 有两个不同解 因此，0 ae时，( )f x没有零点， ae或0a 时，( )f x有一个零点， ae时，( ) x e f x x 有两个零点 22 （12 分） 已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点， 点R的坐标是 3 (1, ) 2 ， 12 | 2RFRFa，椭圆C的离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）在圆 22 :

30、3O xy上取一点P，过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M，N两点， 问以MN为直径的圆能否过坐标原点O？若能， 求出OMN的面积； 若不能， 请说明理由 第 15 页（共 15 页） 【解答】解： （1） 12 | 2RFRFa， 点 3 (1, ) 2 R在椭圆C上， 22 19 1 4ab 又离心率 2 2 1 1 2 b e a ， 22 34ab 解得2a ，3b 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OMON 当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是：3x 或3x ， l与椭圆 22 :1 43 xy C相交于M，N两点， 此时 3 ( 3,)

31、 2 M， 3 ( 3,) 2 N或 3 (3,) 2 M ， 3 (3,) 2 N ， 39 30 44 OM ON， 当切线l的斜率不存在时，OMON不成立 当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是yxmk， 则 2 | 3 1 m k ，即 22 3(1)m k 联立得 22 , 1, 43 yxm xy k 得 222 (34)84120 xmxmkk 直线l与椭圆C相交于M，N两点，0，化简得 22 43mk 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12 2 8 34 m xx k k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 22 22 12121212 2 312 ()()() 34 m y yxmxmx xm xxm k kkkk k 若0OM ON，则 1212 0 x xy y， 222 22 412312 0 3434 mm k kk ，化简得， 22 712120m k 联立，并消去m得， 22 212112120kk，即 2 1 k，显然无解， 当直线l的斜率存在时，OMON也不可能成立 综上所述，以MN为直径的圆不可能过坐标原点O